專題05二元一次方程組（考點清單）2

專題05講：二元一次方程組（考點清單）【聚焦考點】題型一：二元一次方程組的概念題型二：解二元一次方程組題型三：解二元一次方程組的應用題型四：列二元一次方程組題型五：工程問題和行程問題題型六：方案問題題型七：數(shù)字問題題型八：分配問題題型九：銷售利潤問題題型十：和差倍問題題型十一：古代問題題型十二：幾何問題【題型歸納】題型一：二元一次方程組的概念【典例1】（2023上·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）若是關(guān)于，的方程的一個解，則的值是(

)A． B．5 C． D．8【答案】A【分析】根據(jù)方程的解滿足方程，把解代入方程，可得關(guān)于m的一元一次方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】解：把代入方程，得，解得．故選：A．【專訓11】（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下列關(guān)于方程的解的說法錯誤的是（

）A．是它的解 B．它只有一個解C．以它的解為坐標的點組成的圖象是一條直線 D．它有無數(shù)多個解【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程的解，以及一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐項分析判斷即可．【詳解】解：A、將代入中得：，故等式成立，不符合題意；B、兩個數(shù)之和為1，則這兩個數(shù)有無數(shù)個可能，故方程的解有無數(shù)個，故說法錯誤，符合題意；C、將變形為，屬于一次函數(shù)，圖象為一條直線，故說法正確，不符合題意；D、的解有無數(shù)個，故說法正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查二元一次方程的解，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．【專訓12】．（2022上·陜西西安·八年級?？计谀┮阎嵌淮畏匠探M的解，則的算術(shù)平方根為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】將代入二元一次方程組，求出，再利用算術(shù)平方根的定義即可得到答案．【詳解】解：是二元一次方程組的解，，解得：，，的算術(shù)平方根為2，故選：C．題型二：解二元一次方程組【典例2】（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）方程組利用加減消元法求解即可；（2）方程組整理后，方程組利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）得，解得將代入①得，解得∴原方程組的解為；（2）整理得，得，解得將代入①得，解得∴原方程組的解為．【專訓21】（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州十一中校考期末）解方程組．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法解方程即可；（2）利用加減消元法解方程即可．【詳解】（1）解：把②代入①得，解得，把代入②得，∴方程組的解為；（2）解：整理得得，把代入②得，解得，∴方程組的解為．【專訓22】（2023上·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）解方程（組）：(1)(2)閱讀材料：善于思考的小明同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．解：把，看成一個整體，設，，原方程組可化為，解得，∴

∴原方程組的解為請仿照小明同學的方法，用“整體換元”法解方程組【答案】(1)(2)【分析】（1）用代入消元法進行計算即可得；（2）設，，原方程可化為，進行計算得，則,用代入消元法進行計算即可得．【詳解】（1）解：①+②得：，解得：，把代入①得：解得，，則方程組的解為．（2）解：設，，原方程可化為，即，②①得，，把代入②得，，∴，∴,∴原方程組的解為．題型三：解二元一次方程組的應用【典例3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則k的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】用整體思想①②，得，等式兩邊都除以6，得，再根據(jù)，從而計算出的值．【詳解】解：，①②，得，，，，．故選：C．【專訓31】（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）已知是二元一次方程組的解，則的立方根為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】把方程組的解代入方程組，得到關(guān)于m、n的二元一次方程組，先求出m、n，再求出的立方根．【詳解】解：把代入二元一次方程組得，解這個方程組，得．∴，∴．故選：B．【專訓32】．（2022上·重慶·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于y、z的二元一次方程組的解滿足，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A． B． C．0 D．3【答案】A【分析】先解一元一次不等式組，再根據(jù)不等式組的解集為，從而可得，進而可得，然后再把兩個二元一次方程相加可得，再結(jié)合已知可得，從而可得，進而可得，最后進行計算即可解答．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，∴，，③+④得：，∴，∵，∴，解得：，∴，而為整數(shù)，∴，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和，故選：A．題型四：列二元一次方程組【典例4】（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．問：甲、乙持錢各幾何?”題目大意是；甲、乙兩人各帶了若干錢如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢50．間：甲，乙兩人各帶了多少錢?設甲，乙兩人持錢的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“甲的錢乙所有錢的一半”和“乙的錢甲所有錢的”列出方程組即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【專訓41】（2021上·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，10塊相同的小長方形墻磚拼成一個大長方形，設小長方形墻磚的長為厘米，寬為厘米，則依題意列二元一次方程組正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找到等量關(guān)系：一個小長方形的長=一個小長方形的寬的3倍，小長方形的長+小長方形的寬的2倍=75，據(jù)此列二元一次方程組即可解題．【詳解】解：由圖形可知，等量關(guān)系：一個小長方形的長=一個小長方形的寬的3倍，小長方形的長+小長方形的寬的2倍=75，設小長方形墻磚的長為厘米，寬為厘米，由題意可得，故選：C．【專訓42】（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？计谀秾O子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，共分三卷，在卷下中記載了這樣一個問題：“今有甲、乙二人，持錢各不知數(shù)．甲得乙中半，可滿四十八．乙得甲太半，亦滿四十八．問甲、乙二人持錢各幾何？”譯文大致為：“甲、乙兩人帶著錢，不知道是多少．若甲得到乙錢數(shù)的，則甲的錢數(shù)為48．若乙得到甲錢數(shù)的，則乙的錢數(shù)也為48．問甲、乙各有多少錢？”設甲持錢x，乙持錢y，則根據(jù)題意可以列出方程組為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設甲持錢x，乙持錢y，根據(jù)甲得到乙錢數(shù)的，則甲的錢數(shù)為48．若乙得到甲錢數(shù)的，則乙的錢數(shù)也為48列二元一次方程組即可．【詳解】由題意得：，故選：B．【點睛】本題考查了列二元一次方程組解決實際問題，準確理解題目，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型五：工程問題和行程問題【典例5】（2023上·河北保定·八年級?？计谀暗吞忌?，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲地勻速步行前往乙地，同時，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離與步行的時間之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段所示．在步行過程中，小明先到達甲地．有下列結(jié)論：①甲、乙兩地相距；②兩人出發(fā)后相遇；③小麗步行的速度為，小明步行的速度為；④小明到達甲地時，小麗離乙地還有．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①②直接從圖象獲取信息即可；③設小麗步行的速度為，小明步行的速度為，且，根據(jù)圖象和題意列出方程組，求解即可；④由圖可知：點的位置是小明到達甲地，直接用總路程時間可得小明的時間，即，二人的距離即的縱坐標，由此可得小麗離乙地的距離．【詳解】解：由圖象可知，甲、乙兩地相距，小麗與小明出發(fā)相遇，故①②正確，符合題意；③設小麗步行的速度為，小明步行的速度為，且，則，解得：，小麗步行的速度為，小明步行的速度為；故③不符合題意；④，，點，點表示：兩人出發(fā)時，小明到達甲地，此時兩人相距．，小明到達甲地時，小麗離乙地還有．故④不符合題意；故選：B．【專訓51】（2020上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┈F(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務，由、兩個工程小組先后接力完成，工程小組每天整治12米，工程小組每天整治8米，共用時20天，設工程小組整治河道天，工程小組整治河道天，依題意可列方程組（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)河道總長為180米和A、B兩個工程隊共用時20天這兩個等量關(guān)系列出方程，組成方程組即可求解．【詳解】設A工程小組整治河道x天，B工程小組整治河道y天，依題意可得：，故選：B．【專訓52】（2020·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）同型號的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛210km．它們各自單獨行駛并返回的最遠距離是105km．現(xiàn)在它們都從A地出發(fā)，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A地，而乙車繼續(xù)行駛，到B地后再行駛返回A地．則B地最遠可距離A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km【答案】B【分析】設甲行駛到C地時返回，到達A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時燃料用完，然后畫出圖形、確定等量關(guān)系、列出關(guān)于x和y的二元一次方程組并求解即可．【詳解】解：設甲行駛到C地時返回，到達A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時燃料用完，如圖：設AB＝xkm，AC＝y(tǒng)km，根據(jù)題意得：，解得：．∴乙在C地時加注行駛70km的燃料，則AB的最大長度是140km．故答案為B．題型六：方案問題【典例6】（2021上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐步成為人們喜愛的交通工具．某汽車公司計劃正好用190萬元購買，兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），其中型汽車進價為20萬元/輛，型汽車進價為30萬元/輛，則，型號兩種汽車一共最多購買（

）A．9輛 B．8輛 C．7輛 D．6輛【答案】A【分析】設購買A，B型號汽車分別購買m，n輛，列出二元一次方程，根據(jù)m，n的實際意義，分別求出m，n的對應值，即可求解．【詳解】設購買A，B型號汽車分別購買m，n輛，∵兩種型號的汽車均購買，∴m≥1，n≥1，且m，n均為整數(shù)，由題意得：20m+30n=190，即2m+3n=19，∴1≤n≤5，又∵2m為偶數(shù)，則3n為奇數(shù)，∴n為奇數(shù)，即：n=1，3，5，當n=1時，m=8，當n=3時，m=5，當n=5時，m=2，∴，型號兩種汽車一共最多購買9輛．故選Ａ．【專訓61】（2020上·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）小聰去商店購買筆記本和鋼筆，共用了60元錢，已知每本筆記本2元，每支鋼筆5元，若筆記本和鋼筆都需購買，且筆記本的數(shù)量多于鋼筆的數(shù)量，則小聰?shù)馁徺I方案有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【分析】設筆記本的數(shù)量為x個，鋼筆的數(shù)量為y個，用筆記本的錢數(shù)+鋼筆的錢數(shù)=60，筆記本數(shù)量＞鋼筆數(shù)量，可以列出一元一次不等式，求出其解集，再根據(jù)筆記本數(shù)，鋼筆數(shù)必須是整數(shù)，確定購買方案．【詳解】（1）設筆記本的數(shù)量為x個，鋼筆的數(shù)量為y個．由題意得：，∴，解得：．∵為正整數(shù)，∴x為5的倍數(shù)，故x的取值為10，15，20，25．故有四種方案．故選B．【專訓62】（2023下·云南玉溪·八年級統(tǒng)考期末）某校計劃送370名師生（其中學生362人、教師8人）到全國中小學生研學實踐教育基地之一的澄江化石地世界自然遺產(chǎn)博物館進行科普研學活動．現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲客車每輛可坐35人，乙客車每輛可坐50人，租用一輛甲客車和一輛乙客車共需700元，租用3輛甲客車和2輛乙客車共需1700元．(1)租用甲、乙兩種客車每輛各需多少元？(2)要使每輛客車上至少要有1名教師，所有參與活動的師生都有車坐，則租用客車總數(shù)為8輛，設租用輛甲客車，租車的總費用為元，則共有幾種不同的租車方案？哪種方案租車的總費用最少？【答案】(1)租用甲客車每輛需300元，租用乙客車每輛需400元(2)共有三種不同的租車方案，當租用2輛甲客車，6輛乙客車時，租車的總費用最少【分析】（1）設租用甲、乙兩種客車每輛各需元，根據(jù)題意可以列出相應的方程組，即可求解；（2）設租用輛甲客車，則租用輛乙客車，根據(jù)題意列出不等式，求出x的取值范圍，進而列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設租用甲、乙兩種客車每輛各需元，則，解得：，答：租用甲客車每輛需300元，租用乙客車每輛需400元；（2）解：設租用輛甲客車，則租用輛乙客車，由題意得：．由題意得：，解得：，的取值范圍是：，且為整數(shù)．∴一共有3種租車方案．∵，∴隨的增大而減小，∴當時，有最小值，∴當租用2輛甲客車，6輛乙客車時，租車的總費用最少答：共有三種不同的租車方案，當租用2輛甲客車，6輛乙客車時，租車的總費用最少．題型七：數(shù)字問題【典例7】（2022下·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考期末）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和是，如果把這個兩位數(shù)加上，所得的兩位數(shù)的個位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，則這個兩位數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設十位上的數(shù)為，個位上的數(shù)為，依據(jù)題意建立二元一次方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：設十位上的數(shù)為，個位上的數(shù)為，根據(jù)題意得，∴，由得，∴，將代入得，∴，∴這個兩位數(shù)為34，故選：A．【專訓71】（2021上·陜西西安·八年級?？计谀┯幸粋€兩位數(shù)和一個一位數(shù)若在這個一位數(shù)后面多寫一個0，則它與這個兩位數(shù)的和是139；若用這個兩位數(shù)除以這個一位數(shù)，則商7余3，則這個兩位數(shù)為（

）A．59 B．69 C．79 D．89【答案】A【分析】設這個兩位數(shù)為這個一位數(shù)為則根據(jù)題意可列方程組，再解方程組可得答案．【詳解】解：設這個兩位數(shù)為這個一位數(shù)為則把②代入①得：把代入②得：故選：【專訓72】（2020上·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）小穎和小亮在做一道關(guān)于整數(shù)減法的作業(yè)題，小亮將被減數(shù)后面多加了一個0，得到的差為750；小穎將減數(shù)后面多加了一個0，得到的差為420，則這道減法題的正確結(jié)果為（

）A．30 B．20 C．20 D．30【答案】D【分析】根據(jù)題意，設被減數(shù)為x，減數(shù)為y，則，然后根據(jù)二元一次方程組的解法，求出x、y的值，判斷出這道減法題的算式是多少即可．【詳解】解：設被減數(shù)為x，減數(shù)為y，則，解得，∴這道減法題的正確結(jié)果應該為：8050=30．故選D.【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的減法運算，以及二元一次方程組的求解方法，要熟練掌握．題型八：分配問題【典例8】（2022下·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）某車間有90名工人，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓15個或螺帽24個，要使一個螺栓配套兩個螺帽，應該如何分配工人才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套？若設生產(chǎn)螺栓x人，生產(chǎn)螺帽y人，則列方程組得（

）A．B． C．D．【答案】C【分析】根據(jù)“該車間共有90名工人，且生產(chǎn)螺帽的總數(shù)是生產(chǎn)螺栓總數(shù)的2倍”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：∵該車間共有90名工人，∴x+y=90；∵每人每天平均能生產(chǎn)螺栓15個或螺帽24個，且一個螺栓配套兩個螺帽，∴2×15x=24y，即30x=24y．根據(jù)題意可列方程組：故選：C．【專訓81】23．（2023下·黑龍江大慶·八年級?？计谀┠成痰攴謨纱钨忂MA，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數(shù)量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲，．購進的臺數(shù)購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進方案？【答案】(1)第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元(2)①A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系式：第一次購買臺A型臺燈的費用第一次購買臺B型臺燈的費用元，第二次購買臺A型臺燈的費用第二次購買臺B型臺燈的費用元，列出方程組，接可求解；（2）①根據(jù)等量關(guān)系式：第一次的臺A型臺燈的利潤第一次的臺B型臺燈的利潤元，第二次的臺A型臺燈的利潤第二次購買臺B型臺燈的利潤元，列出方程組，接可求解；②設再購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由按第二次購買的價格購買，a臺A型臺燈售出獲得利潤臺B型臺燈售出獲得利潤元，列方程即可求解．【詳解】（1）解：設第一次購進A型臺燈每臺進價為x元，B型臺燈每臺進價為y元，由題意得：，解得：，答：第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元．（2）解：①設A型臺燈每臺售價為m元，B型臺燈每臺售價為n元，由題意得：，解得，，答：A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②第二次購進的A型臺燈的價格為：（元），B型臺燈的價格為：（元），設購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由題意得：，整理得：，∴a、b為自然數(shù)，或或或，有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找出等量關(guān)系式，正確列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．【專訓82】24．（2023上·四川雅安·八年級統(tǒng)考期末）今年月，某城市受疫情影響，為了人民健康采取了一系列措施，某公司安排大、小貨車共輛，分別從兩地運送噸物資到該城市，支援抗擊疫情，每輛大貨車裝噸物資，每輛小貨車裝噸物資，這輛貨車恰好裝完這批物資，已知這兩種貨車的運費如表：目的地車型地（元/輛）地（元/輛）大貨車小貨車要安排上述裝好物資的輛貨車中的輛從地出發(fā)，其余從地出發(fā)．(1)這輛貨車中，若大貨車輛、小貨車輛，請求出與的值．(2)若從地出發(fā)的大貨車有輛（大貨車不少于輛）這輛貨車的總運費為元，求總運費的最小值．【答案】(1)大貨車有輛，小貨車有輛(2)總運費最小值為元【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)調(diào)配問題，設從地出發(fā)的大貨車有輛，分別用含的式子表示出從地出發(fā)的小火熬，從地出發(fā)的大貨車，小貨車的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程即可求解．【詳解】（1）解：設大貨車有輛、小貨車有輛，由題意得：，解得：，∴大貨車有輛，小貨車有輛．（2）解：設從地出發(fā)的大貨車有輛，則從地出發(fā)的小貨車有輛，從地出發(fā)的大貨車有輛，從地出發(fā)的小貨車有輛，由題意得：，∴隨的增大而增大，∵從地出發(fā)的大貨車有輛（大貨車不少于輛），大貨車一共輛，∴，∴當時，有最小值，此時，∴總運費最小值為元．題型九：銷售利潤問題【典例9】（2020上·遼寧遼陽·八年級統(tǒng)考期末）元旦期間，燈塔市遼東商業(yè)城“女裝部”推出“全部服裝八折”，男裝部推出“全部服裝八五折”的優(yōu)惠活動．某顧客在女裝部購買了原價元，在男裝部購買了原價元的服裝各一套，優(yōu)惠前需付元，而她實際付款元，根據(jù)題意列出的方程組是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“優(yōu)惠前需付元，而她實際付款元”，列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意得：，故選D．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的實際應用，掌握等量關(guān)系，列出方程組，是解題的關(guān)鍵．【專訓91】．（2023下·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）紅星超市銷售每臺進價分別是160元，120元的Ⅰ、Ⅱ兩種型號的吹風機，下表是近兩周的銷售情況．銷售時間銷售型號收入Ⅰ型Ⅱ型第一周臺臺元第二周臺臺元(1)求Ⅰ、Ⅱ兩種型號的吹風機的銷售單價．(2)若紅星超市準備用不多于7500元的資金再購進這兩種型號的吹風機共50臺，請設計出能取得最大利潤的購進方案，最大利潤W是多少？【答案】(1)200元，150元(2)購進Ⅰ型吹風機37臺，Ⅱ型吹風機13臺可是利潤最大為1870元【分析】（1）設Ⅰ型吹風機的銷售單價是元，Ⅱ型吹風機的銷售單價是元．根據(jù)“第一周，第二周的收入”再建立方程組即可；（2）設紅星超市再購進Ⅰ型吹風機臺，根據(jù)“紅星超市準備用不多于7500元的資金再購進這兩種型號的吹風機共50臺”求解的范圍，再由總利潤等于兩種型號的吹風機的利潤之和建立函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：設Ⅰ型吹風機的銷售單價是元，Ⅱ型吹風機的銷售單價是元．依題意，得，解得．答：設Ⅰ型吹風機的銷售單價是200元，Ⅱ型吹風機的銷售單價是150元．（2）設總利潤為元，則，由可得隨的增大而增大，設紅星超市再購進Ⅰ型吹風機臺，，解得．只能取正整數(shù)，當時，能獲得最大利潤，最大利潤元．此時購買方案為：購進Ⅰ型吹風機37臺，Ⅱ型吹風機13臺．【專訓92】（2023下·河南安陽·八年級?？计谀┠成痰赇N售1臺A型和2臺B型電腦的利潤為400元，銷售2臺A型和1臺B型電腦的利潤為350元．(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍．設購進A掀電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．①求y與x的關(guān)系式；②該商店購進A型、B型各多少臺，才能使銷售利潤最大？(3)實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m元，且限定商店最多購進A型電腦70臺．若商店保持兩種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）中的條件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．【答案】(1)每臺A型電腦的銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元(2)①；②商店購進A型電腦34臺，B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大(3)①當時，商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦才能獲得最大利潤；②當時，商店購進A型電腦數(shù)最滿足的整數(shù)時，均獲得最大利潤；③當時，商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤．【分析】（1）建立二元一次方程組求解；（2）①根據(jù)銷售問題中單件利潤，銷售數(shù)量，銷售利潤間的關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)題意建立不等式求解，得自變量取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的增減性求解；（3）由題意得一次函數(shù)，對參數(shù)m分類討論，①當時，根據(jù)一次函數(shù)增減性求解；②當時，最大利潤為；③當時，根據(jù)一次函數(shù)增減性求解；【詳解】（1）設每臺A型電腦的銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元，則有解得即每臺A型電腦的銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元．（2）①根據(jù)題意得，即；②根據(jù)題意得，解得，∵，∴y隨x的增大而減?。選為正整數(shù)，∴當最小時，y取最大值，此時．即商店購進A型電腦34臺，B型電腦66臺，才能使銷售總利潤最大（3）根據(jù)題意得，即．．①當時，，y隨x的增大而減?。喈敃r，y取得最大值．即商店購進34臺A型電腦和66臺B型電腦才能獲得最大利潤；②當時，．即商店購進A型電腦數(shù)最滿足的整數(shù)時，均獲得最大利潤；③當時，，y隨x的增大而增大．∴時，y取得最大值．即商店購進70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤．題型十：和差倍問題【典例10】（2012·浙江溫州·中考真題）楠溪江某景點門票價格：成人票每張70元，兒童票每張35元.小明買20張門票共花了1225元,設其中有張成人票，張兒童票，根據(jù)題意，下列方程組正確的是【】A．B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)“小明買20張門票”可得方程：；根據(jù)“成人票每張70元，兒童票每張35元，共花了1225元”可得方程：，把兩個方程組合即可．故選B【專訓101】．．（2020上·廣東深圳·八年級?？计谀┮阎仔Ｔ?016人，乙校原有1028人，寒假期間甲、乙兩校人數(shù)變動的原因只有轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)入兩種，且轉(zhuǎn)出的人數(shù)比為1：3，轉(zhuǎn)入的人數(shù)比也為1：3.若寒假結(jié)束開學時甲、乙兩校人數(shù)相同，問：乙校開學時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差多少?（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【分析】分別設設甲、乙兩校轉(zhuǎn)出的人數(shù)分別為人、人，甲、乙兩校轉(zhuǎn)入的人數(shù)分別為人、人，根據(jù)寒假結(jié)束開學時甲、乙兩校人數(shù)相同，可列方程求解即可解答．【詳解】設甲、乙兩校轉(zhuǎn)出的人數(shù)分別為人、人，甲、乙兩校轉(zhuǎn)入的人數(shù)分別為人、人，∵寒假結(jié)束開學時甲、乙兩校人數(shù)相同，∴，整理得：，開學時乙校的人數(shù)為：(人)，∴乙校開學時的人數(shù)與原有的人數(shù)相差；10281010=18(人)，故選：D．【專訓102】（2022上·重慶綦江·八年級統(tǒng)考期末）新學期伊始，綦江區(qū)某中學的學子們積極響應學校的“書香校園”活動，踴躍捐出自己喜愛的書籍，互相分享，讓閱讀成為一種習慣．據(jù)調(diào)查，某年級甲班、乙班共60人捐書，丙班有50人捐書，已知乙班人均捐書數(shù)量比甲班人均捐書數(shù)量多5本，而丙班的人均捐書數(shù)量是甲班人均捐書數(shù)量的一半，若該年級甲、乙、丙三班的人均捐書數(shù)量恰好是乙班人均捐書數(shù)量的，且各班人均捐書數(shù)量均為正整數(shù)，則甲、乙、丙三班共捐書本．【答案】990【分析】根據(jù)設間接未知數(shù)列二元一次方程求各班人均捐書數(shù)，然后再求三個班共捐書即可解答．【詳解】解：設甲班的人均捐書數(shù)量為x本，乙班的人均捐書數(shù)量為（x+5）本，丙班的人均捐書數(shù)量為本，設甲班有y人，乙班有（60﹣y）人．根據(jù)題意，得xy+(x+5)(60﹣y)+?50＝，解得：y=，因為x、y均為正整數(shù)，故x＝10或20，y＝32或70，因為，所以x＝10，y＝32，共捐書10×32+15×28+5×50＝990．答：甲、乙、丙三班共捐書990本．故答案為990．題型十一：古代問題【典例10】（2023上·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個數(shù)學問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安.今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安.問：幾何日相逢?譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安.現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā).問：多久后甲、乙相逢?設甲出發(fā)日，乙出發(fā)日后甲、乙相逢，則所列方程組正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可將此題看做是工作效率類的應用題，根據(jù)效率×時間=總量列方程即可．【詳解】解：由題可知，甲的效率為，乙的效率為，設甲出發(fā)日，乙出發(fā)日后甲、乙相逢，根據(jù)題意列方程組：．故選：D．【專訓101】．（2023上·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”題目大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短了5尺．設竿長為x尺，繩索長為y尺，則符合題意的方程組是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)