專題01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓（原卷版）

專題01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點題型專訓【題型目錄】題型一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系題型二二次函數(shù)圖象的平移與對稱問題題型三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍題型四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式題型五根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值題型六二次函數(shù)與x、y軸的交點坐標問題題型七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題題型九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題【知識梳理】知識點二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值0．向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當時，y隨x的增大而減小．簡記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，知識點三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學生對二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號判斷常有些不知所措，這里介紹幾個口訣來幫助同學們解惑．1．基礎四看“基礎四看”是指看開口，看對稱軸，看與y軸的交點位置，看與x軸的交點個數(shù)．“四看”是對二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認識，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時還可以在此基礎上進行一些簡單的組合應用．2．組合二看(1)三全看點在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對應的y的值時進行判斷即可．(2)有缺看軸當a、b、c三個字母只出現(xiàn)兩個間的組合時，這時對同學們來講難度是較大的，如何解決呢？其實我們只要想一想為什么會少一個字母，這個問題就可以較好的解決．少一個字母的原因就是因為有對稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計算當解題感到無從下手時，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應點坐標代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對稱軸的位置、與坐標軸的交點及其圖象中特殊點的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當時拋物線開口向上;當時拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對稱軸位置:當同號時，對稱軸在軸左側(cè);當異號時，對稱軸在軸右側(cè)(可以簡稱為“左同右異”);當時，對稱軸為軸.(3)決定與軸交點的縱坐標:當時，圖象與軸交于正半軸;當時，圖象過原點;當時，圖象與軸交于負半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點的個數(shù):當時，拋物線與軸有兩個交點;當時，拋物線與軸有一個交點;當時，拋物線與軸沒有交點.(5)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號由時，的值確定:若，則;若，則.知識點四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點坐標中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們在解決拋物線平移的有關(guān)問題時，首先需要化拋物線的解析式為頂點式，找出頂點坐標，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標；保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】（2023·安徽黃山·?？家荒＃┤鐖D，拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點在第四象限，對稱軸是直線，過第一、二、四象限的直線（k是常數(shù)）與拋物線交于x軸上一點．現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④當拋物線與直線的另一個交點也在坐標軸上時，；⑤若m為任意實數(shù)，則．其中正確的有（

）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式訓練】1．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┮阎獟佄锞€（是常數(shù)），開口向下，過點，且，下列四個結(jié)論：①；②若，則；③若，，當時，直線與該二次函數(shù)只有一個公共點，則或；④當時，關(guān)于的一元二次方程必有兩個不相等的實數(shù)根．以上結(jié)論，正確的有（）A．個 B．個 C．個 D．個2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)圖像的一部分與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，結(jié)合圖像給出下列結(jié)論：①；②；③；④關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑤若點，均在該二次函數(shù)圖像上，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．13．（2023春·四川達州·九年級校考階段練習）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④已知、在該二次函數(shù)圖像上，當且時，都有．其中正確的結(jié)論有___________．（填序號）

【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對稱問題】【例2】（2023·福建廈門·廈門市湖里中學校考模擬預測）已知拋物線的解析式為．若拋物線經(jīng)過，，三個點中的其中兩個點，平移該拋物線，使其頂點始終在直線上，若，則平移后所得拋物線與軸交點縱坐標的（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最小值為【變式訓練】1．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）已知a＜0，，是方程的兩個根，且，，是拋物線與x軸的兩個交點橫坐標，且，則，，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，拋物線與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C，在其對稱軸上有一動點M，連接MA、MC、AC，則當△MAC的周長最小時，點M的坐標是_____．3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為,直線經(jīng)過兩點．

(1)求該二次函數(shù)的表達式及其圖像的頂點坐標；(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點，再過點作的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點，當時，求點的橫坐標；(3)如圖（2），點關(guān)于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當?shù)闹底钚r，直接寫出的長．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點，點，點在該拋物線上，其橫坐標為，若該拋物線在點左側(cè)部分（包括點）的最低點的縱坐標為．則的值為（

）A． B． C． D．或【變式訓練】1．（2021秋·浙江杭州·九年級杭州市十三中教育集團（總校）校考期中）二次函數(shù)y＝x2+bx的對稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤122．（2022春·浙江金華·八年級校考階段練習）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當直線與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為___3．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸交于點．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點在該二次函數(shù)上．①當時，求的值；②當時，的最小值為，求的取值范圍．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2023·廣東珠海·珠海市文園中學?？既＃┬堄妹椟c法畫二次函數(shù)（，，是常數(shù)，）圖象時，部分列表如下：…01……034…依據(jù)以上信息，判斷以下結(jié)論中錯誤的是（

）A．圖象頂點在第一象限 B．點在該圖象上，若，則C．和4是關(guān)于的方程的兩根 D．若恒成立，則【變式訓練】1．（2022春·浙江湖州·九年級專題練習）如圖，將一個含45°的直角三角板放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點的坐標為，點在軸上．過點，作拋物線，且點為拋物線的頂點．要使這條拋物線經(jīng)過點，那么拋物線要沿對稱軸向下平移（

）A．5個單位 B．6個單位 C．7個單位 D．8個單位2．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，過點作平行于軸的直線，交拋物線于點，連接，若點關(guān)于直線的對稱點恰好落在線段上，則________．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過點，求該函數(shù)的表達式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點M．①求點M的坐標和k的值．②若，當時，總有，求的取值范圍．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知點，在的圖象上，下列說法錯誤的是（

）A．當時，二次函數(shù)與軸總有兩個交點B．若，且，則C．若，則D．當時，的取值范圍為【變式訓練】1．（2023·浙江寧波·?？级＃┮阎c，在拋物線（m是常數(shù)）上．若，，則下列大小比較正確的是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江·九年級期末）如圖，拋物線與軸交于點，（點在的左側(cè)），與軸交于點．點在線段上，點與點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，連結(jié)并延長交軸于點．若，則點的橫坐標為_______．3．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州綠城育華學校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校魏瘮?shù)圖象的表達式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過點，求這個二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個不同點．①若，則，試求的值；②當，對任意的都有，試求的取值范圍．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點坐標問題】【例6】（2023·陜西西安·?？寄M預測）若拋物線向上平移個單位后，在范圍內(nèi)與軸只有一個交點，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）拋物線與坐標軸的交點個數(shù)有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個2．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點分別是“芒果”與坐標軸的交點，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長為4，則圖中的長為______．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．(3)對于任意實數(shù)k，規(guī)定：當時，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預測）對于二次函數(shù)，已知，當時，有下列說法：①若y的最大值為，則；②若y的最小值為，則；③若，則y的最大值為．則上達說法（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③正確 D．均不正確【變式訓練】1．（2023·安徽合肥·合肥市西苑中學?？既＃┮阎魏瘮?shù)，截取該函數(shù)圖象在間的部分記為圖象G，設經(jīng)過點且平行于x軸的直線為l，將圖象G在直線l下方的部分沿直線l翻折，圖象G在直線上方的部分不變，得到一個新函數(shù)的圖象M，若函數(shù)M的最大值與最小值的差不大于5，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021春·廣東廣州·九年級廣州市育才中學?？茧A段練習）關(guān)于二次函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的最小值（用含a的式子表示），下列結(jié)論：①當時，函數(shù)y的最小值；②當時，函數(shù)y的最小值是；③時，函數(shù)y的最小值是；④當，函數(shù)y的最小值．其中正確的有___（填序號即可）．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達式；(2)求線段長度的最大值．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題】【例8】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）定義：如果兩個函數(shù)圖象上至少存在一對點是關(guān)于原點對稱的，我們則稱這兩個函數(shù)互為“守望函數(shù)”，這對點稱為“守望點”．例如：點在函數(shù)上，點在函數(shù)上，點P與點Q關(guān)于原點對稱，此時函數(shù)和互為“守望函數(shù)”，點P與點Q則為一對“守望點”．已知函數(shù)和互為“守望函數(shù)”，則n的最大值為（）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學校校聯(lián)考階段練習）對于實數(shù)，定義新運算，若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）①方程的解為或；②關(guān)于的方程有三個解，則；③當時，隨增大而增大；④當時，函數(shù)有最大值0．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考二模）定義為二次函數(shù)的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的函數(shù)的一些結(jié)論：①當時，函數(shù)圖象的頂點坐標是；②當時，函數(shù)圖象截軸所得的線段長度大于；③當時，函數(shù)在時，隨的增大而減小；④當時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點，正確的結(jié)論是_____．3．（2022秋·安徽淮北·九年級淮北市第二中學校聯(lián)考階段練習）在數(shù)學活動課上，小明興趣小組對二次函數(shù)的圖象進行了深入的探究，如果將二次函數(shù)圖象上的點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)辄c的橫、縱坐標之和，就會得到的一個新的點，他們把這個點定義為點的“簡樸”點．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)所有簡樸點構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為的“簡樸曲線”．例如，二次函數(shù)的“簡樸曲線”就是，請按照定義完成：(1)點的“簡樸”點是________；(2)如果拋物線經(jīng)過點，求該拋物線的“簡樸曲線”；(3)已知拋物線圖象上的點的“簡樸點”是，若該拋物線的“簡樸曲線”的頂點坐標為，當時，求的取值范圍．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題】【例9】（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)交于、兩點，當時，至少存在一個x使得成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·江蘇揚州·九年級專題練習）將拋物線的圖象位于直線以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線與此圖象只有四個交點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2023·新疆·模擬預測）如圖，拋物線與交于點，且分別與軸交于點，．過點作軸的平行線，交拋物線于點，．則以下結(jié)論：①無論取何值，總是負數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當時，隨著的增大，的值先增大后減小；④四邊形為正方形．其中正確的是__________．（填寫正確的序號）3．（2023·浙江寧波·?？级＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交點C的坐標為，且經(jīng)過．

(1)求b和c的值；(2)點P是坐標平面內(nèi)的一動點，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對應點分別是、．①當與D點重合時，請在圖中畫出線段，并直接寫出點P的坐標；②當點P在線段上，若線段與拋物線有公共點，請直接寫出P點的橫坐標m的取值范圍．【重難點訓練】1．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)的圖象過兩點，下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)（m為常數(shù)），當自變量x的值滿足時，與其對應的函數(shù)值y的最小值為3，則m的值為（

）A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或73．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考階段練習）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和函數(shù)（m是常數(shù)，且)的圖象可能是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，，（a，b為常數(shù)，且），則下列判斷正確的是（

）A．若，當時，則 B．若，當時，則C．若，當時，則 D．若，當時，則5．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學?？级＃┮阎魏瘮?shù)（為常數(shù)）經(jīng)過點，一元二次方程的兩個解為，，當時，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知y關(guān)于x的函數(shù)（m為實數(shù)），當時，恒成立，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)（，為常數(shù)）．若．當函數(shù)的圖象經(jīng)過點時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．或 B．或 C． D．8．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）拋物線與軸交于點，過點作直線垂直于軸，將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點，為圖形上兩點，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江溫州·?？既＃佄锞€的頂點落在一次函數(shù)的圖象上，則b的最小值為__________．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線x=1，則9a+3b+c的值是__________．11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知是關(guān)于的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則稱點為函數(shù)圖象上的“平衡點”，例如：直線上存在“平衡點”，若函數(shù)的圖象上存在唯一“平衡點”，則___________．12．（2023春·浙江金華·九年級浙江省義烏市后宅中學?？奸_學考試）已知拋物線，當時，則y的取值范圍是___________．13．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）對于二次函數(shù)．有下列說法：①若，則當時，y隨x的增大而增大．②無論k為何值，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個交點．③無論k為何值，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過點和兩點．④若k為整數(shù)，且該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點都為整數(shù)點，則．其中正確的是______．（只需填寫序號）14．（2023·浙江·九年級專題練習）已知二次函數(shù)．當時，的取值范圍是，該二次函數(shù)的對稱軸為，則的值是____．15．（2022秋·廣東肇慶·九年級?？计谥校┤鐖D，在同一直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸分別交于、點和點，一次函數(shù)的圖象與拋物線交于B、C兩點．

(1)根據(jù)圖象直接回答下列問題：①當自變量x取值范圍為__________時，兩函數(shù)的函數(shù)值都隨x增大而增大．②當自變量x取值范圍為__________時，一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值．③當自變量x取值范圍為__________時，兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于0．(2)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；(3)點M是線段上的一點，過點M作y軸的平行線交拋物線于點D，求線段的最大值．16．（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與直線交于點和點B．

(1)求拋物線和直線的