5.2平行線及其判定（原卷版）

5.2平行線及其判定知識點一知識點一平行線及其表示方法●平行線定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．記作：a∥b；讀作：直線a平行于直線b．◆1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行.【注意】①前提是在同一平面內(nèi)；②同一平面內(nèi)不重合的兩條線段或射線，可能相交，可能平行．知識點二知識點二平行線的畫法◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．【注意】1．經(jīng)過直線上一點不能作已知直線的平行線．2．畫線段或射線的平行線是指畫它們所在直線的平行線．3．借助三角尺畫平行線時，必須保持緊靠，否則畫出的直線不平行.知識點三知識點三平行公理及其推論●1、平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.●2、推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說：如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.幾何語言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】平行公理的推論中，三條直線可以不在同一個平面內(nèi)．知識點四知識點四平行線的判定方法◆1、平行線的判定：判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．◆2、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線垂直.幾何語言表示：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三條直線在“同一平面內(nèi)”是前提，沒有這個條件結(jié)論不一定成立.題型題型一平行線的定義與識別【例題1】下列說法正確的是（）A．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么它們互相垂直 B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相垂直 C．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相平行 D．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，那么它們互相平行解題技巧提煉解題的關(guān)鍵是準確把握平行線的概念，牢記平行線的三個條件：①在同一平面內(nèi)；②不相交；③都是直線，通過與定義進行對比來進行判斷.【變式11】如圖所示，能相交的是，平行的是．（填序號）【變式12】（2021春?沙河市期末）觀察如圖所示的長方體，與棱AB平行的棱有幾條（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式13】在同一平面內(nèi)，直線l1與l2滿足下列關(guān)系，寫出其對應的位置關(guān)系：（1）若l1與l2沒有公共點，則l1和l2；（2）若l1與l2只有一個公共點，則l1和l2；（3）若l1與l2有兩個公共點，則l1和l2．【變式14】（2022春?趙縣月考）在同一平面內(nèi)，直線a，b相交于P，若a∥c，則b與c的位置關(guān)系是．題型二題型二平面內(nèi)多條直線的位置關(guān)系【例題2】（2021春?梁山縣期中）若a、b、c是同一平面內(nèi)三條不重合的直線，則它們的交點可以有（）A．1個或2個或3個 B．0個或1個或2個或3個 C．1個或2個 D．以上都不對解題技巧提煉用分類討論的思想根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系去討論求解.【變式21】在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能是（）A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交【變式22】在同一平面內(nèi)有三條直線，如果使其中有且只有兩條直線平行，那么這三條直線有且只有個交點．【變式23】平面內(nèi)四條直線共有三個交點，則這四條直線中最多有條平行線．【變式24】平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點的個數(shù)為個．題型三題型三作已知直線的平行線【例題3】如圖，直線a，點B，點C．（1）過點B畫直線a的平行線，能畫幾條？（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行嗎？解題技巧提煉利用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線，是幾何畫圖的基本技能之一.注意“移”時經(jīng)過的邊是三角尺落在已知直線上的那一邊，而不是任意一邊.【變式31】如圖中完成下列各題．（1）用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過C點畫直線垂直于CD．（2）用符號表示上面①、②中的平行、垂直關(guān)系．【變式32】如圖，已知直線a和直線a外一點A．（1）完成下列畫圖：過點A畫AB⊥a，垂足為點B，畫AC∥a；（2）過點A你能畫幾條直線和a垂直？為什么？過點A你能畫幾條直線和a平行？為什么？（3）說出直線AC與直線AB的位置關(guān)系．【變式33】作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：（1）過點A作BC的平行線；（2）過點C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點D；（3）過點B作AB的垂線．【變式34】（2021秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P．（1）過P畫l1∥OA；（2）過P畫l2∥OB；（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關(guān)系？題型四題型四對平行公及其推論的理解和應用【例題4】（2022春?汝南縣月考）下列推理正確的是（）A．因為a∥d，b∥c，所以c∥d B．因為a∥c，b∥d，所以c∥d C．因為a∥b，a∥c，所以b∥c D．因為a∥b，d∥c，所以a∥c解題技巧提煉在判定兩條直線平行時，一定要理解它們成立的條件，特別是關(guān)鍵字詞及其重要特征.【變式41】如圖，過C點作線段AB的平行線，說法正確的是（）A．不能作 B．只能作一條 C．能作兩條 D．能作無數(shù)條【變式42】（2021春?和平區(qū)校級月考）下列語句正確的有（）個①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【變式43】（2022春?大荔縣期末）如圖，已知OM∥a，ON∥a，所以點O、M、N三點共線的理由是．【變式44】（2022春?海陽市期末）若P，Q是直線AB外不重合的兩點，則下列說法不正確的是（）A．直線PQ可能與直線AB垂直 B．直線PQ可能與直線AB平行 C．過點P的直線一定與直線AB相交 D．過點Q只能畫出一條直線與直線AB平行【變式45】如圖所示，將一張長方形紙對折三次，則產(chǎn)生的折痕與折痕間的位置關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．無法確定題型五題型五探究兩直線平行的條件【例題5】（2021春?商河縣校級期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3解題技巧提煉綜合圖形特征和已知條件，看添加什么條件最好，就添加什么條件.有時答案是不唯一的.【變式51】（2022春?宿豫區(qū)期中）下列圖形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（）A． B． C． D．【變式52】（2022春?昭陽區(qū)校級月考）如圖，把三角尺的直角頂點放在直線b上．若∠1＝50°，則當∠2＝時，a∥b．【變式53】（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，下列條件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式54】（2022春?武宣縣期末）如圖，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的條件有（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【變式55】（2022秋?綠園區(qū)期末）如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【變式56】（2022春?恩施市期末）以下四種沿AB折疊的方法中，由相應條件不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A．展開后測得∠1＝∠2 B．展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．測得∠1＝∠2 D．測得∠1＝∠2【變式57】取一副三角尺按如圖所示的方式拼接，固定三角尺ADC，將三角尺ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角得到三角形AB′C′，示意圖如圖所示．（1）當為多少度時，能使圖2中的AB′∥CD？請說明理由；（2）當α分別為多少度時，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必說明理由）題型六題型六利用兩直線平行的條件解決實際問題【例題6】（2021春?新吳區(qū)月考）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學知識有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．解題技巧提煉題中會給出一個生活中的實際問題，要讀懂題意，結(jié)合圖形構(gòu)造平行線模型，選擇相應的判定定理求解.【變式61】（2021春?太原期中）木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學道理是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【變式62】如圖，是一個防盜窗欞的示意圖，如果測得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否斷定AB∥CD，已知條件夠不夠？如不夠，需要再補充一個什么條件？【變式63】（2021秋?鳳翔縣期末）學習平行線后，張明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點P與已知直線a平行的直線．由操作過程可知張明畫平行線的依據(jù)有（）①同位角相等，兩直線平行；②兩直線平行，同位角相等；③內(nèi)錯角相等，兩直線平行；④同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④【變式64】如圖所示，一束光線在兩面垂直的玻璃墻內(nèi)進行傳播，路徑為A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直線AB與CD是否平行？為什么？【變式65】你知道潛水艇嗎？它在軍事上的作用可大呢．潛水艇下潛后，艇內(nèi)人員以用潛望鏡來觀察水面上的情況，如圖①．其實它的原理非常簡單，（如圖②，潛望鏡中的兩個平面鏡與水平方向的夾角都為45°，光線經(jīng)過鏡子反射時，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解釋為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行嗎？

題型七題型七通過閱讀推理過程填空【例題7】（2021秋?洛寧縣期末）如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？抄寫下面的解答過程，并填空或填寫理由．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）∴∠1＝∠2（）；∴AC∥BD（）；又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），∴（垂直的定義）；∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（）；即∠＝∠；∴∥（同位角相等，兩直線平行）．解題技巧提煉題中會給出一個平行線判定問題的求解過程，要求填寫理由，此時要認真分析題意，然后聯(lián)系上下文求.【變式71】（2022春?龍華區(qū)期中）在橫線上填上適當?shù)膬?nèi)容，完成下面的證明．已知，直線a，b，c，d的位置如圖所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求證：c∥d．證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴＝∠3（），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（），∴c∥d（）．【變式72】（2022春?大安市期末）如圖AF與BD相交于點C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求證：AB∥CE．請完成下列推理過程：證明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD＝（）．∵∠ACB＝∠FCD（），∴∠ECD＝∠ACB（）∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠（）．∴AB∥CE（）．【變式73】請你將下面的證明補充完整，并在括號內(nèi)填寫推理依據(jù)．如圖，點M在直線AB上，MP⊥直線CD，垂足為P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求證：AB∥CD．證明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（）∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+＝+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵MP⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（）．∴AB∥CD（）【變式74】（2021春?灌南縣校級期末）完成下面的證明：已知：如圖．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．【變式75】（2022春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補充完整．如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（）∴∠ABF＝（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12（∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12（