2.2探索直線平行的條件（分層練習(xí)）

第二章相交線與平行線2.2探索直線平行的條件基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）經(jīng)過直線l外一點O的四條直線中，與直線l相交的直線至少有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出如果有和直線l平行的，只能是一條，即與直線l相交的直線至少有3條，故選：C．【點睛】此題考查了經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，熟練掌握內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．相等的角是對頂角B．直線外一點到已知直線的垂線段叫做點到該直線的距離C．兩條不相交的直線叫做平行線D．在同一平面內(nèi)，若直線，，則直線【答案】D【分析】根據(jù)平行線的定義與性質(zhì)、平行公理、對頂角的概念以及點到直線的距離的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.相等的角不一定是對頂角，對頂角是在兩直線相交的前提條件下形成的，原說法錯誤，不符合題意；B.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，原說法錯誤，不符合題意；C.同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，原說法錯誤，不符合題意；D.在同一平面內(nèi)，若直線，，則直線，說法正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了相交線與平行線的一些基本概念，對頂角，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·廣東江門·七年級校考階段練習(xí)）如圖，點E在AC的延長線上，下列條件中能判斷的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定分別進(jìn)行分析可得答案．【詳解】解：A、，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得：，故此選項不符合；B、，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得：，故此選項符合；C、，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得：，故此選項不符合；D、，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得：，故此選項不符合．故選：B．【點睛】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．4．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）在同一個平面內(nèi)的直線a，b，c，若，，則b與c的關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)“同一個平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行”分析判斷即可．【詳解】解：根據(jù)“同一個平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行”可知，在同一個平面內(nèi)的直線a，b，c，若，，則．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行公理推論，熟練掌握平行公理及其推論是解題關(guān)鍵．5．（2021春·重慶九龍坡·七年級重慶市渝高中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：如圖所示，，則下列說法正確的是（

）A．與平行 B．與平行C．與平行，與也平行 D．以上說法都不正確【答案】A【分析】據(jù)平行線的判定，逐項檢查，選出符合題意的選項．【詳解】，（同位角相等，兩直線平行）由圖和題意知，直線與被直線所截，所得到的同位角與不一定相等，所得到的內(nèi)錯角與不一定相等，所得的同旁內(nèi)角與不一定互補(bǔ)，故與不一定平行．∴只有A選項符合題意．故選：．【點睛】此題考查平行線的判定，熟悉平行線的判定方法能正確找得同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是關(guān)鍵．6．（2023春·七年級單元測試）如圖，工人師傅在工程施工中，需在同一平面內(nèi)彎制一個變形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，則（）A．AB//BC B．BC//CD C．AB//DC D．AB與CD相交【答案】C【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可解答．【詳解】解：∵∠ABC＝150°，∠BCD＝30°∴AB//DC．故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，掌握“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”成為解答本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）下列四個命題：①對頂角相等；②等角的補(bǔ)角相等；③如果b//a，c//a，那么b//c；④如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等．其中是真命題的有______．【答案】①②③【分析】利用對頂角的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角、平行公理及推理及平行線的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷后即可得到正確的結(jié)論．【詳解】①對頂角相等，正確；②等角的補(bǔ)角相等，正確；③根據(jù)平行公里的推論可知：如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正確；④如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，故④錯誤．其中是真命題的有①②③．故答案為：①②③【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角、平行公理及推理及平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)定理，應(yīng)重點掌握．8．（2021·河南·九年級專題練習(xí)）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊，在同一條直線上，可以得到________//________，依據(jù)是________．【答案】

AC

DE

內(nèi)錯角相等,兩直線平行【分析】利用直角三角形的兩個直角構(gòu)成內(nèi)錯角可得答案．【詳解】解：由題意得：（內(nèi)錯角相等，兩直線平行．）故答案為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查的是平行線的判定，掌握內(nèi)錯角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．9．（2021春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，若使，需要添加一個條件，則這個條件是________________（填一個即可）．【答案】等【分析】根據(jù)平行線的判定條件確定即可.【詳解】解：由同位角相等，兩直線平行可添加或;由內(nèi)錯角相等，兩直線平行可添加；由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可添加或.故答案為等【點睛】本題考查了平行線的判定，在添加條件時一般選擇較為簡單的條件進(jìn)行添加，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵.平行線的判定方法有3個：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.10．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線a、直線b和直線c均為直線l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．（1）因為∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代換），所以___________（同位角相等，兩直線平行）．（2）因為∠3+∠4=180°（鄰補(bǔ)角定義)，∠3=112°，所以∠4=68°．又因為∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代換），所以_____________（同位角相等，兩直線平行）．【答案】

a

b

b

c【分析】（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行直接作答即可；（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)先求出∠4，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行作答即可．【詳解】解：（1）∵∠1=68°，∠2=68°，∴∠1=∠2，∴，故答案為：a，b；（2）∵∠3+∠4=180°，3=112°，∴∠4=68°，∵∠2=68°，∴∠2=∠4，∴，故答案為：b，c．【點睛】本題主要考查了同位角相等，兩直線平行的知識，平行的判定：①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；④垂直于同一直線的兩條直線平行．三、解答題11．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知：如圖，直線AB，CD被直線GH所截，∠1＝112°，∠2＝68°，求證：AB//CD．完成下面的證明．證明：∵AB被直線GH所截，∠1＝112°，∴∠1＝∠＝112°∵∠2＝68°，∴∠2+∠3＝，∴AB//（

）（填推理的依據(jù)）【答案】∠3，180°，CD，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【分析】先根據(jù)對頂角相等求得∠3的度數(shù)，進(jìn)而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB∥CD．【詳解】證明：∵AB被直線GH所截，∠1=112°，∴∠1=∠3=112°∵∠2=68°，∴∠2+∠3=180°，∴AB∥CD，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）故答案為：∠3，180°，CD，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，對頂角的性質(zhì)，掌握兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·廣西欽州·七年級校考階段練習(xí)）根據(jù)下列語句畫出圖形：（1）過線段AB的中點C，畫CD⊥AB；（2）點P到直線AB的距離是3cm，過點P畫直線AB的垂線PC；（3）過三角形ABC內(nèi)的一點P，分別畫AB，BC，CA的平行線．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)線段中點和垂直的定義畫圖；（2）根據(jù)點到直線的距離畫圖；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)畫圖．【詳解】解：（1）如圖所示，AC=CB，CD⊥AB；（2）如圖所示，點P到直線AB的距離是3cm，AB⊥PC；（3）如圖所示，PD∥AB，PE∥BC，PF∥CA．．【點睛】本題考查了基本作圖，在作垂線、平行線時可以不用直尺和圓規(guī)作圖，可以利用三角板．提升篇提升篇一、填空題1．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，在條件：①；②；③；④中，能判斷的條件是___．【答案】①【分析】根據(jù)平行線的判定定理解答．【詳解】，．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）由②；③；④，都不能判斷，故答案為：①．【點睛】此題考查平行線的判定定理，熟記判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，點E、F分別是梯形兩腰的中點，聯(lián)結(jié)、，如果圖中的面積為1.5，那么梯形的面積等于___．【答案】6【分析】過點A作于H，交于G，根據(jù)梯形中位線定理得到，根據(jù)三角形的面積公式、梯形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：過點A作于H，交于G，如圖，∵點E、F分別是梯形兩腰的中點，∴是梯形的中位線，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查的是梯形的中位線、三角形的面積計算，掌握梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級課時練習(xí)）在同一平面內(nèi)有2022條直線，如果，，，……那么與的位置關(guān)系是_____________．【答案】垂直【分析】根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4個一循環(huán)，依此可得，的位置關(guān)系．【詳解】解：∵在同平面內(nèi)有2022條直線，若，，，……∴與依次是垂直，垂直，平行，平行，…，∵…1，∴與的位置關(guān)系是垂直．故答案為：垂直．【點睛】本題考查垂線、平行線的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．4．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】設(shè)t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當(dāng)秒時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即可求解．【詳解】解：設(shè)t秒后木棒a，b平行，根據(jù)題意得：當(dāng)秒時，，解得：t=2；當(dāng)時，，解得：t=14；當(dāng)時，木棒a停止運動，當(dāng)時，，解得：t=10；（不合題意，舍去）當(dāng)時，或，解得：t=50或t=110；綜上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案為：2或14或50或110【點睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）下列說法中：①若對于任意有理數(shù)x，則存在最大值為6；②如果關(guān)于x的二次多項式的值與x的取值無關(guān)，則的值為8；③在同一平面內(nèi)，一條直線平行于兩條平行線中的一條，則這條直線也平行于另一條；④在同一平面內(nèi)，四條直線兩兩相交，如果最多有m個交點，最少有n個交點，則的值為5．其中正確的有_______（填序號）．【答案】【分析】分三種情況去絕對值，從而可判斷①；根據(jù)關(guān)于x的二次多項式的值與x的取值無關(guān)，先求解，，從而可判斷②；根據(jù)平行公理可判斷③，在同一平面內(nèi)，四條直線兩兩相交，如果最多有6個交點，最少有1個交點，可判斷④，從而可得答案.【詳解】解：，在數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示和4點的距離之差，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，綜上：這個距離之差最大值為6，故①正確；∵，而關(guān)于x的二次多項式的值與x的取值無關(guān)，∴，，∴，，∴，故②錯誤；在同一平面內(nèi)，一條直線平行于兩條平行線中的一條，則這條直線也平行于另一條，這是平行公理的推論，故③正確；在同一平面內(nèi)，四條直線兩兩相交，如果最多有m個交點，最少有n個交點，則，，∴，故④正確．故答案為：．【點睛】本題考查的是絕對值的化簡，整式的加減運算，多項式中不含某項的含義，平行公理的應(yīng)用，相交線的交點問題，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.二、解答題6．（2023春·七年級課時練習(xí)）如圖，已知點O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過點O作OD⊥OE，G是射線OB上一點，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)CDOE，理由見解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可證明CDOE．【詳解】（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【點睛】本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識圖是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，于，于，（1）求證：；（2）若，平分，求證：平分．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）依據(jù)CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可得∠BDC=∠EFB=90°，進(jìn)而得到EF∥CD；（2）依據(jù)EF平分∠AED，可得∠AEF=∠DEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AEF=∠ACD，∠DEF=∠CDE=∠BCD，即可得出∠ACD=∠BCD，可得CD平分∠ACB．【詳解】解：（1）證明：∵∴∵∴∵∴（2）證明：∵平分∴∵（由（1）可知）∴，∵∴則∴平分【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，解決問題的關(guān)鍵是運用等量代換進(jìn)行推導(dǎo)．8．（2023春·七年級課時練習(xí)）動手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的