8.2消元-解二元一次方程組

8.2消元解二元一次方程組消元的思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次方程，即可先求出一個未知數(shù)，然后再求另一個未知數(shù)。這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元的思想。方法一：代入消元法：把二元一次方程組中一個方程的未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這個方法叫做代入消元法，簡稱代入法?！净舅悸贰浚何粗獢?shù)由多變少。代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：（變代解求寫驗）①變：將其中一個方程變形，使一個未知數(shù)用含有另一個的未知數(shù)的代數(shù)式表示。②代：用這個代數(shù)式代替另一個方程中的相應(yīng)未知數(shù)，得到一元一次方程。③解：解一元一次方程④求：把求得的未知數(shù)的值帶入代數(shù)式或原方程組中的任意一個方程中，求得另一個未知數(shù)的值。⑤寫：寫出方程組的解。⑥驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數(shù)值就是原方程組的解，負責(zé)解題有誤。方法二加減消元法：兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：（變加減解求寫驗）①變形：將兩個方程中其中一個未知數(shù)的系數(shù)化為相同（或互為相反數(shù)）。②加減：通過相減（或相加）消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。③求解：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值。④回代：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數(shù)的值。⑤寫解：寫出方程組的解。⑥檢驗：將方程組的解帶入到原方程組中的每個方程中，若各方程均成立，則這對數(shù)值就是原方程組的解，負責(zé)解題有誤。方法三換元法：根據(jù)方程組各系數(shù)的特點，可將方程組中的一個方程或方程的一部分看成一個整體，帶入另一個方程中，從而達到消去其中一個未知數(shù)的目的，并求得方程的解。例(x+5)+(y4)=8(x+5)(y4)=4令x+5=m,y4=n原方程可寫為m+n=8解得m=6,n=2所以x=1mn=4所以x+5=6,y4=2y=6特點：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y4之類，換元后可簡化方程也是主要原因。解三元一次方程的基本步驟：1.變形（變?nèi)淮螢槎淮危?.求解：解二元一次方程組3.回代：將求得的未知數(shù)的值代入原方程組的一個適當?shù)姆匠讨?，得到一個一元一次方程4.求解：解一元一次方程，求出第三個未知數(shù)5.寫解：用大括號將所求的的三個未知數(shù)的值聯(lián)立起來，即得原方程組的解。

【題型一】利用代入消元法/加減消元法解二元一次方程組【典題】（2023春·湖南長沙·七年級期中）解方程組：(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；（2）先整理，然后利用加減消元法解答，即可求解．【詳解】（1）解：，把①代入②得：，解得，把代入①得：，則方程組的解為；（2）解：，由②得，③，①+③得，，解得，把代入①得，，解得，則方程組的解為．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法－代入消元法，加減消元法是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（）（2022春·黑龍江大慶·七年級大慶一中?？计谀┙庀铝蟹匠探M(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）解：，把①代入②，得，解得：，把代入①，得，所以原方程組的解是；（2）方程組整理得：，①②，得，解得：，把代入①，得，所以原方程組的解是．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵，解二元一次方程組的方法有代入法和加減法．2．（）（2022春·廣東廣州·七年級校聯(lián)考期中）分別用代入法和加減法解方程組：．【答案】【分析】根據(jù)代入法和加減消元法解二元一次方程組即可求解．【詳解】解：代入法：由①得：③，將③代入②得，解得：，將代入③得，∴原方程組的解為：；加減法：得：解得：，將代入③得，∴原方程組的解為：【點睛】本題考查了代入法和加減法解方程組，掌握代入法和加減法是解題的關(guān)鍵．3．（）（2022春·黑龍江大慶·七年級大慶市第六十九中學(xué)?？计谀?）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）利用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）利用加減消元法解二元一次方程組即可；（3）利用代入消元法解二元一次方程組即可；（4）先化簡，再利用加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：由得：把代入②得：解得：該方程組的解為；（2）解：由得：把代入得：∴該方程組的解為；（3）解：把②代入①得：解得：把代入②得：∴該方程組的解為；（4）解：由②變形得：由得：∴把代入①得：解得：∴該方程組的解為．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握代入消元法和加減消元法是解決本題的關(guān)鍵．【題型二】二元一次方程組特殊解法【典題】（2022春·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）已知是方程組的解，求的值．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義把代入方程組，①+②得到，即可求解．【詳解】解：把代入方程組得：，①+②得：，則．【點睛】本題主要考查二元一次方程的解，加減消元法解二元一次方程組，理解二元一次方程的解的定義是解決本題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（）（2023春·七年級課時練習(xí)）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代入”的解法：解：由①得將③代入②得：，即把代入③得，∴方程組的解為請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組，解方程．【答案】【分析】按照閱讀材料提供的“整體代入”法把方程將①代入方程②，得到，解得再將代入①得：，即可得出答案．【詳解】解：，將①代入②得：，即，將代入①得：，∴原方程組的解為：．【點睛】本題主要考查了特殊法解二元一次方程組，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“整體代入”法，將一個代數(shù)式作為一個整體代入另一個方程．2．（）（2023秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程：解：①②，即③③×16，得④②④，得．把，代入③，得．解得．所以原方程組的解為：(1)請仿照上面的方法解方程組：；(2)請猜想關(guān)于x，y的方程組的解，并利用方程組的解加以驗證【答案】(1)(2)，驗證見解析【分析】（1）仿照題干的方法求解即可；（2）根據(jù)題干和（1）中的結(jié)果直接猜測即可．【詳解】（1），由①②，得，即③，③，得④，②④得，把代入③，得，∴，原方程組的解是．（2）根據(jù)題干和（1）的結(jié)果，猜測方程組的解是．驗證：將代入方程，左邊，所以左邊=右邊．將代入方程，同理可得左邊=右邊，∴此方程組的解是．【點睛】本題考查了解二元一次方程組：利用代入法或加減消元法把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，理解題干的方法是解題的關(guān)鍵．3．（）（2021春·浙江寧波·七年級校聯(lián)考期中）若方程組的解是，求方程組的解．【答案】方程組的解為【分析】將第二個方程組變形為第一個方程組的形式，從而得到，求出的值即可得到答案．【詳解】解：將方程組的兩個方程的兩邊同時除以4，得，方程組的解是，，解得：，方程組的解為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，能根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組是解題的關(guān)鍵．4．（）（2023春·七年級課時練習(xí)）根據(jù)要求，解答下列問題(1)解下列方程組（直接寫出方程組的解即可）：①的解為；②的解為；③的解為；(2)以上每個方程組的解中，x值與y值的大小關(guān)系為．(3)請你構(gòu)造一個具有以上外形特征的方程組，并直接寫出它的解．【答案】(1)①②③(2)x＝y(tǒng)(3)，方程組的解為：【分析】（1）觀察方程組發(fā)現(xiàn)第一個方程的x系數(shù)與第二個方程y系數(shù)相等，y系數(shù)與第二個方程x系數(shù)相等，分別求出解即可；（2）根據(jù)每個方程組的解，得到x與y的關(guān)系；（3）根據(jù)得出的規(guī)律寫出方程組，并寫出解即可．【詳解】（1）解：①的解為：；②的解為：；③的解為；故答案為：，，；（2）以上每個方程組的解中，x值與y值的大小關(guān)系為x＝y(tǒng)；故答案為：x＝y(tǒng)．（3），方程組的解為：．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，找出題目中二元一次方程組及其解的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型三】二元一次方程組錯解復(fù)原【典題】（2021春·浙江寧波·七年級?？计谥校┘?、乙兩人共同解方程組，由于甲看錯了方程①中的，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的，得到方程組的解為，試求出，的正確值，并計算的值．【答案】；【分析】把代入②中，把代入①中，聯(lián)立方程求解可得到，的值，再代入所求的式子運算即可．【詳解】根據(jù)題意得：，解得：，∴，，，，【點睛】本題主要考查積的乘方，解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是對相應(yīng)知識的掌握與運用．鞏固練習(xí)1．（）（2022春·湖南懷化·七年級?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的方程組，甲同學(xué)由于看錯了方程①中的a，得到方程組的解為；乙同學(xué)由于看錯了方程②中的b，得到方程組的解為．(1)求出原題中a和b的正確值是多少？(2)求這個方程組的正確解是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）甲同學(xué)看錯了a，但是所得的方程組的解是滿足方程②，乙同學(xué)看錯了b，但是所得的方程組的解滿足①，由此得到關(guān)于a，b的方程；（2）根據(jù)（1）所求得到原方程組為，利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，∴；（2）解：由（1）得原方程組為，用得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組錯解復(fù)原問題，正確理解題意得到關(guān)于a，b的方程是解題的關(guān)鍵．2．（）（2022春·遼寧葫蘆島·七年級校考期中）甲、乙兩位同學(xué)在解方程組時，甲把字母a看錯了得到了方程組的解為；乙把字母b看錯了得到方程組的解為．(1)求的值；(2)求原方程組的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意將x＝2，y＝代入方程②可得b的值，將x＝2，y＝﹣1代入方程①可得a的值，進而可得結(jié)果；（2）結(jié)合（1）將a和b的值代入原方程組，解方程組即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：將x＝2，y＝代入方程②，得，解得b＝4，將x＝2，y＝﹣1代入方程①，得2a﹣3＝1，解得a＝2，∴；（2）由（1）知方程組為：，①×2②，得y＝，把y＝代入②得，x＝，∴原方程組的解為．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解，掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．3．（）（2022春·山東日照·七年級?？计谥校├蠲?、王超兩位同學(xué)同時解方程組，李明解對了，得，王超抄錯了m，得．請根據(jù)李明和王超兩位同學(xué)的對話，求a，b，m的數(shù)值．【答案】，，．【分析】把李明和王超計算結(jié)果代入方程，得到關(guān)于與的方程組，求出方程組的解得到，的值，將代入，求得的值即可．【詳解】解：把和代入得：，①②得：，把代入①得：，解得：．將代入，得，解得：，答：，，．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．【題型四】構(gòu)造二元一次方程組求解【典題】（2022春·海南?？凇て吣昙壭？计谥校┮阎?，當時，；當時，，則(1)求k、b的值；(2)求時，y的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意，可得關(guān)于k、b的二元一次方程組，應(yīng)用加減消元法，求出k、b的值即可；（2）應(yīng)用代入法，求出時，y的值是多少即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得：，①②，可得，解得，把代入①，可得：，解得，∴原方程組的解是；（2）解：由（1）得，當時，．【點睛】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用．鞏固練習(xí)1．（）（2022春·湖南邵陽·七年級?？计谥校τ谟欣頂?shù)x，y定義新運算：，其中a，b為常數(shù)．已知，，那么的值是多少？【答案】【分析】根據(jù)新運算定義先列方程組求解a，b，再根據(jù)新運算直接計算即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，解得，∴，∴．【點睛】本題考查新運算定義問題，解題的關(guān)鍵是理解新定義先列方程求解a，b．2．（）（2023春·全國·七年級期中）已知實數(shù)的一個平方根是，的立方根是，求的算術(shù)平方根．【答案】6【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，然后解方程組，求出的值，最后代入計算，最后再求算數(shù)平方根．【詳解】解：由題可知解方程組得將代入得則∴的算術(shù)平方根為【點睛】本題考查了二元一次方程組、平方根、立方根、算數(shù)平方根、掌握相關(guān)知識并正確計算是解題關(guān)鍵．3．（）（2021春·海南省直轄縣級單位·七年級?？计谥校┰诖鷶?shù)式中，當，時，它的值是，當，時，它的值是17，求，的值．【答案】【分析】當，時，的值是；當，時，的值是分別代入得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程即可．【詳解】解：∵在代數(shù)式中，當，時，它的值是11；當，時，它的值是，∴①+②×5得，，解得，將代入②得，，解得，∴【點睛】本題考查了解二元一次方程組，將已知條件代入建立關(guān)于a、b的二元一次方程組是解題關(guān)鍵．【題型五】已知二元一次方程組解的情況求參數(shù)【典題】（2021春·山東濟南·七年級濟南十四中?？计谥校┮阎匠探M的解和互為相反數(shù)，求的值．【答案】【分析】根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，得出方程組的解，再根據(jù)、互為相反數(shù)，可得m的方程，解方程即可求解．【詳解】解：，得：，解得：，把代入②得：，解得：，又∵、互為相反數(shù)，∴，解得：．【點睛】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，正確的計算是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（）（2022春·北京·七年級?？计谥校┮阎P(guān)于，的方程組的解中與的和為，求的值及此方程組的解．【答案】，【分析】根據(jù)題意先用含的代數(shù)式表示出和，再根據(jù)與的和為求出的值，代入，即可求解．【詳解】解：，解得：，，又與的和為，，解得：，把代入，解得：，方程組的解為：，的值為，方程組的解為：．【點睛】本題考查了方程組的解的定義，以及解二元一次方程組，正確求得的值是解決本題的關(guān)鍵．2．（）（2021春·寧夏吳忠·七年級?？计谥校┓匠探M的解滿足，求的值．【答案】0【分析】將方程組中的兩個方程相加可得，再根據(jù)方程組的解滿足可得，解一元一次方程即可得．【詳解】解：，由①②得：，方程組的解滿足，即滿足，，解得．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，正確發(fā)現(xiàn)方程組與其解滿足的等式之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．3．（）（2022春·江西贛州·七年級?？计谀τ谖粗獢?shù)為，的二元一次方程組，如果方程組的解，滿足，我們就說方程組的解與具有“鄰好關(guān)系”．(1)方程組的解與是否具有“鄰好關(guān)系”？說明你的理由；(2)若方程組的解與具有“鄰好關(guān)系”，求的值．【答案】(1)是，理由見解析(2)或【分析】（1）由方程組中變形可得，即滿足，說明該方程組的解，滿足，即該方程組的解與具有“鄰好關(guān)系”；（2）利用原方程組中的第一個方程減第二個方程得：，再根據(jù)“鄰好關(guān)系”的定義，即得出，解出m的值即可．（1）解：，由②得：，即滿足．∴方程組的解，具有“鄰好關(guān)系”；（2）解：方程組，①－②得：，即．∵方程組的解，具有“鄰好關(guān)系”，∴，即，∴或．【點睛】本題考查解二元一次方程組．讀懂題意，理解“鄰好關(guān)系”是解題關(guān)鍵．【題型六】同解方程組【典題】（2022春·河北邯鄲·七年級邯鄲市第二十三中學(xué)?？计谥校┮阎匠探M與有相同的解，求a，b的值．【答案】a=，b=【分析】根據(jù)題意得出方程組，進而得出x，y的值代入另兩個方程求出a，b的值即可．【詳解】解：將第一個方程組中的第一個方程和第二個方程組中的第一個方程聯(lián)立，組成新的方程組，解得：，將代入第一個方程組中的第二個方程和第二個方程組中的第二個方程，得，6a45=4，309b=1．解得，a=，b=．【點睛】此題主要考查了二元一次方程的解，根據(jù)題意得出兩方程的同解方程是解題關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（）（2023春·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組和有相同解，求值．【答案】【分析】因為兩個方程組有相同的解，故只