第五章分式與分式方程（單元測試）

分式與分式方程單元測試參考答案與試題解析一、單選題1．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）下列式子中,不屬于分式的是A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式的定義分析即可.【詳解】A、B、D中的分母都含有字母，是分式；C中的分母含有圓周率π，π是常數(shù)，故C不是分式.故選C.【點睛】本題主要考查分式的定義，判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．注意π不是字母，是常數(shù)，所以分母中含π的代數(shù)式不是分式，是整式．2．（2022·全國·八年級）下列分式中屬于最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最簡分式的概念：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡分式，故此選項不符合題意；B、，不是最簡分式，故此選項不符合題意；C、=，不是最簡分式，故此選項不符合題意；D、是最簡分式，故此選項符合題意，故選：D．【點睛】本題考查最簡分式的概念，涉及分式的基本性質(zhì)、平方差公式，理解最簡分式的概念是解答的關(guān)鍵．3．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）如果把分式中的x和y都擴大2倍，則分式的值（

）A．?dāng)U大2倍 B．?dāng)U大4倍 C．不變 D．縮小2倍【答案】C【解析】【分析】分式中的x和y都擴大2倍變?yōu)橐粋€新的分式再進行約分，比較與原分式的大小變化即可．【詳解】分式中的x和y都擴大2倍變?yōu)?=，所以大小不變，故選C．【點睛】此題主要考查分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對分式進行正確的約分判斷．4．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）已知，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用等式的性質(zhì)對變形可得，利用分式的性質(zhì)對變形可得，從而代入求值即可．【詳解】由條件可知，，∴，即：，根據(jù)分式的性質(zhì)得：，將代入上式得：原式，故選：D．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算是解題的關(guān)鍵．5．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）下列各式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)最簡分式的定義即可判斷.【詳解】A.還有公因式4，不是最簡分式；

B.還有公因式a，不是最簡分式；

C.沒有公因式，是最簡分式；

D.=還有公因式，不是最簡分式；故選C.【點睛】此題主要考查最簡分式的定義，解題的關(guān)鍵是判斷分子分母是否有公因式.6．若分式無意義,則x的值是(

)A．0 B．1 C．1 D．【答案】D【解析】【詳解】根據(jù)題意得，|x|1≠0，所以x≠±1，故選D.7．化簡的結(jié)果是（）A． B． C．x+1 D．x﹣1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式混合運算法則計算即可．【詳解】解：原式=．故選：A．【點睛】本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混和運算的法則是解答本題的關(guān)鍵.8．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）若方程的根是正數(shù)，則的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．【答案】A【解析】【分析】先求出分式方程的解，得出，求出的范圍，再根據(jù)分式方程有解得出，，求出，，即可得出答案．【詳解】解：方程兩邊都乘以得：，，，，方程的根為正數(shù)，，解得：，又∵，，∴，，即的取值范圍是，故選A．【點睛】本題考查了分式方程解的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出和得出，，題目比較好，是一道比較容易出錯的題目．9．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）熊大、熊二發(fā)現(xiàn)光頭強在距離它們300米處伐木，熊二便勻速跑過去阻止，2分鐘后熊大以熊二1.2倍的速度跑過去，結(jié)果它們同時到達，如果設(shè)熊二的速度為x米/分鐘，那么可列方程為(

).A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)熊二的速度為x米/分鐘，則熊大的速度為1.2x米/分鐘，根據(jù)題意可得走過300米，熊大比熊二少用2分鐘，列方程即可．【詳解】解：設(shè)熊二的速度為x米/分鐘，則熊大的速度為1.2x米/分鐘，根據(jù)題意可得：，故選C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列方程．10．（2022·廣西北?！ぐ四昙壠谀〢，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（）A． B．C．+4＝9 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)輪船在靜水中的速度為x千米/時可進一步得出順流與逆流速度，從而得出各自航行時間，然后根據(jù)兩次航行時間共用去9小時進一步列出方程即可.【詳解】∵輪船在靜水中的速度為x千米/時，∴順流航行時間為：，逆流航行時間為：，∴可得出方程：，故選：A．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，熟練掌握順流與逆流速度的公式是解題關(guān)鍵．二、填空題11．（2022·湖北黃石·八年級期末）若分式的值為0，則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件即可求出x的值．【詳解】解：由題意可知：|x|1=0且x1≠0，解得x=1．故答案為：1．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．12．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）化簡的結(jié)果是__________．【答案】【解析】【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式，，故答案是：．【點睛】本題考查了分式的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則．13．（2021·湖南·新化縣東方文武學(xué)校八年級期中）的最簡公分母是_______________．【答案】【解析】【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【詳解】解：的分母分別是xy、4x3、6xyz，故最簡公分母是．故答案為．【點睛】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．14．如果關(guān)于的方程有增根，則_______________.【答案】1【解析】【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．有增根，最簡公分母x?1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的值．【詳解】方程兩邊都乘x?1得mx＋1x＋1＝0，∵方程有增根，∴最簡公分母x?1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝?1．故答案為：?1．【點睛】本題考查了分式方程的增根，解決增根問題的步驟：①確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．15．分式的值為0，那么x的值為_____．【答案】3【解析】【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．【詳解】解：由題意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，解得x＝3．故答案為3．【點睛】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：分母不為零這個條件不能少．16．（2020·山東·濟寧學(xué)院附屬中學(xué)九年級期中）樂樂通常上學(xué)時走上坡路，途中平均速度為千米/時，放學(xué)回家時，沿原路返回，通常的速度為千米/時，則樂樂上學(xué)和放學(xué)路上的平均速度為_________千米/時．【答案】【解析】【分析】設(shè)去學(xué)校的路程為s，由上學(xué)時平均速度為千米/時，可求出上學(xué)時所用時間t1=，根據(jù)回來的平均速度可求出回來的時間t2=，再利用平均速度=總路程除以總時間即可求出．【詳解】設(shè)去學(xué)校的路程為s，∵上學(xué)時平均速度為千米/時，∴上學(xué)時所用時間t1=，∵返回的速度為千米/時∴回來的時間t2=∵總時間為+，總路程為2s，∴樂樂上學(xué)和放學(xué)路上的平均速度為=．【點睛】此題主要考查分式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出式子進行計算．三、解答題17．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】分別根據(jù)分式的加減乘除運算法則計算即可；【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；【點睛】本題主要考查了分式的加減乘除混合運算，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．18．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求實數(shù)A，B．【答案】（1）；（2）2；（3）A=1，B=2．【解析】【分析】（1）先通分，再根據(jù)同分母的分式相加減法則進行計算，設(shè)m=5k，n=3k，再代入求出即可；（2）先根據(jù)完全平方公式進行變形，再代入求出即可；（3）先通分，再根據(jù)同分母的分式相加減法則進行計算，再得出關(guān)于A、B的方程組，求出方程組的解即可．【詳解】解：（1），∵，∴設(shè)m=5k，n=3k，當(dāng)m=5k，n=3k時，原式；（2）∵，∴；（3），∵，∴，解得：A=1，B=2．【點睛】本題考查了分式的混合運算和求值，乘法公式等知識點，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．19．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）八年級（1）班學(xué)生周末乘汽車到游覽區(qū)游覽，游覽區(qū)距學(xué)校．一部分學(xué)生乘慢車先行，出發(fā)后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果他們同時到達游覽區(qū)．已知快車的速度是慢車速度的1.2倍，求慢車的速度【答案】慢車的速度為【解析】【分析】根據(jù)已知快車的速度是慢車速度的1.2倍，列方程即可；【詳解】解：設(shè)慢車的速度為，則快車的速度為，根據(jù)題意，得，解得：；經(jīng)檢驗：x=40是原方程的解；答：慢車的速度為．【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析條件列方程是解題的關(guān)鍵．20．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）某人沿一條河順流游泳，然后逆流游回出發(fā)點，設(shè)此人在靜水中的游泳速度為，水流速度為．（1）求他來回一趟所需的時間t；（2）用t，x，n的代數(shù)式表示l【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）已知某人在靜水中游泳速度為，水流速度為，可得順流速度為:,逆流速度為：，結(jié)合游泳距離，根據(jù)：來回一趟所需時間順流游一趟所用的時間逆流游一趟所用的時間，列出整理即可得出答案；（2）由（1）所得的等式，利用等式的基本性質(zhì)，變形即可得出答案．【詳解】解：（1）順流的實際速度靜水中的速度水流速度；逆流的實際速度靜水中的速度水流速度，所以順流速度為：，逆流速度為：，；（2）由（1）得：即．【點睛】本題主要考查了分式的加減運算及等式的基本性質(zhì)的實際應(yīng)用，靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．21．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300支以上（不包括300支），可以按批發(fā)價付款，購買300支以下（包括300支），只能按零售價付款，小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學(xué)生每人購買1支，那么只能按零售價付款，需用120元，如果多購買60支，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需用120元.（1）這個八年級的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)．（2）若按批發(fā)價購買360支與按零售價購買300支付款相同，那么這個學(xué)校八年級學(xué)生有多少人．【答案】（1）學(xué)生總數(shù)大于240人，且小于等于300人；（2）300人．【解析】【分析】（1）設(shè)這個學(xué)校八年級學(xué)生有人，根據(jù)“如果給學(xué)校八年級學(xué)生每人購買1支，那么只能按零售價付款；如果多購買60支，那么可以按批發(fā)價付款”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)鉛筆的零售價為元，則批發(fā)價為元，根據(jù)