專題09設(shè)多元未知數(shù)解決情景較復(fù)雜的問題(原卷版+解析)

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)解法技巧思維培優(yōu)專題09設(shè)多元未知數(shù)解決情景較復(fù)雜的問題典例題型：1．（2020?臺(tái)灣）某場(chǎng)音樂會(huì)販賣的座位分成一樓與二樓兩個(gè)區(qū)域．若一樓售出與未售出的座位數(shù)比為4：3，二樓售出與未售出的座位數(shù)比為3：2，且此場(chǎng)音樂會(huì)一、二樓未售出的座位數(shù)相等，則此場(chǎng)音樂會(huì)售出與未售出的座位數(shù)比為何？（）A．2：1 B．7：5 C．17：12 D．24：172．（2020?資陽期末）為實(shí)現(xiàn)營(yíng)養(yǎng)的合理搭配，某電商推出適合不同人群的甲、乙兩種袋裝混合粗糧．其中，甲種袋裝粗糧每袋裝有3千克A粗糧，1千克B粗糧，1千克C粗糧；乙種袋裝粗糧每袋裝有1千克A粗糧，2千克B粗糧，2千克C粗糧．甲、乙兩種袋裝粗糧每袋成本價(jià)分別為袋中的A、B、C三種粗糧的成本價(jià)之和．已知A粗糧每千克成本價(jià)為6元，甲種粗糧每袋售價(jià)為71.5元，利潤(rùn)率為30%，乙種粗糧利潤(rùn)率為20%，則乙種粗糧每袋的售價(jià)為__________元．（利潤(rùn)率=售價(jià)?成本3．（2020?永州期末）為節(jié)約能源，優(yōu)化電力資源配置，提高電力供應(yīng)的整體效益，國(guó)家實(shí)行了錯(cuò)峰用電．某地區(qū)的居民用電，按白天時(shí)段和晚間時(shí)段規(guī)定了不同的單價(jià)．某戶5月份白天時(shí)段用電量比晚間時(shí)段用電量多50%，6月份白天時(shí)段用電量比5月份白天時(shí)段用電量少60%，結(jié)果6月份的總用電量比5月份的總用電量多20%，但6月份的電費(fèi)卻比5月份的電費(fèi)少20%，則該地區(qū)晚間時(shí)段居民用電的單價(jià)比白天時(shí)段的單價(jià)低的百分?jǐn)?shù)為（）A．62.5% B．50% C．40% D．37.5%4．（2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）一間手工作坊，分成了兩塊區(qū)域，第一塊區(qū)域里擺了一張四方桌（四條腿）和若干圓凳（三腳凳），第二塊區(qū)域里擺了一張圓形桌（六條腿）和若干方凳（四腳凳）現(xiàn)有若干學(xué)生來到作坊進(jìn)行手工創(chuàng)作比賽，每人分別落座后，將多余的凳子撤出手工作坊，他們分別圍坐在方桌和圓桌旁開始今天的創(chuàng)作．此時(shí)，一位在場(chǎng)的學(xué)生發(fā)現(xiàn)整個(gè)手工作坊里人腳加桌腳加凳腳共有38條（包括觀察者本身）．最后統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)第一塊區(qū)域的參賽學(xué)生平均每人完成了10件作品，第二塊區(qū)域的參賽學(xué)生平均每人完成了5件作品，那么所有參加本次比賽的學(xué)生平均每人完成__________件作品．5．（2020?南岸區(qū)校級(jí)月考）重陽佳節(jié)來臨之際，某糕點(diǎn)店對(duì)桂圓味，核桃味、綠豆味重陽糕（分別記為A、B、C）進(jìn)行混裝，推出了甲、乙兩種盒裝重陽糕，盒裝重陽糕的成本是盒中所有A、B、C的成本與盒裝包裝成本之和，每盒甲裝有6個(gè)A，2個(gè)B，2個(gè)C，每盒乙裝有2個(gè)A，4個(gè)B，4個(gè)C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1個(gè)A成本的15倍，每盒乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的43倍．每盒乙的利潤(rùn)率為20%，每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%．當(dāng)該店銷售這兩種盒裝重陽糕的總銷售額為31000元，總利潤(rùn)率為24%時(shí)，銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤(rùn)是__________6．（2020?北碚區(qū)校級(jí)月考）新學(xué)期伊始，西大附中的學(xué)子們積極響應(yīng)學(xué)校的“書香校園”活動(dòng)，踴躍捐出自己喜愛的書籍，互相分享，讓閱讀成為一種習(xí)慣．據(jù)調(diào)查，某年級(jí)甲班、乙班共80人捐書，丙班有40人捐書，已知乙班人均捐書數(shù)量比甲班人均捐書數(shù)量多5本，而丙班的人均捐書數(shù)量是甲班人均捐書數(shù)量的一半，若該年級(jí)甲、乙、丙三班的人均捐書數(shù)量恰好是乙班人均捐書數(shù)量的35，且各班人均捐書數(shù)量均為正整數(shù)，則甲、乙、丙三班共捐書__________鞏固練習(xí)1．（2020?萬州區(qū)期末）萬州某企業(yè)捐資購(gòu)買了一批重120噸的物資支援貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下（假設(shè)每輛車均滿載）：甲載重5噸，運(yùn)費(fèi)400元/車，乙載重8噸，運(yùn)費(fèi)500元/車，丙載重10噸，運(yùn)費(fèi)600元/車，該公司計(jì)劃用甲、乙、丙三種車型同時(shí)參與運(yùn)送并完成任務(wù)，已知它們的總輛數(shù)為15輛，要使費(fèi)用最省，所使用的甲、乙、丙三種在型的輛數(shù)分別是__________．2．學(xué)校組織同學(xué)們看電影，排隊(duì)在街上勻速行走，有位同學(xué)注意到從背后每隔4分鐘過一輛公共汽車，而迎面每隔12分鐘有一輛公共汽車駛過，已知車站發(fā)車的時(shí)間間隔是相同的，那么車站每隔__________分鐘發(fā)一輛車．3．（2020?西湖區(qū)校級(jí)月考）一塊錫鉛合金，在空氣中稱得的質(zhì)量為115千克，在水中稱得的質(zhì)量為103千克，已知在空氣中15千克的錫在水中為13千克，在空氣中35千克的鉛在水中為32千克．問合金中的錫__________千克，鉛__________千克．4．（2020?鹽田區(qū)期末）購(gòu)甲、乙兩種筆記本共用70元．若甲種筆記本單價(jià)5元，乙種筆記本單價(jià)15元，且甲種筆記本數(shù)量是乙種筆記本數(shù)量的整數(shù)倍，則購(gòu)筆記本的方案有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種5．40只腳的蜈蚣與3個(gè)頭的龍同在一個(gè)籠子中，共有26個(gè)頭和298只腳，若40只腳的蜈蚣有1個(gè)頭，則3個(gè)頭的龍有__________只腳？6．（2020?奉化區(qū)期中）為了獎(jiǎng)勵(lì)疫情期間線上學(xué)習(xí)表現(xiàn)優(yōu)異的同學(xué)，某校決定用1200元購(gòu)買籃球和排球，其中籃球每個(gè)120元，排球每個(gè)90元，在兩種球類都購(gòu)買且資金恰好用盡的情況下，購(gòu)買方案有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)解法技巧思維培優(yōu)專題09設(shè)多元未知數(shù)解決情景較復(fù)雜的問題典例題型：1．（2020?臺(tái)灣）某場(chǎng)音樂會(huì)販賣的座位分成一樓與二樓兩個(gè)區(qū)域．若一樓售出與未售出的座位數(shù)比為4：3，二樓售出與未售出的座位數(shù)比為3：2，且此場(chǎng)音樂會(huì)一、二樓未售出的座位數(shù)相等，則此場(chǎng)音樂會(huì)售出與未售出的座位數(shù)比為何？（）A．2：1 B．7：5 C．17：12 D．24：17【點(diǎn)睛】設(shè)一樓座位總數(shù)為7x，二樓座位總數(shù)為5y，分別表示出一、二樓售出、未售出的座位數(shù)，由一、二樓未售出的座位數(shù)相等得到y(tǒng)關(guān)于x的表達(dá)式，再列式表示此場(chǎng)音樂會(huì)售出與未售出的座位數(shù)比，將y代入化簡(jiǎn)即可得．【詳解】解：設(shè)一樓座位總數(shù)為7x，則一樓售出座位4x個(gè)，未售出座位3x個(gè)，二樓座位總數(shù)為5y，則二樓售出座位3y個(gè)，未售出座位2y個(gè)，根據(jù)題意，知：3x＝2y，即y=32則4x+3y3x+2y故選：C．2．（2019春?資陽期末）為實(shí)現(xiàn)營(yíng)養(yǎng)的合理搭配，某電商推出適合不同人群的甲、乙兩種袋裝混合粗糧．其中，甲種袋裝粗糧每袋裝有3千克A粗糧，1千克B粗糧，1千克C粗糧；乙種袋裝粗糧每袋裝有1千克A粗糧，2千克B粗糧，2千克C粗糧．甲、乙兩種袋裝粗糧每袋成本價(jià)分別為袋中的A、B、C三種粗糧的成本價(jià)之和．已知A粗糧每千克成本價(jià)為6元，甲種粗糧每袋售價(jià)為71.5元，利潤(rùn)率為30%，乙種粗糧利潤(rùn)率為20%，則乙種粗糧每袋的售價(jià)為96元．（利潤(rùn)率=售價(jià)?成本【點(diǎn)睛】設(shè)B粗糧每千克的成本價(jià)為x元，C粗糧每千克的成本價(jià)為y元，乙種粗糧每袋售價(jià)為z元，根據(jù)利潤(rùn)＝售價(jià)﹣成本，即可得出關(guān)于x，y，z的三元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)B粗糧每千克的成本價(jià)為x元，C粗糧每千克的成本價(jià)為y元，乙種粗糧每袋售價(jià)為z元，依題意，得：71.5?(6×3+x+y)=30%×(6×3+x+y)z?(6+2x+2y)=20%×(6+2x+2y)解得：x+y=37z=96故答案為：96．3．（2020?永州期末）為節(jié)約能源，優(yōu)化電力資源配置，提高電力供應(yīng)的整體效益，國(guó)家實(shí)行了錯(cuò)峰用電．某地區(qū)的居民用電，按白天時(shí)段和晚間時(shí)段規(guī)定了不同的單價(jià)．某戶5月份白天時(shí)段用電量比晚間時(shí)段用電量多50%，6月份白天時(shí)段用電量比5月份白天時(shí)段用電量少60%，結(jié)果6月份的總用電量比5月份的總用電量多20%，但6月份的電費(fèi)卻比5月份的電費(fèi)少20%，則該地區(qū)晚間時(shí)段居民用電的單價(jià)比白天時(shí)段的單價(jià)低的百分?jǐn)?shù)為（）A．62.5% B．50% C．40% D．37.5%【點(diǎn)睛】分別假設(shè)出白天的單價(jià)為每度a元，晚間的單價(jià)比白天低的百分?jǐn)?shù)為x，可以表示出晚間的單價(jià)，這樣可以表示出5，6月份的白天與晚間電費(fèi)，即可列出方程，求出未知數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)白天的單價(jià)為每度a元，晚間的單價(jià)比白天低的百分?jǐn)?shù)為x，即晚間的單價(jià)為每度（1﹣x）a元，又設(shè)5月份晚間用電量為n度，則：5月份白天用電量為：（1+50%）＝1.5n度，5月份電費(fèi)為：1.5na+（1﹣x）na＝（2.5﹣x）na元，6月份白天用電量為：1.5n（1﹣60%）＝0.6n度，6月份晚間用電量為：（n+1.5n）（1﹣20%）﹣0.6n＝2.4n度，6月份電費(fèi)為：0.6na+2.4（1﹣x）na＝（3﹣2.4x）na元，根據(jù)題意得：（3﹣2.4x）na＝（2.5﹣x）（1﹣10%）na．整理得：1.5x＝0.75，解得：x＝0.625＝62.5%．答：該地區(qū)晚間時(shí)段民用電的單價(jià)比白天時(shí)段的單價(jià)低的百分?jǐn)?shù)為62.5%．故選：A．4．（2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）一間手工作坊，分成了兩塊區(qū)域，第一塊區(qū)域里擺了一張四方桌（四條腿）和若干圓凳（三腳凳），第二塊區(qū)域里擺了一張圓形桌（六條腿）和若干方凳（四腳凳）現(xiàn)有若干學(xué)生來到作坊進(jìn)行手工創(chuàng)作比賽，每人分別落座后，將多余的凳子撤出手工作坊，他們分別圍坐在方桌和圓桌旁開始今天的創(chuàng)作．此時(shí)，一位在場(chǎng)的學(xué)生發(fā)現(xiàn)整個(gè)手工作坊里人腳加桌腳加凳腳共有38條（包括觀察者本身）．最后統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)第一塊區(qū)域的參賽學(xué)生平均每人完成了10件作品，第二塊區(qū)域的參賽學(xué)生平均每人完成了5件作品，那么所有參加本次比賽的學(xué)生平均每人完成7件作品．【點(diǎn)睛】根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的二元一次方程，然后根據(jù)人數(shù)必須是正整數(shù)，即可得到該二元一次方程的解，從而可以計(jì)算出所有參加本次比賽的學(xué)生平均每人完成的作品數(shù)．【詳解】解：設(shè)第一塊區(qū)域有學(xué)生a人，第二塊區(qū)域有學(xué)生b人，（4+3a+2a）+（6+4b+2b）＝38化簡(jiǎn)，得5a+6b＝28，∵a、b均為正整數(shù)，∴a＝2，b＝3∴所有參加本次比賽的學(xué)生平均每人完成：（2×10+3×5）÷（2+3）＝7（件），故答案為：7．5．（2020?南岸區(qū)校級(jí)月考）重陽佳節(jié)來臨之際，某糕點(diǎn)店對(duì)桂圓味，核桃味、綠豆味重陽糕（分別記為A、B、C）進(jìn)行混裝，推出了甲、乙兩種盒裝重陽糕，盒裝重陽糕的成本是盒中所有A、B、C的成本與盒裝包裝成本之和，每盒甲裝有6個(gè)A，2個(gè)B，2個(gè)C，每盒乙裝有2個(gè)A，4個(gè)B，4個(gè)C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1個(gè)A成本的15倍，每盒乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的43倍．每盒乙的利潤(rùn)率為20%，每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%．當(dāng)該店銷售這兩種盒裝重陽糕的總銷售額為31000元，總利潤(rùn)率為24%時(shí)，銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤(rùn)是2500【點(diǎn)睛】設(shè)A的單價(jià)為x元，B的單價(jià)為y元，C的單價(jià)為z元，每盒甲的盒裝包裝成本為k，則每盒乙的盒裝包裝成本是43k，當(dāng)銷售這兩種盒裝重陽糕的銷售利潤(rùn)率為24%時(shí)，該店銷售甲的銷售量為a盒，乙的銷售量為b盒，甲每盒裝的重陽糕的成本是15x＝6x+2y+2z，即y+z＝4.5x，乙每盒裝的重陽糕的成本是2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝20x，得出乙每盒的成本是甲每盒的成本的43，設(shè)甲每盒的成本為m，則乙每盒的成本為43m，乙每盒的售價(jià)為1.6m，求出甲每盒的售價(jià)為43m，根據(jù)甲乙的利潤(rùn)得（43m﹣m）a+（1.6m?43m）b＝（ma+43b）×24%，得出b=【詳解】解：設(shè)A的單價(jià)為x元，B的單價(jià)為y元，C的單價(jià)為z元，每盒甲的盒裝包裝成本為k，則每盒乙的盒裝包裝成本是43k，當(dāng)銷售這兩種盒裝重陽糕的銷售利潤(rùn)率為24%時(shí)，該店銷售甲的銷售量為a盒，乙的銷售量為b甲每盒裝的重陽糕的成本是：15x＝6x+2y+2z，化簡(jiǎn)得：y+z＝4.5x，乙每盒裝的重陽糕的成本是：2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝2x+4×4.5x＝20x，∵20x15x∴乙每盒的成本是甲每盒的成本的43設(shè)甲每盒的成本為m，則乙每盒的成本為43m乙每盒的售價(jià)為：43m（1+20%）＝1.6m∵每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%，∴甲每盒的售價(jià)為：1.6m1+20%=根據(jù)甲乙的利潤(rùn)得：（43m﹣m）a+（1.6m?43m）b＝（ma化簡(jiǎn)得：0.28ma＝0.16mb，∴b=74∵43ma+1.6mb∴43ma+1.6m×7解得：ma＝7500，∴銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤(rùn)是：43ma﹣ma=13故答案為：2500．6．（2020?北碚區(qū)校級(jí)月考）新學(xué)期伊始，西大附中的學(xué)子們積極響應(yīng)學(xué)校的“書香校園”活動(dòng)，踴躍捐出自己喜愛的書籍，互相分享，讓閱讀成為一種習(xí)慣．據(jù)調(diào)查，某年級(jí)甲班、乙班共80人捐書，丙班有40人捐書，已知乙班人均捐書數(shù)量比甲班人均捐書數(shù)量多5本，而丙班的人均捐書數(shù)量是甲班人均捐書數(shù)量的一半，若該年級(jí)甲、乙、丙三班的人均捐書數(shù)量恰好是乙班人均捐書數(shù)量的35，且各班人均捐書數(shù)量均為正整數(shù)，則甲、乙、丙三班共捐書1080【點(diǎn)睛】根據(jù)設(shè)間接未知數(shù)列三元一次方程組求各班人均捐書數(shù)，然后再求三個(gè)班共捐書即可解答．【詳解】解：設(shè)甲班的人均捐書數(shù)量為x本，乙班的人均捐書數(shù)量為（x+5）本，丙班的人均捐書數(shù)量為x2設(shè)甲班有y人，乙班有（80﹣y）人．根據(jù)題意，得xy+（x+5）（80﹣y）+x2解得：y=可知x為2且5的倍數(shù)，故x＝10，y＝64共捐書10×64+15×16+5×40＝1080．答：甲、乙、丙三班共捐書1080本．故答案為1080．鞏固練習(xí)1．（2020?萬州區(qū)期末）萬州某企業(yè)捐資購(gòu)買了一批重120噸的物資支援貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下（假設(shè)每輛車均滿載）：甲載重5噸，運(yùn)費(fèi)400元/車，乙載重8噸，運(yùn)費(fèi)500元/車，丙載重10噸，運(yùn)費(fèi)600元/車，該公司計(jì)劃用甲、乙、丙三種車型同時(shí)參與運(yùn)送并完成任務(wù)，已知它們的總輛數(shù)為15輛，要使費(fèi)用最省，所使用的甲、乙、丙三種在型的輛數(shù)分別是甲車4輛，乙車5輛，丙車6輛．【點(diǎn)睛】設(shè)甲車有a輛，乙車有b輛，則丙車有（15﹣a﹣b）輛，列出等式，再根據(jù)a、b、15﹣a﹣b均為正整數(shù)，求出a，b的值，從而得出答案．【詳解】解：設(shè)甲車有a輛，乙車有b輛，則丙車有（15﹣a﹣b）輛，由題意得5a+8b+10（15﹣a﹣b）＝120，即a＝6?25∵a、b、15﹣a﹣b均為正整數(shù)，∴b等于5，從而a＝4，15﹣a﹣b＝6，b等于10，從而a＝2，15﹣a﹣b＝3，∴甲車4輛，乙車5輛，丙車6輛，或甲車2輛，乙車10輛，丙車3輛則需運(yùn)費(fèi)400×4+500×5+600×6＝7700（元），400×2+500×3+600×10＝8300（元），答：甲車4輛，乙車5輛，丙車6輛，需運(yùn)費(fèi)7700元．故答案為：甲車4輛，乙車5輛，丙車6輛2．學(xué)校組織同學(xué)們看電影，排隊(duì)在街上勻速行走，有位同學(xué)注意到從背后每隔4分鐘過一輛公共汽車，而迎面每隔12分鐘有一輛公共汽車駛過，已知車站發(fā)車的時(shí)間間隔是相同的，那么車站每隔6分鐘發(fā)一輛車．【點(diǎn)睛】設(shè)該同學(xué)步行的速度為x米/分鐘，公共汽車的速度為y米/分鐘，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間結(jié)合相鄰兩輛公共汽車之間的距離相等，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，得出y＝2x，得出發(fā)車間隔時(shí)間＝相鄰兩車間的距離÷公共汽車的速度即可求出發(fā)車間隔時(shí)間．【詳解】解：設(shè)該同學(xué)步行的速度為x米/分鐘，公共汽車的速度為y米/分鐘，根據(jù)題意得：12（y﹣x）＝4（x+y），∴y＝2x，∴12(y?x)y故答案為：6．3．（2020?西湖區(qū)校級(jí)月考）一塊錫鉛合金，在空氣中稱得的質(zhì)量為115千克，在水中稱得的質(zhì)量為103千克，已知在空氣中15千克的錫在水中為13千克，在空氣中35千克的鉛在水中為32千克．問合金中的錫45千克，鉛70千克．【點(diǎn)睛】設(shè)合金中的錫x千克，鉛y千克；根據(jù)題意列方程組，解方程組即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)合金中的錫x千克，鉛y千克；根據(jù)題意得，x+y=11513解得：x=45y=70答：合金中的錫45千克，鉛70千克；故答案為：45，70．4．（2020?鹽田區(qū)期末）購(gòu)甲、乙兩種筆記本共用70元．若甲種筆記本單價(jià)5元，乙種筆記本單價(jià)15元，且甲種筆記本數(shù)量是乙種筆記本數(shù)量的整數(shù)倍，則購(gòu)筆記本的方案有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【點(diǎn)睛】設(shè)購(gòu)買甲種筆記本x個(gè)，則乙種筆記本y個(gè)，利用購(gòu)甲、乙兩種筆記本共用70元得到x＝14﹣3y，利用14?3yy=14y?【詳解】解：設(shè)購(gòu)買甲種筆記本x個(gè)，則乙種筆記本y個(gè)，根據(jù)題意得5x+15y＝70，則x＝14﹣3y，因?yàn)?4?3yy而14?3yy所以y＝1，2，7，14，當(dāng)y＝1時(shí)，x＝11；當(dāng)y＝2時(shí)，x＝8；y＝7和y＝14舍去，所以購(gòu)筆記本的方案有2種．故選：A．5．40只腳的