第10講投影與視圖（二）（幾何體的三視圖題型精講）（原卷版）

第10講投影與視圖（二）（幾何體的三視圖）（精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：平行投影題型二：中心投影題型三：正投影題型四：視點，視角與盲區(qū)題型五：判斷幾何體的三視圖角度1：判斷簡單幾何體的三視圖角度2：判斷簡單組合體的三視圖角度3：判斷非實心幾何體的三視圖角度4：已知一種或兩種視圖，判斷其它視圖題型六：畫三視圖題型七：由三視圖還原幾何體題型八：三視圖的相關(guān)計算角度1：求邊長角度2：求面積角度3：求體積角度4：求個數(shù)（含最值問題）第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：投影1平行投影（1）物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象．一般地，用光線照射物體，在某個平面（底面，墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面．

（2）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．

（3）平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．

（4）判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的．如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．

（5）正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．2中心投影（1）中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影．

（2）中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．

（3）判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點，如果光線是相交于一點，那么所得到的投影就是中心投影．知識點二：三視圖從不同的方向看同一物體，所看到的圖形可能會不樣，所以觀察事物要從多個角度去看，才能把握它的特點。①從正面看到的圖形叫主視圖②從左面看到的圖形叫左視圖③從上面看到的圖形叫俯視圖一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖通常稱為幾何體的三視圖(如圖)知識點三：三視圖的畫法（1）主視圖與俯視圖的長相等；（2）主視圖與左視圖的高相等；（3）俯視圖與左視圖的高相等。知識點四：常見幾何體的三視圖第二部分：課前自我評估測試1．（2023秋·河北·九年級校聯(lián)考期末）四個幾何體中，左視圖不是四邊形的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023秋·山東泰安·九年級?？计谀┤鐖D是用5個相同的立方體搭成的幾何體，其俯視圖是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期末）某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體是（

）A．長方體 B．正三棱柱主視圖左視圖 C．球 D．圓柱4．（2023秋·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖是由7個相同的小正方體組合而成的立體圖形，其左視圖是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一個空心圓柱體，其主視圖是（）A． B．C． D．6．（2023秋·河南南陽·七年級南陽市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D是由正六棱柱和球體組合而成的幾何體，則它的左視圖是（）A． B．C． D．第三部分：典型例題剖析題型一：平行投影典型例題例題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受廣大人們的喜愛，體現(xiàn)了“瑞雪兆豐年”的寓意及包容交流拼搏的理念．一名藝術(shù)愛好者雕刻制作了“冰墩墩”“雪容融”，并在中午12點觀測到高為165cm的“冰墩墩”的影長為55cm，此時在同一地點的“雪容融”的影長為60cm，那么“雪容融”的高為（

）A．160cm B．170cm C．180cm D．185cm例題2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖是某風(fēng)車的示意圖，其大小相同的四個葉片均勻分布，點在旋轉(zhuǎn)中心的正下方．某一時刻，太陽光恰好垂直照射葉片，葉片影子為線段，測得米，米，此時垂直于地面的標(biāo)桿與它的影子的比為（其中點，，，，在水平地面上），則的高度為______米，葉片的長為______米．同類題型歸類練1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）下列四幅圖，表示兩棵樹在同一時刻陽光下的影子是（）A． B．C．D．2．（2023秋·安徽滁州·九年級?？计谀┬←惡托?qiáng)在陽光下行走，小麗身高米，她的影長米，小強(qiáng)比小麗高，此刻小強(qiáng)的影長是_________米．3．（2023秋·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某墻壁左側(cè)有一木桿和一棵松樹．某一時刻在太陽光下，木桿的影子剛好不落在墻壁上，已知，．(1)請畫出在同一時刻下松樹AB在陽光下的投影；(2)若木桿，木桿DP的投影，同一時刻松樹AB在陽光下的投影，求松樹的高度．題型二：中心投影典型例題例題1．（2023秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，樹在路燈的照射下形成投影，已知路燈高，樹影，樹與路燈的水平距離，則樹的高度長是_____________．例題2．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）一塊直角三角板如圖所示放置，，，，測得邊在平面的中心投影長為，則長為________，的面積是________．例題3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某興趣小組開展課外活動．如圖，，兩地相距12米，小明從點出發(fā)沿方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點，此時他（）在某一燈光下的影長為，繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點，此時他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測得這個影長為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點，此時他（）在同一燈光下的影長為（點，，在一條直線上）．（1）請在圖中畫出光源點的位置，并畫出他位于點時在這個燈光下的影長（不寫畫法）；（2）求小明原來的速度．同類題型歸類練1．（2023秋·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）如圖，物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”）．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）小杰與小明身高相同．一天晚上，兩人站在路燈下交流學(xué)習(xí)內(nèi)容，小明恰好站在小杰頭頂影子的位置．請在圖中分別畫出此時小杰、小明的影子．（用線段表示）3．（2023秋·山西太原·九年級山西大附中?？计谀┬”蜃隽颂骄课矬w投影規(guī)律的實驗，并提出了一些數(shù)學(xué)問題請你解答：(1)如圖1，白天在陽光下，小彬?qū)⒛緱U水平放置，此時木桿在水平地面上的影子為線段．①若木桿的長為，則其影子的長為___________；②在同一時刻同一地點，將另一根木桿直立于地面，請畫出表示此時木桿在地面上影子的線段：(2)如圖2，夜晚在路燈下，小桃將木桿水平放置，此時木桿在水平地面上的影子為線段．①請在圖中畫出表示路燈燈泡位置的點；②若木桿的長為，經(jīng)測量木桿距離地面，其影子的長為，則路燈距離地面的高度為___________．4．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，小明同學(xué)在晚上由路燈走向路燈，當(dāng)他行到處時發(fā)現(xiàn)，他在路燈下的影長為3米，且恰好位于路燈的正下方，接著他又走了6米到處（即米），此時他在路燈下的影子恰好位于路燈的正下方（已知小明身高1.6米，路燈高8米）．(1)小明站在處在路燈下的影子是線段______；(2)計算小明站在處在路燈下的影長．題型三：正投影典型例題例題1．（2022春·九年級單元測試）如圖，是線段在投影面上的正投影，，，則投影的長為（）A． B． C． D．例題2．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，平面內(nèi)的兩條直線、點、在直線上，過點、兩點分別作直線的垂線，垂足分別為、，我們把線段叫做線段在直線上的正投影，其長度可記作或,特別地，線段在直線上的正投影就是線段，請依據(jù)上述定義解決如下問題.（1）如圖1，在銳角中，，，則=；（2）如圖2，在中，，,，求的面積；（3）如圖3，在鈍角中，，點邊上，，，，求.同類題型歸類練1．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）由四個相同小立方體拼成的幾何體如圖所示，當(dāng)光線由上向下垂直照射時，該幾何體在水平投影面上的正投影是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）三角形鐵板的正投影的形狀可能是______寫出一種即可題型四：視點，視角與盲區(qū)典型例題例題1．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，從點觀測建筑物的視角是（

）A． B． C． D．例題2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）現(xiàn)有，兩堵墻，兩個同學(xué)分別站在處和處，請問小明在哪個區(qū)域內(nèi)活動才不被這兩個同學(xué)發(fā)現(xiàn)(用陰影部分的序號表示)________．例題3．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點的對面是一面東西走向的墻，某人在點觀察一輛自西向東行駛的汽車，汽車的長為6米，根據(jù)圖中標(biāo)示的數(shù)據(jù)解決下列問題：(1)畫出此人在汽車與墻之間形成的盲區(qū)，并求出該盲區(qū)的面積；(2)當(dāng)汽車行駛到位置時，盲區(qū)的面積是否會發(fā)生變化？為什么？同類題型歸類練1．（2022秋·寧夏中衛(wèi)·九年級?？计谀鞍兹找郎奖M，黃河入海流．欲窮千里目，更上一層樓．”這里主要是（

）A．增大盲區(qū) B．減少盲區(qū) C．改變光點 D．增加亮度2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）當(dāng)你在筆直的公路上乘車由A至E的過程中(如圖所示)，發(fā)現(xiàn)路邊有兩棟建筑物，那么不能看到較高建筑物PD的路段是()A．AB B．BC C．CD D．DE3．（2022秋·九年級課時練習(xí)）我國《道路交通安全法》第四十七條規(guī)定“機(jī)動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當(dāng)減速行駛；遇行人通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行”．如圖：一輛汽車在一個十字路口遇到行人時剎車停下，汽車?yán)锏鸟{駛員看地面的斑馬線前后兩端的視角分別是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑馬線的寬度是AB＝3米，駕駛員與車頭的距離是0.8米，這時汽車車頭與斑馬線的距離x是多少？題型五：判斷幾何體的三視圖角度1：判斷簡單幾何體的三視圖典型例題例題1．（2023秋·重慶大渡口·七年級重慶市第九十五初級中學(xué)校?？计谀┤鐖D所示的幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一根空心方管，它的左視圖是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，是一個由正方體和正三棱柱組成的幾何體，則其俯視圖是（）A． B． C． D．角度2：判斷簡單組合體的三視圖典型例題例題1．（2023秋·河南鄭州·九年級?？计谀┤鐖D是由5個完全相同是正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·山東德州·九年級?？计谀┫旅鎴D中所示幾何體的左視圖是（

）A． B． C．D．例題3．（2023秋·北京·七年級校聯(lián)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱、橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體，如圖所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它從正面看是（

）A． B． C． D．角度3：判斷非實心幾何體的三視圖典型例題例題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，空心圓柱在指定方向上的主視圖是（）A． B．C． D．例題2．（2022秋·九年級單元測試）一個幾何體的形狀如圖所示，它的左視圖是（

）A． B． C． D．例題3．（2022秋·廣東茂名·九年級廣東高州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是一根空心方管，它的俯視圖是（

）A． B． C． D．角度4：已知一種或兩種視圖，判斷其它視圖典型例題例題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)，則該幾何體的左視圖為（）A． B．C． D．例題2．（2022秋·河南鄭州·九年級校考期中）一個幾何體由大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個數(shù)，則該幾何體的左視圖為（

）A． B． C． D．例題3．（2022秋·陜西榆林·七年級?？计谀┤鐖D，是由一些相同的正方體小木塊搭建成的幾何體的從左面和從上面看到的形狀圖．其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的正方體小木塊的個數(shù)．請根據(jù)從左面看到的形狀圖將從上面看到的形狀圖中的數(shù)字補(bǔ)充完整，并在網(wǎng)格中畫出從正面看到的這個幾何體的形狀圖．題型五同類題型歸類練1．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示的幾何體的左視圖是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·河南漯河·九年級?？计谀┤鐖D，小明從圖中幾何體的某個方向觀察看到如圖所示的結(jié)果，則小明是從該幾何體的方向觀察的．（

）A．正面 B．上面 C．左面 D．右面3．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）將兩本相同的書進(jìn)行疊放，得到如圖所示的幾何體，則它的左視圖是（

）A． B．C． D．4．（2023春·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）一個圓柱和正三棱柱組成的幾何體如圖水平放置，其主視圖是（）A． B． C． D．5．（2022秋·山東棗莊·九年級?？计谀┤鐖D，將一個長方體內(nèi)部挖去一個圓柱，這個幾何體的主視圖是（

）A． B． C． D．6．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示是一個放在水平面上的幾何體，它的主視圖是（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）用若干大小相同的小立方塊搭一個幾何體，使得從上面和左面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示．請你畫出從正面看到的幾何體的形狀圖.（畫出兩種即可）題型六：畫三視圖典型例題例題1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖是由一些棱長都為的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)該幾何體的主視圖如圖所示，請在下面方格紙中分別畫出它的左視圖和俯視圖；(2)該幾何體的表面積（含下底面）為．例題2．（2022秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖是由七個小正方體堆成的一個立體圖形，請你畫出它的三種視圖．例題3．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖是由7個棱長為1的小正方體搭成的幾何體．(1)請分別畫出從正面、左面、上面看到的這個幾何體的形狀圖；(2)用小正方體搭一幾何體，使得從上面和左面看到的形狀圖與你在（1）中所畫的圖形一致，則搭這樣的幾何體最多要______________個小正方體．例題4．（2022秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）把邊長為1厘米的10個相同正方體如圖擺放．(1)畫出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖；(2)該幾何體的表面積為cm3；(3)如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的主視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加個小正方體．同類題型歸類練1．（2022秋·全國·九年級期末）如圖是由棱長都為的6塊小正方體組成的簡單幾何體．請在方格中畫出該幾何體的三個視圖．2．（2022秋·江蘇·七年級期末）圖①是一個的簡單幾何體．請在圖②的4×4方格紙中分別畫出它的主視圖、左視圖和俯視圖（請將所畫線加粗）．3．（2022秋·遼寧沈陽·七年級沈陽市第四十三中學(xué)?？计谥校?）如圖是由10個同樣大小的小正方體搭成的幾何體，請分別畫出它的主視圖和左視圖；（2）在不改變主視圖和左視圖的情況下，你認(rèn)為最多還可以添加________個小正方體．4．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖是由5個邊長為1的正方體疊放而成的一個幾何體，請畫出這個幾何體的三視圖．（用鉛筆描黑）題型七：由三視圖還原幾何體典型例題例題1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）一個立體圖形，從上面看到的平面圖形，從左面看到的平面圖形，搭成這樣的幾何體所需要的小正方體個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．5或6例題2．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）一個水平放置的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（

）A．B．C．D．例題3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是一個幾何體從三個方向看所得到的形狀圖．(1)寫出這個幾何體的名稱；(2)若從正面看長方形的高為，從上面看三角形的邊長為，求這個幾何體的側(cè)面積．同類題型歸類練1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）一個幾何體由13個大小相同的小立方塊搭成．從正面、左面、上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示，則這個幾何體的搭法共有______種．3．（2023秋·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一個組合（由兩種常見的幾何體組合）幾何體的兩種視圖．(1)請寫出這個組合幾何體是由哪兩種幾何體組成的；(2)畫出該組合幾何體的左視圖．題型八：三視圖的相關(guān)計算角度1：求邊長典型例題例題1．（2022·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖是三棱柱的三視圖，其中，在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2022春·九年級課時練習(xí)）三棱柱的三視圖如圖所示，在俯視圖中，，，，則左視圖中的長為_______．角度2：求面積典型例題例題1．（2023秋·四川眉山·八年級?？茧A段練習(xí)）圖2是圖1中長方體的三視圖，用表示面積，則（）A． B． C． D．例題2．（2023秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市翰光學(xué)校?？计谀┤鐖D所示的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．例題3．（2023秋·河北唐山·九年級?？计谀┤鐖D所示為一幾何體的三種視圖．（單位：）(1)通過我們所學(xué)的有關(guān)三視圖的知識及圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，可以得出左視圖中的，；(2)根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，求這個幾何體的側(cè)面積．角度3：求體積典型例題例題1．（2023·廣東東莞·九年級東莞市東華初級中學(xué)?？计谥校┮阎硯缀误w的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

）A． B． C． D．例題2．（2023秋·河北保定·七年級校考期末）由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的從正面看的圖和從左面看的圖如圖所示，則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個例題3．（2023春·江蘇·七年級開學(xué)考試）如圖，分別是從正面、左面和上面看到的一個幾何體的形狀圖，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，該幾何體的體積為___．角度4：求個數(shù)（含最值問題）典型例題例題1．（2023秋·四川達(dá)州·七年級?？计谀┤鐖D，是由一些小立方塊所搭幾何體的三種視圖，若在所搭幾何體的基礎(chǔ)上（不改變原幾何體中小立方塊的位置），繼續(xù)添加相同的小立方塊，以搭成一個大正方體，至少還需要_____個小立方塊．例題2．（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）.一個幾何體是由一些大小相同的小立方塊擺成的，如下圖是從正面、左面、上面看這個幾何體得到的平面圖形，那么組成這個幾何體所用的小立方塊的個數(shù)是________．例題3．（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）若一個幾何體由若干大小相同的小立方體搭成，如圖分別是從它的左視圖與俯視圖，該幾何體所用小立方體的個數(shù)是，則的最小值是______．題型八同類題型歸類練1．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）如圖是一個長方體的主視圖和左視圖，其中左視圖的面積是．則（1）用表示圖中長方體的高為______．（2）用表示其俯視圖的面積______．2．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）某公司設(shè)計的木制護(hù)欄如圖2，護(hù)欄俯視圖的一部分如圖1，m是左側(cè)主柱，兩側(cè)主柱之間有11根長方體欄桿，欄桿的截面是5cm的正方形（圖中a1，a2，…a11），每兩根欄桿之間的距離為12.5cm，根據(jù)有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求，欄桿間距不得大于11cm，在不增加材料的前提下，能否通過改變安裝方案，使欄桿間距符合要求？說明理由．（≈1.41，≈1.73，≈2.24）3．（2023秋·寧夏中衛(wèi)·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體的體積是（用含的代數(shù)式表示）________．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某長方體的三視圖如圖所示，則這個長方體