專題02二次根式壓軸題真題分類（原卷版）2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊重難點題型分類高分必刷題（人教版）

專題02二次根式壓軸題真題分類高分必刷題（原卷版）專題簡介：本份資料包含《二次根式》這一章的三類主流的壓軸題，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題，具體包含三類題型：二次根式中的配方法類壓軸題、二次根式中的分母有理化類壓軸題、二次根式的新定義壓軸題。適合于培訓(xùn)機構(gòu)的老師培訓(xùn)尖子生時使用或者學(xué)生考前沖刺高分刷題時使用。題型一二次根式中的配方法類壓軸題1．（2019春·上海）先閱讀下列的解答過程，然再解答：我們可以利用完全平方公式化簡形如的代數(shù)式，只要我們找到兩個正數(shù)、，使使得那么便有：例如：化簡解：首先把化為，這里，由于4+3=7，4×3=12即，。（1）填空______，_______．（2）化簡：．2．（2022春·安徽滁州）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均為正整數(shù)），則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把a＋b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：＋2＝（＋）2；（答案不唯一）（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）在學(xué)習(xí)了二次根式后，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)有的二次根式可以寫成另一個二次根式的平方的形式.比如：.善于動腦的小明繼續(xù)探究：當(dāng)為正整數(shù)時，若，則有，所以，.請模仿小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)為正整數(shù)時，若，請用含有的式子分別表示，得：，；（2）填空：=；（3）若，且為正整數(shù)，求的值.4.（2019秋?岳麓區(qū)校級月考）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的結(jié)論，填空：13+4＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？

5．（2020·重慶）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡．我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P(x，y)和Q(x，y’)給出如下定義：若則稱點Q為點P的“橫負縱變點”．例如：點(3，2)的“橫負縱變點”為(3，2)，點(﹣2，5)的“橫負縱變點”為(﹣2，﹣5)．問題：（1）點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為；（2）化簡：；（3）已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點M(，m)是關(guān)于x的函數(shù)圖像上的一點，點M’是點M的“橫負縱變點”，求點M’的坐標(biāo)．6．（2020春·安徽蕪湖）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式進行了以下探索：．請你仿照小明的方法解決下列問題：（1），則______，_______；（2）已知是的算術(shù)平方根，求的值；（3）當(dāng)時，化簡_______．

題型二二次根式中的分母有理化類壓軸題7．（2020春·云南臨滄）閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：(一)(二)(三)以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：(四)(1)直接寫出化簡結(jié)果①=，②=．(2)請選擇適當(dāng)?shù)姆椒ɑ啠?3)化簡：．

8．（2022秋·山東）閱讀材料把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化通常把分子、分母同時乘以同一個不等于的數(shù)，以達到化去分母中根號的目的．例如：化簡．解：．理解應(yīng)用(1)化簡：；(2)若是的小數(shù)部分，化簡；(3)化簡：．

9．（2021·上海）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請任用其中一種方法化簡：①；②為正整數(shù)）；化簡：．10．（2020·浙江杭州）閱讀下列解題過程．．請回答下列問題（1）觀察上面解題過程，請直接寫出的結(jié)果為______．（2）利用上面所提供的解法，請化簡：的值．（3）不計算近似值，試比較與的大小，并說明理由．11．（2021春?望城區(qū)期末）閱讀下面問題：＝＝；＝＝；．試求：（1）求＝；（2）當(dāng)n為正整數(shù)時＝；（3）的值．12．（2020?岳麓區(qū)開學(xué)）閱讀與理解同學(xué)們，你知道平方差公式嗎？它實際上就（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，你會用嗎？請閱讀下列解題過程：＝＝．＝＝＝．這實際上就是分母有理化的過程！請回答下列問題：（1）觀察上?的解答過程，請寫出＝；（2）利?上面的解法，請化簡……+；（3）解關(guān)于x的方程：+……+＝1．

13．（2021秋?開福區(qū)校級期末）定義：我們將與稱為一對“對偶式”，因為，所以構(gòu)造“對偶式”再將其相乘可以有效的將和中的“”去掉，于是二次根式除法可以這樣計算：如．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．根據(jù)以上材料，理解并運用材料提供的方法，解答以下問題：（1）對偶式與之間的關(guān)系為A．互為相反數(shù)B．互為倒數(shù)C．絕對值相等D沒有任何關(guān)系（2）已知，，求的值；（3）解方程：（提示：利用“對偶式”相關(guān)知識，令）．14．（2020秋·廣東佛山）先閱讀，再解答:由可以看出，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中的根號，例如：，請完成下列問題：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根號：_____．（直接寫結(jié)果）(3)（填或）(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算下列式子的值：

題型三二次根式的新定義壓軸題15．（2021秋·四川巴中）閱讀下列解題過程：例：若代數(shù)式，求a的取值．解：原式=，當(dāng)a<2時，原式＝(2a)+(4a)=62a=2，解得a＝2(舍去)；當(dāng)2≤a＜4時,原式＝(a2)+(4a)=2=2，等式恒成立；當(dāng)a≥4時，原式＝(a2)+(a4)=2a－6＝2，解得a=4；所以，a的取值范圍是2≤a≤4．上述解題過程主要運用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題：(1)當(dāng)3≤a≤7時，化簡：＝_________；(2)請直接寫出滿足＝5的a的取值范圍__________；(3)若＝6，求a的取值．16.（雅禮）定義：對于任意兩個實數(shù)、，按規(guī)則得到一個新數(shù)，我們稱是、的“雅系數(shù)”.（1）若，，求、的“雅系數(shù)”的值；（2）已知實數(shù)滿足，且、互為倒數(shù)，求、的“雅系數(shù)”的值；（3）已知正數(shù)，，當(dāng)為何值時，、的“雅系數(shù)”有