函數(shù)與面積問題-2022年中考數(shù)學復習（解析版）

專題28M數(shù)與面積問題

考向1二次函數(shù)與面積問題

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考四川省內(nèi)江卷

【母題題文】如圖，拋物線y=ax*bx+c與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點，與y軸

交于點C.直線1與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E,點D的坐標為(4,3).

(1)求拋物線的解析式與直線1的解析式；

(2)若點P是拋物線上的點且在直線1上方，連接PA、PD,求當4PAD面積最大時點P的

坐標及該面積的最大值；

(3)若點Q是y軸上的點，且NADQ=45°,求點Q的坐標.

【答案】(1)?.?拋物線丫=破2+5*+(3與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)兩點,

二設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),

VD(4,3)在拋物線上,

；.3=a(4+2)X(4-6),

解得a=一上,

，拋物線的解析式為y=(x+2)(x-6)=-ix2+x+3,

?.?直線1經(jīng)過A(-2,0)、D(4,3),

設(shè)直線1的解析式為y=kx+m(k=0),

則「2k+m=0

Jl4k+m=3

解得，卜=2,

Im=1

；?直線1的解析式為y=1x+l；

(2)如圖1中，過點P作PK〃y軸交AD于點K.設(shè)P(m,-^1m2+m+3),則K(m,-1m+1).

圖1

1

VSAPAD=*?(XD-XA)?PK=3PK,

???PK的值最大值時，4PAD的面積最大，

1O11O11oQ

*.*PK=--Tin+m+3—77m-1=一利+7ym+2=--r(m-1)+彳，

TV1。，

92715

???ni=l時，PK的值最大，最大值為一，此時4PAD的面積的最大值為一，P(1,—).

444

(3)如圖2中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AT,則T(-5,6),

設(shè)DT交y軸于點Q,則/ADQ=45°,

VD(4,3),

直線DT的解析式為y=-柒+學，

13

AQ(0,—),

3

作點T關(guān)于AD的對稱點『(1,-6),

則直線D『的解析式為y=3x-9,

設(shè)DQ'交y軸于點Q',則NADQ'=45°,

.\Q,(0,-9),

13

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為(0,y)或(0,-9).

【試題解析】(1)利用待定系數(shù)法解決問題即可.

11

(2)如圖1中，過點P作PK〃y軸交AD于點K.設(shè)P(m,-^m9+m+3),貝！JK(m,-m+1).因

為SNAD=W?XD-XA)?PK=3PK,所以PK的值最大值時，4PAD的面積最大，求出PK的最大

值即可.

（3）如圖2中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AT,則T（-5,6）,設(shè)DT交y軸

于點Q,則/ADQ=45°,作點T關(guān)于AD的對稱點『（1）-6）,設(shè)DQ'交y軸于點Q',

則NADQ，=45°,分別求出直線DT,直線DT'的解析式即可解決問題.

【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題.

【得分要點】解決函數(shù)與面積問題的常用方法有

1.割補法：當所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，我們采取分割或補全圖形再分割的方

法來表示所求圖形的面積，如圖：

_-

SAABC=S梯形AEFC—SAAEB—SACBFS四邊形ABCD=SAABD+SB?BDNMSABCMSADCN

一般步驟為：（1）設(shè)出要求的點的坐標；

（2）通過割補將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積相加減；

（3）列出關(guān)于所設(shè)參數(shù)的方程求解；

（4）檢驗是否每個坐標都符合題意.

2.等積變換法

利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個圖形中，如

圖所示：

直線m〃直線n,SAABC=SAABD=S△ABE

例如，在平面直角坐標系中經(jīng)常作已知三角形一邊的平行線去進行等積變換,

SAABC=SAABD=SAABE；一般步驟：設(shè)出直線表達式，兩條平行的直線k值相等；通過已知

點的坐標，求出直線表達式；求出題中要求的點；檢驗是否每個坐標都符合題意.

3、鉛錘法：三角形的鉛垂高指無論三角形怎么放，上方頂點到下方頂點的縱向距離（不是

兩點之間的距離，而是指兩點之間上下距離，左右橫向不用考慮）.在平面直角坐標系中經(jīng)

常向x軸y軸作垂線，然后利用鉛錘法，如圖：

一般步驟：（1）設(shè)出點的坐標；（2）向x軸y軸作垂線對圖形進行分割，利用鉛錘法表示圖

形面積；

（3）根據(jù)題意列方程求解；（4）檢驗是否符合題意.

4.等比轉(zhuǎn)換法：若已知條件中的圖形是相似的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線段比；若已

知條件中的圖形是同底或等底的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對應高的比；若已知條件中

的圖形是同高或等高的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對應底的比，一般步驟：（1）設(shè)出點

的坐標；（2）將圖形的面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線段比；（3）列方程，求出參數(shù)；（4）檢驗是否

符合題意.

1.（2021?湖北襄樊模擬）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-3與直線y=

x+3交于點A（m,0）和點B（2,n）,與y軸交于點C.

（1）求m,n的值及拋物線的解析式；

（2）在圖1中，把AAOC向上平移m個單位長度，始終保持點A的對應點P在第二象限拋

物線上，點C,。的對應點分別為M,N,若直線AB與△PMN的邊有兩個交點，求m的取值范

圍；

（3）如圖2,在拋物線上是否存在點Q（不與點C重合），使4QAB和4ABC的面積相等？若

存在，直接寫出點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由.

m+3=0,2+3=n,

?(ni----3,n---5,

AA(-3,0),B(2,5),

又TA、B在拋物線y=ax2+bx-3上，

.(9a—3b—3=0.(a=1

??(4a+2b—3=5'??乜=2'

y—X2+2X-3；

(2)設(shè)P(t,t2+2t-3),

VA(-3,0),C(0,-3),

???M(t+3,t2+2t-6),

當M移動到AB上時，

則PQ=6,令P(t,t2+2t-3),則Q(t,t+3),

9

t+2t-6=t+3+3,

ti—-4,t2—3(舍去)，

當t=-4時，t2+2t-3=(-4)2+2X(-4)-3=5,

：.P(-4,5),

VA(-3,0),.?.m=5,.*.0<m<5；

(2)分兩種情況：

①當點Q在直線AB的下方時，

作CQ〃AB,交拋物線于點Q,

VAB的解析式是：y=x+3,

.?.可設(shè)直線CQ的解析式為y=x+m,將C(0,-3)代入，得m=-3,

直線CQ的解析式為y=x-3,

..(y=x2+2x-3

*(y=X—3

?隹二:端工(舍去)

...點Q(-1,-4),

②如圖，

當點Q在直線AB的上方時,

可得：ZBAC=90°,

AAB上的高等于AC時，AABQ的面積等于AABC的面積,

延長CA至D,使AD=AC,作DE_LOA于E,作DV〃AB,

???NDEA=NA0C=90°,NDAE=OAC,

/.AADE^AACO(AAS),

???AE=OA=3,DE=OC=3,

???D(-6,3),

ADV的解析式是：y=x+9,

由仁黑一得KU瞰二，

AQ(-4,5)或(3,12),

綜上所述，滿足題意的點Q的坐標為(-1,-4)或(3,12)或(-4,5).

2.(2021?河南南陽一模)如圖，拋物線與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),與y軸

交于點C,且過點D(2,-3).點P是拋物線上的動點(不與點D重合)，直線PD與y軸交

于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P的橫坐標為m,則直線PD的解析式可用含m的式子表示為y=mx-2m-3；

(3)當點P在直線0D下方時，求APOD面積的最大值.

解：(1):拋物線與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),

將D(2,-3)代入上式得-3=a(2+1)(2-3),

解得a=l,

故拋物線的解析式為y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；

(2)?.?點P的橫坐標為m,且點P是拋物線上的動點，

.'.P(m,m"-2m-3),

設(shè)直線PD的解析式為y=kx+b(kWO),

代入P點和D點的坐標得-2m-3=mfc+fe

1—3=2k+b

解得仁鷲一3，

工直線PD的解析式為：y=mx-2m-3；

(3)設(shè)直線0D的解析式為y=sx,

代入D點坐標得-3=2s,

解得s=—

直線0D的解析式為y=-|x,

由卜=帝，

y=x2—2x—3

得2x?-x-6=0,

解得Xi=2,X2=-2,

設(shè)P(m,m2-2m-3),由于點P在直線OD的下方,

3

—2VniV2,

由(2)知直線PD的解析式為y=mx-2m-3,

11o1249

SAPOD=,0E(X-xp)=2(3+2m)(2-m)=-m+/+3=-

D+B

149

當m=《時，SAP0D取最大值為7.

416

3.(2021?江蘇常州武進區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，0為坐標原點，二次函

數(shù)y=x?+bx+c的圖象經(jīng)過點A(3,0)、點B(0,3),頂點為M.

(1)求該二次函數(shù)的表達式.

(2)若點P是線段BM下方的拋物線上一點，求aMBP面積的最大值，并求出此時點P的坐

標.

(3)直線AB上是否存在點E,使得點E關(guān)于直線MB的對稱點F滿足SAABF=SAAB1I?若存在,

求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)把A(3,0),B(0,3)代入y=x?+bx+c,得至仙9+3b+c=0'

解得｛:二［4,...拋物線的解析式為y=x?-4X+3；

(2)如圖1中，過點P作PJ〃y軸J交BM于點J.

y

圖i

??，y=(x-2)2-1,

???頂點M(2,-1),VB(0,3),

?,?直線BM的解析式為y=-2x+3,

設(shè)P(m,m2-4m+3),則J(m,-2m+3),

PJ=-2m+3-(m2-4m+3)=-m2+2m,

9o

*'?SAPBM=2-m+2m)=-(m-1)+1,

???-IVO,???ni=l時，△PBM的面積最大,最大值為1,此時P(1,0)；

(3)存在.如圖2中，①點E的對稱點為F,EF與BM交于點G,連接FM、BF、EM.

???MF〃AB，???NFMB=NEBM,

ZMBE=ZMBF,

???ZMBF=NBMF,FB=FM,

,.?BE=BF,ME=MF,ABE=EM,

設(shè)E(m,-m+3),

則有，m2+(-m)2=(2-m)2+(-1+m-3)2,

S54

解得，m=??'?E>~)；

②設(shè)E關(guān)于點B的對稱點E，,E，關(guān)于AM的對稱點F，，根據(jù)對稱性可知，△OAF，與AAOF

q14

的面積相等，此時I—),

33

綜上所述滿足條件的點E坐標(5[-4)或(-c金1—4

3333

4.(2021?湖北黃石模擬)如圖1,已知拋物線y=-x'+bx+c過點A(1,0),B(-3,0).

(1)求拋物線的解析式及其頂點C的坐標；

(2)設(shè)點D是x軸上一點，當/CDO=/ACO時，求點D的坐標；

(3)如圖2,拋物線與y軸交于點E,點P是該拋物線上位于第二象限的點，線段PA交BE

于點M,交y軸于點N,ABMP和4EMN的面積相等時，求P的坐標.

解：⑴：拋物線y=-x?+bx+c過點A(1,0),B(-3,0),

??R+舒：，解得”；2,

(—9—3o+c=0(c=3

二拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,

將拋物線解析式化為頂點式為y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

...頂點C的坐標為(-1,4)；

(2)設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點H,

由題知，拋物線對稱軸為直線x=-1,OA=1,OC=Vl2+42=V17,

CODO

.'.△COD^AAOC,——=—,

AOCO

.*.D0=17,

...點D的坐標為(17,0),

當D'在點A左側(cè)時，

VZCDO=ZACO,ZCD'O=ZACO,

.,.ZCD，O=ZCDO,

ACD=CD',

VC