專題05二元一次方程組（中等類型）

專題05二元一次方程組【專題過關(guān)】類型一、二元一次方程的解求參【解惑】若是方程的解，則a的值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】將代入二元一次方程中即可求出結(jié)論．【詳解】解：將代入方程中，得：，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是根據(jù)二元一次方程的解，求方程中的參數(shù)，掌握二元一次方程解的定義是解決此題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．已知是二元一次方程組的解，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】將代入二元一次方程組可得：，計(jì)算出的值即可得到答案．【詳解】解：將代入二元一次方程組可得：，解得：，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，根據(jù)題意求出的值是解題的關(guān)鍵．2．如果方程組的解為那么被“★、■”遮住的兩個(gè)數(shù)分別為（

）A．3，10 B．4，10 C．10，4 D．10，3【答案】C【分析】把代入先求出被“■”遮住的數(shù)，再把x，y的值代入求出被“★”遮住的數(shù)．【詳解】解：把代入得，∴∴被“■”遮住的數(shù)是4；再把代入得：，∴被“★”遮住的數(shù)是10．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，利用代入法求解．3．小亮解方程組的解為由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個(gè)數(shù)●和★，則兩個(gè)數(shù)●與★的值分別為（

）A．8， B．8，2 C．，2 D．，【答案】A【分析】把代入方程組中第二個(gè)方程求出y的值，即為“★”表示的數(shù)，再將x與y的值代入第一個(gè)方程求出“●”表示的數(shù)即可．【詳解】解：把代入中，得：，把，代入得：，則“●”“★”表示的數(shù)分別為8，．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，能使方程組中每個(gè)方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值即是方程組的解．解題的關(guān)鍵是要知道兩個(gè)方程之間解的關(guān)系．4．已知是方程組的解，則．【答案】【分析】將代入方程組中的兩個(gè)方程，得到兩個(gè)一元一次方程，即可求解．【詳解】解：∵是方程組的解，∴將代入①，得，∴，將代入②，得，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是把和的值代入方程，得到一元一次方程．5．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是的解，則k的值為．【答案】4【分析】讓得：，根據(jù)，得出，求出即可．【詳解】解：，得：，又∵，∴，解得：，∴k的值為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是利用整體思想得出．類型二、年齡問題【解惑】學(xué)生問老師：“您今年多大了”老師風(fēng)趣地說：“我像你這么大的時(shí)候，你才出生，你到我這么大時(shí)，我已經(jīng)36歲了，”那么老師和學(xué)生的年齡分別是（

）A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10【答案】A【分析】設(shè)老師現(xiàn)在的年齡是歲，學(xué)生現(xiàn)在的年齡是歲，抓住年齡差不變，根據(jù)此等量關(guān)系可列方程組求解．【詳解】解：設(shè)老師現(xiàn)在的年齡是歲，學(xué)生現(xiàn)在的年齡是歲，由題意可得：，解得：．故老師現(xiàn)在的年齡是24歲，學(xué)生現(xiàn)在的年齡是12歲．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是知道年齡差是不變的量從而可列方程求解．【融會(huì)貫通】1．一名學(xué)生問老師：“你今年多大了？”老師風(fēng)趣地說“我像你這樣大的時(shí)候，你才2歲；你到我這么大時(shí)，我已經(jīng)38歲了”，則今年老師的歲數(shù)是．【答案】26【分析】設(shè)今年老師的歲數(shù)是x歲，學(xué)生的歲數(shù)是y歲，根據(jù)學(xué)生今年年齡減年齡差等于2，老師今年年齡加年齡差等于38，列出二元一次方程組即可．【詳解】解：設(shè)今年老師的歲數(shù)是x歲，學(xué)生的歲數(shù)是y歲，依題意得：，解得：．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，準(zhǔn)確抓住數(shù)量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．2．六年前，甲的年齡是乙的年齡的3倍，現(xiàn)在甲的年齡是乙的年齡的2倍，則甲比乙大歲．【答案】12【分析】設(shè)甲、乙兩人現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解即可計(jì)算甲比乙大多少歲．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意，可得，解得，∴甲比乙大2412=12歲．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出二元一次方程組．3．弟弟對哥哥說：“我像你這么大的時(shí)候你已經(jīng)20歲．”哥哥對弟弟說：“我像你這么大的時(shí)候你才5歲．”則哥哥的年齡是歲．【答案】15【分析】設(shè)此時(shí)弟弟歲，哥哥歲，根據(jù)題意，因?yàn)榈艿芘c哥哥的年齡差等于哥哥與20歲的年齡差，哥哥與弟弟的年齡差等于弟弟與5歲的年齡差，列出二元一次方程組求解即可．【詳解】設(shè)此時(shí)弟弟歲，哥哥歲，由題意：，解得：，∴此時(shí)哥哥的年齡是15歲，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，準(zhǔn)確建立二元一次方程組并求解是解題關(guān)鍵．4．甲對乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲．”乙對甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲．”則甲、乙現(xiàn)在的年齡分別是．【答案】42歲，23歲【分析】設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，根據(jù)甲、乙年齡之間的關(guān)系，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，依題意，得：，解得：．答：甲現(xiàn)在42歲，乙現(xiàn)在23歲．故答案為：42歲，23歲．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．5．5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【答案】母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲【分析】設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，然后根據(jù)5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，則解得答：母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意列出方程求解．類型三、分配問題【解惑】某小組分若干本書，若每人分6本，則余4本；若每人分8本，則缺2本，共有圖書（

）A．34本 B．22本 C．24本 D．32本【答案】B【分析】設(shè)人數(shù)為，圖書為，若每人分6本，則余4本；若每人分8本，則缺2本列出方程組解答即可．【詳解】解：設(shè)人數(shù)為，圖書為，根據(jù)題意可得：，解得：，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．【融會(huì)貫通】1．某車間有90名工人，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓15個(gè)或螺帽24個(gè)，要使一個(gè)螺栓配套兩個(gè)螺帽，應(yīng)該如何分配工人才能便生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套？若設(shè)生產(chǎn)螺栓人，生產(chǎn)螺帽人，則列方程組得．【答案】【分析】根據(jù)某車間有90名工人，一個(gè)螺栓配套兩個(gè)螺帽，列二元一次方程組即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．某機(jī)械廠加工車間平均每人每天加工甲種零件10個(gè)或乙種零件16個(gè)，已知3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，共有85名工人全員參加生產(chǎn)，問怎樣安排人員才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套？【答案】應(yīng)分配60人生產(chǎn)甲種零件，25人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套【分析】設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)甲種零件，y人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套，根據(jù)3個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，共有85名工人全員參加生產(chǎn)，列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)甲種零件，y人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套，由題意得：，解得：，答：應(yīng)分配60人生產(chǎn)甲種零件，25人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．眼鏡廠共有工人48人，每位工人每天能生產(chǎn)鏡片40片或鏡架28副．怎樣分配工人能使一天生產(chǎn)的鏡片和鏡架配套？【答案】分配28人生產(chǎn)鏡片，20人生產(chǎn)鏡架，能使一天生產(chǎn)的鏡片和鏡架配套．【分析】設(shè)分配人生產(chǎn)鏡片，人生產(chǎn)鏡架，能使一天生產(chǎn)的鏡片和鏡架配套，根據(jù)共有工人48人，鏡片數(shù)量鏡架數(shù)量，列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)分配人生產(chǎn)鏡片，人生產(chǎn)鏡架，能使一天生產(chǎn)的鏡片和鏡架配套，由題意得：，解得：，答：分配28人生產(chǎn)鏡片，20人生產(chǎn)鏡架，能使一天生產(chǎn)的鏡片和鏡架配套．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4．列方程組解應(yīng)用題用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個(gè)，或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒，現(xiàn)有36張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底可以使盒身與盒底正好配套？【答案】16張制盒身，20張制盒底【分析】設(shè)用x張制盒身，y張制盒底可以使盒身與盒底正好配套，根據(jù)一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒，現(xiàn)有36張白鐵皮列方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)用x張制盒身，y張制盒底可以使盒身與盒底正好配套根據(jù)題意得或解得：答：用16張制盒身，20張制盒底可以使盒身與盒底正好配套．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，仔細(xì)審題，找出題目的已知量和未知量，設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，并找出兩個(gè)能代表題目數(shù)量關(guān)系的等量關(guān)系，然后列出方程組求解即可．5．某工廠第一車間人數(shù)比第二車間人數(shù)的少30人，如果從第二車間調(diào)10人到第一車間，那么第一車間人數(shù)就是第二車間人數(shù)的，求原來每個(gè)車間的人數(shù)．【答案】第一車間的人數(shù)為170人，第二車間的人數(shù)為250人【分析】設(shè)原來第一車間有x人，第二車間有y人．根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)原來第一車間有x人，第二車間有y人．由題意得，解得：．答：原來第一車間的人數(shù)為170人，第二車間的人數(shù)為250人．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．類型四、和差倍分問題【解惑】不考慮優(yōu)惠，買2本筆記本和3支水筆共需22元，買4本筆記本和3支水筆共需38元，則購買1本筆記本和1支水筆共需（

）A．10元 B．8元 C．5元 D．3元【答案】A【分析】設(shè)每個(gè)筆記本x元，每支水筆y元，根據(jù)題意列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)筆記本x元，每支水筆y元，根據(jù)題意得：，解得：，所以每個(gè)筆記本8元，每支水筆2元，則購買1本筆記本和1支水筆共需：（元），故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意找出關(guān)系量列出方程組是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．某校七年級學(xué)生開展義務(wù)植樹活動(dòng)，參加者是未參加者人數(shù)的3倍，若該年級人數(shù)減少6人，未參加人數(shù)增加6人，則參加者是未參加者人數(shù)的2倍，則該校七年級學(xué)生共有（

）人．A．72人 B．80人 C．96人 D．100人【答案】C【分析】設(shè)參加者為x人，未參加者為y人，根據(jù)參加者是未參加者人數(shù)的3倍，若該年級人數(shù)減少6人，未參加人數(shù)增加6人，則參加者是未參加者人數(shù)的2倍列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)參加者為x人，未參加者為y人，由題意得，，解得，∴，∴該校七年級學(xué)生共有96人，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．2．一批書分給一組學(xué)生，每人6本則少6本，每人5本則多5本，這批書共有本．【答案】60【分析】可設(shè)書有x本，學(xué)生有y人，根據(jù)總本數(shù)相等和每人分6本，那么還差6本，如果每個(gè)學(xué)生分5本，那么還多5本可列出方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)書有x本，學(xué)生有y人，根據(jù)題意得，解得，答：這批書共有60本，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用.解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解.利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個(gè)等量關(guān)系，準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵．3．為做好疫情防控工作，某單位計(jì)劃再購買甲、乙兩種新型額溫槍．若購買1支甲種額溫槍和2支乙種額溫槍共需700元，購買2支甲種額溫槍和3支乙種額溫槍共需1160元．試求出甲、乙兩種額溫槍的單價(jià)各多少元．【答案】每支甲種額溫槍220元，每支乙種額溫槍240元【分析】設(shè)甲種額溫槍的單價(jià)為元，乙種額溫槍的單價(jià)為元，根據(jù)“購買1支甲種額溫槍和2支乙種額溫槍共需700元，購買2支甲種額溫槍和3支乙種額溫槍共需1160元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每支甲種額溫槍x元，每支乙種額溫槍y元，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．答：每支甲種額溫槍220元，每支乙種額溫槍240元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4．“綠水青山就是金山銀山”，保護(hù)環(huán)境從日常出行做起．我市實(shí)行限行政策后，某天小林在某停車場觀察到：該停車場停有三輪車和小轎車兩種車型共30輛，已知停車場的車輪總數(shù)為110個(gè)，求三輪車和小轎車各有多少輛？（請用二元一次方程組解答）【答案】停車場有三輪車10輛，小轎車20輛【分析】設(shè)停車場有三輪車x輛，小轎車y輛，根據(jù)停車場停有三輪車和小轎車兩種車型共30輛，停車場的車輪總數(shù)為110個(gè)，列出方程組進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)停車場有三輪車x輛，小轎車y輛．由題意得：，解得：；答：停車場有三輪車10輛，小轎車20輛．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程組．5．為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號召，某校計(jì)劃為學(xué)校足球隊(duì)購買一批足球，已知購買6個(gè)A品牌足球和4個(gè)B品牌足球共需960元；購買5個(gè)A品牌足球和2個(gè)B品牌足球共需640元．(1)求A，B兩種品牌足球的單價(jià)．(2)若該校計(jì)劃從某商城網(wǎng)購A，B兩種品牌的足球共20個(gè)，其中購買A品牌的足球不少于3個(gè)且不多于7個(gè)，則該校購買這些足球最少需要多少錢？【答案】(1)A種品牌的足球單價(jià)為80元，B種品牌的足球單價(jià)為120元(2)學(xué)校最少需要花費(fèi)2120元【分析】（1）根據(jù)購買6個(gè)品牌的足球和4個(gè)品牌的足球共需960元；購買5個(gè)品牌的足球和2個(gè)品牌的足球共需640元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）設(shè)購買種品牌的足球個(gè)，則兩種品牌的足球個(gè)，然后根據(jù)購買品牌的足球不少于3個(gè)且不多于7個(gè)，可以得到的取值范圍，再依次代入計(jì)算可得結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)種品牌的足球單價(jià)為元，種品牌的足球單價(jià)為元，由題意可得：，解得，答：種品牌的足球單價(jià)為80元，種品牌的足球單價(jià)為120元；（2）若購品牌的足球個(gè)，則購買品牌的足球個(gè)，則共需要元，購買品牌的足球不少于3個(gè)且不多于7個(gè)，購買品牌的足球有3個(gè)或4個(gè)或5個(gè)或6個(gè)或7個(gè)，分別代入可得：當(dāng)購買品牌的足球7個(gè)時(shí)，式子取得最小值，原式，答：學(xué)校最少需要花費(fèi)2120元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、列代數(shù)式以及求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組，寫出相應(yīng)的代數(shù)式．類型五、古代問題【解惑】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為.【答案】7人【分析】設(shè)共有x人，價(jià)格為y錢，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解．【詳解】解：設(shè)共有x人，價(jià)格為y錢，依題意得：，解得：，答：物品價(jià)格為53錢，共同購買該物品的人數(shù)有7人,故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組即可求解．【融會(huì)貫通】1．“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六；問人數(shù)、雞價(jià)各幾何?”（《九章算術(shù)》），題目的大意是：有幾個(gè)人共同出錢買雞，每人出九枚銅錢，則多了11枚錢；每人出六枚銅錢，則少了16枚銅錢，那么有幾個(gè)人共同買雞?雞的價(jià)錢是多少?設(shè)有x人，雞的價(jià)錢為y錢，則根據(jù)題意可列出方程組．【答案】【分析】根據(jù)每人出九枚銅錢，則多了11枚錢得；每人出六枚銅錢，則少了16枚銅錢得，由此列得方程組．【詳解】解：設(shè)有x人，雞的價(jià)錢為y錢，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．2．我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何，”其大意是“有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一共有35個(gè)頭，94條腿，問雞兔各有多少只？”設(shè)雞有x只，兔有y只，則可列方程組為．【答案】【分析】根據(jù)“一共有35個(gè)頭，94條腿”列方程組即可．【詳解】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，由題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出合適的等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．3．列方程組解古算題：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢六十，乙得甲太半而亦錢六十，甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢60．如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢60．甲、乙兩人各帶了多少錢？【答案】甲帶了45錢，乙?guī)Я?0錢．【分析】設(shè)甲帶了x錢，乙?guī)Я藋錢，利用等量關(guān)系“甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢60．如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢60．”列方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)甲帶錢x，乙?guī)уXy，根據(jù)題意，得，解得．∴甲帶了45錢，乙?guī)Я?0錢．【點(diǎn)睛】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題，掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題步驟與解法，抓住等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白銀一十二枚，稱之重適等.交易其二，金輕二十四兩.問金、銀一枚各重幾何?”意思是：甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同)，乙袋中裝有白銀12枚(每枚白銀重量相同)，稱重兩袋相等，兩袋互相交換2枚后，甲袋比乙袋輕了24兩(袋子重量忽略不計(jì))，問：黃金、白銀每枚各重多少兩?【答案】黃金每枚重24兩，白銀每枚重18兩【分析】設(shè)黃金每枚重兩，白銀每枚重兩，根據(jù)兩袋互相交換2枚后，甲袋比乙袋輕了24兩可列方程，即可解得答案．【詳解】解：設(shè)黃金每枚重兩，白銀每枚重兩，根據(jù)題意列方程得，，解得，答：黃金每枚重24兩，白銀每枚重18兩．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，正確列出方程組．5．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》一書中記載了這樣一個(gè)問題：“今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．問家數(shù)、牛價(jià)各幾何．”大意為：今有若干戶人家共同買牛，若每7家共出190個(gè)錢，則少330個(gè)錢：若每9家共出270個(gè)錢，則多30個(gè)錢．問共同買牛的家數(shù)和牛價(jià)各是多少？請你解決上述問題．【答案】共有126家共同買牛，牛價(jià)為3750個(gè)錢【分析】設(shè)有x家，牛價(jià)為y個(gè)錢，然后根據(jù)題意可列二元一次方程組進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)有x家，牛價(jià)為y個(gè)錢，根據(jù)題意，得：，解得：，答：共有126家共同買牛，牛價(jià)為3750個(gè)錢．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．類型六、方案問題【解惑】在疫情防控期間，某中學(xué)為保障廣大師生生命健康安全，欲從商場購進(jìn)一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下購買情況：免洗手消毒液84消毒液總花費(fèi)第一次購買40瓶90瓶1320第二次購買60瓶120瓶1860求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價(jià)格分別是多少元？【答案】每瓶免洗手消毒液的價(jià)格是15元，每瓶84消毒液的價(jià)格是8元【分析】設(shè)每瓶免洗手消毒液的價(jià)格是元，每瓶84消毒液的價(jià)格是元，根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合兩次購買的數(shù)量及總花費(fèi)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每瓶免洗手消毒液的價(jià)格是元，每瓶84消毒液的價(jià)格是元，依題意得：，解得：．答：每瓶免洗手消毒液的價(jià)格是15元，每瓶84消毒液的價(jià)格是8元．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到等量關(guān)系列出方程組．【融會(huì)貫通】1．小李在某商場購買A、B兩種商品若干次（每次A、B商品都買），三次購買A、B商品的數(shù)量和費(fèi)用如下表所示：購買A商品的數(shù)量/個(gè)購買B商品的數(shù)量/個(gè)購買總費(fèi)用/元第一次65980第二次37940第三次660(1)求A、B商品的標(biāo)價(jià)各是多少元？(2)小李第三次購買方案可能有哪幾種？【答案】(1)商品的標(biāo)價(jià)是80元，商品的標(biāo)價(jià)是100元(2)見解析【分析】（1）設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為元，商品的標(biāo)價(jià)為元，根據(jù)前兩次購物的數(shù)量及總費(fèi)用，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量，列出關(guān)于，的二元一次方程，求出正整數(shù)解，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)商品的標(biāo)價(jià)是元，商品的標(biāo)價(jià)是元，依題意得：，解得：，答：商品的標(biāo)價(jià)是80元，商品的標(biāo)價(jià)是100元；（2）依題意得：，整理得：，又，均為正整數(shù)，或，購買方案可能有2種，①購買商品2件，商品5件；②購買商品7件，商品1件．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．2．已知：用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸．某物流公司現(xiàn)有36噸貨物，計(jì)劃租用A型車a輛，B型車b輛（一種或兩種車型都可），一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？(2)若A型車每輛需租金110元/次，B型車每輛需租金150元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【答案】(1)1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨4噸；(2)最省錢的租車方案為：租用12輛A型車，最少租車費(fèi)為1320元．【分析】（1）設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，根據(jù)“用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)“一次性運(yùn)36噸貨物，且恰好每輛車都載滿貨物”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為自然數(shù)，即可得出各租車方案，再求出選擇各租車方案所需租車費(fèi)，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，依題意得：，解得：．答：1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨4噸；（2）解：依題意得：，．又，均為自然數(shù)，或或或，共有4種租車方案，方案1：租用9輛B型車，所需總租金為（元；方案2：租用4輛A型車，6輛B型車，所需總租金為（元；方案3：租用8輛A型車，3輛B型車，所需總租金為（元；方案4：租用12輛A型車，所需總租金為（元．，最省錢的租車方案為：租用12輛A型車，最少租車費(fèi)為1320元．【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用和二元一次方程有整數(shù)解的實(shí)際意義．在解與實(shí)際問題有關(guān)的二元一次方程組時(shí)，要結(jié)合未知數(shù)的實(shí)際意義求解．3．為了抓住世博會(huì)商機(jī)，某商店決定購進(jìn)A、B兩種世博會(huì)紀(jì)念品，若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要2000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要1050元．(1)購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少錢？(2)若該商店決定拿出4000元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，其中各紀(jì)念品至少購進(jìn)12件，那么該商店有哪些進(jìn)貨方案？【答案】(1)購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需要150元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需要100元；(2)該商店共有四種進(jìn)貨方案；方案1，購進(jìn)A種紀(jì)念品12件，B紀(jì)念品22件；方案2，購進(jìn)A種紀(jì)念品14件，B紀(jì)念品19件；方案3，購進(jìn)A種紀(jì)念品16件，B紀(jì)念品16件；方案4，購進(jìn)A種紀(jì)念品18件，B紀(jì)念品13件．【分析】（1）設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需要x元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需要y元，根據(jù)“若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要2000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要1050元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品a件，B紀(jì)念品b件，正好用完4000元，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得出關(guān)于a、b的二元一次方程，再由a、b均為不小于12的正整數(shù)，即可找出各進(jìn)貨方案．【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需要x元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需要y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進(jìn)A種紀(jì)念品每件需要150元，購進(jìn)B種紀(jì)念品每件需要100元；（2）解：設(shè)購進(jìn)A種紀(jì)念品a件，B紀(jì)念品b件，正好用完4000元，根據(jù)題意得：，化簡得：，即．∵a、b均為不小于12的正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．答：該商店共有四種進(jìn)貨方案；方案1，購進(jìn)A種紀(jì)念品12件，B紀(jì)念品22件；方案2，購進(jìn)A種紀(jì)念品14件，B紀(jì)念品19件；方案3，購進(jìn)A種紀(jì)念品16件，B紀(jì)念品16件；方案4，購進(jìn)A種紀(jì)念品18件，B紀(jì)念品13件．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，列出關(guān)于a、b的二元一次方程．4．已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸，某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車m輛，B型車n輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)一輛A型車和一輛B型車裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？(2)請你幫物流公司設(shè)計(jì)出所有可行的租車方案．(3)若A型車每輛租金1000元/次，B型車每輛租金1200元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租金費(fèi)．【答案】(1)一輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，一輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，(2)可租用A型車9輛，B型車1輛；租用A型車5輛，B型車4輛；租用A型車1輛，B型車7輛(3)最省錢的租車方案為：租用A型車1輛，B型車7輛，費(fèi)用為元【分析】（1）設(shè)一輛A型車和一輛B型車裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨噸，根據(jù)題意建立二元一次方程組即可求解；（2）根據(jù)貨物總重量可得，即可求解；（3）由（2）中的結(jié)論即可計(jì)算各方案所用費(fèi)用，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)一輛A型車和一輛B型車裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨噸則解得：答：一輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，一輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸，（2）解：由題意得：即：∵只能取整數(shù)∴答：可租用A型車9輛，B型車1輛；租用A型車5輛，B型車4輛；租用A型車1輛，B型車7輛（3）解：（元）；（元）；（元）；∴最省錢的租車方案為：租用A型車1輛，B型車7輛，費(fèi)用為元【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組與方案問題．正確理解題意是解題關(guān)鍵．5．已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸，某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車和B型車，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？(2)如果租用A型車a輛，B型車b輛，請你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案．【答案】(1)1輛A型車一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車一次可運(yùn)貨4噸(2)租用A型車1輛，B型車7輛或租用A型車5輛，B型車4輛或租用A型車9輛，B型車1輛【分析】（1）設(shè)1輛型車一次可運(yùn)貨噸，1輛型車一次可運(yùn)貨噸，由“用2輛型車和1輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛型車和2輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸”列出方程組可求解；（2）由“現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用型車和型車，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物”列出方程，求出正整數(shù)解，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)1輛型車一次可運(yùn)貨噸，1輛型車一次可運(yùn)貨噸，由題意可得：，解得：，答：1輛型車一次可運(yùn)貨3噸，1輛型車一次可運(yùn)貨4噸．（2）由題意可得：，，為正整數(shù)，，或，或，，答：租用型車1輛，型車7輛或租用型車5輛，型車4輛或租用型車9輛，型車1輛．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和二元一次方程的應(yīng)用，找出正確的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型七、行程問題【解惑】甲、乙兩地相距，小轎車從甲地出發(fā)后，大客車從乙地出發(fā)相向而行，又經(jīng)過兩車相遇．已知小轎車比大客車每小時(shí)多行，設(shè)大客車每小時(shí)行，小轎車每小時(shí)行，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)大客車每小時(shí)行，小轎車每小時(shí)行，根據(jù)小轎車比大客車每小時(shí)多行20千米，甲車行駛2小時(shí)，兩車相向行駛4小時(shí)共走了880千米，據(jù)此列方程組求解．【詳解】解：設(shè)大客車每小時(shí)行，小轎車每小時(shí)行，由題意得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組求解．【融會(huì)貫通】1．《水滸傳》中關(guān)于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去160里之外的地方打探情報(bào)，去時(shí)順風(fēng)，用了2小時(shí)；回來時(shí)逆風(fēng)，用了4小時(shí)，則戴宗在無風(fēng)時(shí)的平均速度為里/小時(shí)．【答案】60【分析】設(shè)戴宗的速度為里小時(shí)，風(fēng)速為里小時(shí)，根據(jù)順風(fēng)行走的速度等于戴宗的速度加上風(fēng)速，逆風(fēng)行走的速度等于戴宗的速度減去風(fēng)速，列出二元一次方程組，即可求解．【詳解】解：戴宗順風(fēng)行走的速度為：（里小時(shí)），戴宗逆風(fēng)行走的速度為：（里小時(shí)），設(shè)戴宗的速度為里小時(shí)，風(fēng)速為里小時(shí)，由題意得：，解得：，設(shè)戴宗的速度為60里小時(shí)，答：戴宗的速度為60里小時(shí)．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意找到相應(yīng)的等量關(guān)系．2．小紅和小明是好朋友，小紅每天步行上學(xué)且所需時(shí)間保持不變，小明騎自行車或步行上學(xué)，騎自行車速度為240米/分，步行速度為80米/分，下面是兩人的對話，請根據(jù)對話內(nèi)容計(jì)算：小明從家到學(xué)校的路程和小紅從家到學(xué)校的時(shí)間．小明：如果我騎車，你步行，那么我從家到學(xué)校比你少用4分鐘小紅：如果我倆都步行，那么我從家到學(xué)校比你少用2分鐘．【答案】小明從家到學(xué)校的路程為720米，小紅從家到學(xué)校所需時(shí)間是7分鐘．【分析】通過理解題意可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系，即“都步行時(shí)小紅從家到校比小明少2分鐘”和“小明騎車，小紅步行時(shí)，小明比小紅少用4分鐘”．根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組．【詳解】解：設(shè)小明同學(xué)從家到學(xué)校的路程為x米，小紅從家到學(xué)校所需時(shí)間是y分鐘．由題意，得，解得，答：小明從家到學(xué)校的路程為720米，小紅從家到學(xué)校所需時(shí)間是7分鐘．【點(diǎn)睛】本題是二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找出題中存在兩個(gè)等量關(guān)系，即“都步行時(shí)小紅從家到校比小明少2分鐘”和“小明騎車，小紅步行時(shí)，小明比小紅少用4分鐘”．3．從王老師家到學(xué)校有一段上坡路、一段的平路和一段下坡路，王老師每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度為，平路的平均速度為，下坡路的平均速度為，那么王老師從家到學(xué)校需，從學(xué)校到家需．求從王老師家到學(xué)校的上坡路和下坡路的路程．【答案】從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為【分析】設(shè)從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為，根據(jù)題意得，解得：答：從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4．某校組織學(xué)生乘汽車去野營，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回時(shí)先以40km/h的速度下坡，后以50km/h的速度走平路，共用了6h，學(xué)校距離野營地有多遠(yuǎn)？【答案】270km【分析】設(shè)平路xkm，坡路ykm，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可．【詳解】設(shè)平路xkm，坡路ykm，據(jù)題意得解得：．答：學(xué)校距離野營地有270km．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用（行程問題）．方程（組）的應(yīng)用解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出方程求解．5．甲乙兩地相距240千米，一輛小車和一輛摩托車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1小時(shí)20分兩車相遇．相遇后，摩托車?yán)^續(xù)前進(jìn)，小車在相遇處停留1個(gè)小時(shí)后調(diào)頭按原速返回甲地，小車在返回后半小時(shí)追上了摩托車，(1)求小車和摩托車的速度．(2)求相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛多少小時(shí)兩車相距30千米？【答案】(1)小汽車和摩托車速度分別為135千米/小時(shí)，45千米/小時(shí)(2)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)【分析】（1）小車的速度為千米時(shí)，摩托車的速度為千米時(shí)，利用路程速度時(shí)間，結(jié)合兩車速度間的關(guān)系，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出小車和摩托車的速度；（2）設(shè)相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時(shí)兩車相距30千米，利用路程速度時(shí)間，結(jié)合兩車相距30千米，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：1小時(shí)20分小時(shí)．設(shè)小車的速度為千米時(shí)，摩托車的速度為千米時(shí)，根據(jù)題意得：，解得：．答：小車的速度為135千米時(shí)，摩托車的速度為45千米時(shí)；（2）設(shè)相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時(shí)兩車相距30千米，根據(jù)題意得：或或或，解得：或或或．答：相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)兩車相距30千米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對于（2）要用分類討論的思想求解，注意不要漏解．類型八、工程問題【解惑】現(xiàn)有一段長為180米的河道整治任務(wù)由A，B兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成．A工程隊(duì)每天整治12米，B工程隊(duì)每天整治8米，共用時(shí)20天．(1)根據(jù)題意，甲列出的方程組為分析甲所列的方程組，請指出未知數(shù)x，y表示的意義，x表示，y表示；(2)若設(shè)A工程隊(duì)共整治河道m(xù)米，B工程隊(duì)共整治河道n米，請根據(jù)題意列出二元一次方程組，并求出m，n的值．【答案】(1)A工程隊(duì)整治河道的天數(shù)；B工程隊(duì)整治河道的天數(shù)(2)；60，120【分析】（1）根據(jù)所列的方程組，結(jié)合題意，作答即可；（2）根據(jù)有一段長為180米的河道整治任務(wù)由A，B兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成，得到，根據(jù)共用時(shí)20天得到：，即可得出方程組，再求解即可．【詳解】（1）解：由題意和所列方程組可知：x表示A工程隊(duì)整治河道的天數(shù)，表示：B工程隊(duì)整治河道的天數(shù)，故答案為：A工程隊(duì)整治河道的天數(shù)；B工程隊(duì)整治河道的天數(shù)；（2）設(shè)A工程隊(duì)共整治河道m(xù)米，B工程隊(duì)共整治河道n米，由題意，得：，解得：．即m，n的值分別為60，120．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程組是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．威寧彝族回族苗族自治縣，隸屬于貴州省畢節(jié)市，是中國最貧困縣之一，也是脫貧攻堅(jiān)精準(zhǔn)扶貧縣．威寧縣土地資源豐富，加上日照強(qiáng)、溫差大的氣候特點(diǎn)，很適宜發(fā)展高山冷涼蔬菜種植．蔬菜成熟季，威寧縣冷凍蔬菜種植作業(yè)大隊(duì)緊鑼密鼓的開展采摘工作．據(jù)評估，如果甲乙兩個(gè)作業(yè)隊(duì)合作采摘，那么天可完成，如果甲隊(duì)先做天后，剩下的采摘任務(wù)由乙單獨(dú)承擔(dān)，還需天才能完成．問甲乙兩個(gè)作業(yè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)采摘工作各需多少天？【答案】甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)采摘工作需天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)采摘工作需天【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲的工作效率為，乙的工作效率為，由題目中的數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)甲的工作效率為，乙的工作效率為，∴，解得，，∴甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)采摘工作需天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)采摘工作需天．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的實(shí)際運(yùn)用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握工程問題與二元一次方程組的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付給兩組費(fèi)用共元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做天可以完成，需付給兩組費(fèi)用共元，問：(1)甲、乙兩組單獨(dú)工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)完成需要天，乙組單獨(dú)完成需要天，若裝修完后，商店每天可盈利元，你認(rèn)為如何安排施工有利于商店經(jīng)營？說說你的理由．（提示：三種施工方式：方式一甲單獨(dú)完成；方式二乙組單獨(dú)完成；方式三甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工．）【答案】(1)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元(2)由甲、乙兩個(gè)裝修隊(duì)同時(shí)施工有利于商店經(jīng)營，理由見解析【分析】（1）設(shè)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，依題意得：，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）分別算出甲單獨(dú)完成時(shí)需裝修的費(fèi)用和少盈利的錢，乙單獨(dú)完成時(shí)需裝修的費(fèi)用和少盈利的錢，甲乙合作完成時(shí)需裝修的費(fèi)用和少盈利的錢，進(jìn)行比較即可得．【詳解】（1）解：設(shè)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，依題意得：，解得，答：設(shè)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元．（2）解：甲單獨(dú)完成：（元）乙單獨(dú)完成：（元）甲、乙兩隊(duì)完成：（元），∴由甲、乙兩個(gè)裝修隊(duì)同時(shí)施工有利于商店經(jīng)營．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，正確計(jì)算．3．某市在創(chuàng)建全國衛(wèi)生文明城市建設(shè)中，對城內(nèi)的部分河道進(jìn)行整治現(xiàn)有一段長米的河道整治任務(wù)由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成甲工程隊(duì)每天整治米，乙工程隊(duì)每天整治米，共用時(shí)天求甲、乙兩工程隊(duì)分別整治河道多少米？(1)小明、小華兩位同學(xué)提出的解題思路如下：①小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后單工程隊(duì)整治河道米，乙工程隊(duì)整治河道米．根據(jù)題意，得②小華同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，表示______，表示______；則可列方程組為請你補(bǔ)全小明、小華兩位同學(xué)的解題思路．(2)請從①②中任選一個(gè)解題思路，寫出完整的解答過程．【答案】(1)①，；②甲工程隊(duì)工作的天數(shù)；乙工程隊(duì)工作的天數(shù)(2)見解析【分析】（1）小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后，甲工程隊(duì)整治河道米，乙工程隊(duì)整治河道米．根據(jù)甲、乙兩隊(duì)共完成米的整治河道任務(wù)且共同時(shí)天，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組；小華同學(xué)：根據(jù)小華同學(xué)所列的方程組，找出，表示的意義；（2）任選一位同學(xué)的思路，解方程組即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①，故答案為：，；②表示甲工程隊(duì)工作的天數(shù)；表示乙工程隊(duì)工作的天數(shù)故答案為：甲工程隊(duì)工作的天數(shù)；乙工程隊(duì)工作的天數(shù)；（2）解：選擇①解：①小明同學(xué)：設(shè)整治任務(wù)完成后甲工程隊(duì)整治河道米，乙工程隊(duì)整治河道米．則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．答：甲工程隊(duì)整治河道米，乙工程隊(duì)整治河道米．選擇②設(shè)甲工程隊(duì)工作的天數(shù)是天，乙工程隊(duì)工作的天數(shù)是天．則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．甲整治的河道長度：(米)；乙整治的河道長度：(米)．答：甲工程隊(duì)整治河道米，乙工程隊(duì)整治河道米．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4．通道縣政府為把雙江鎮(zhèn)建設(shè)成國家級文明縣城,現(xiàn)有一段長為180m的街道需要整治，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成：甲工程隊(duì)每天整治12m,乙工程隊(duì)每天整治8m,共用時(shí)20天.問甲、乙兩工程隊(duì)分別整治了多少米？【答案】【分析】設(shè)甲、乙兩工程隊(duì)分別整治了米和米，根據(jù)總共整治180米，與甲工程隊(duì)每天整治12m,乙工程隊(duì)每天整治8m,共用時(shí)20天，列出關(guān)于和的二元一次方程，解出即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩工程隊(duì)分別整治了米和米，根據(jù)題意列方程得，解得，答：甲工程隊(duì)整治了60米，乙工程隊(duì)整治了120米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．5．某服裝廠接到生產(chǎn)一批防護(hù)服的任務(wù)，甲車間單獨(dú)完成需15天，甲車間生產(chǎn)2天后，由于疫情緊急，需提前5天完成任務(wù)，乙車間加入共同生產(chǎn)正好如期完成(1)乙車間單獨(dú)完成這批防護(hù)服需幾天？(2)若甲車間平均每天生產(chǎn)200套防護(hù)服，問乙車間平均每天生產(chǎn)防護(hù)服多少套？【答案】(1)24(2)125【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)甲乙每天生產(chǎn)的數(shù)量為x、y，可得y=，根據(jù)工作效率=工作量÷工作時(shí)間，可得乙車間單獨(dú)完成這批防護(hù)服需24天；（2）根據(jù)甲乙車間工作效率關(guān)系可求．【詳解】（1）解：設(shè)甲每天生產(chǎn)x套，則總?cè)蝿?wù)為15x套，乙每天生產(chǎn)y套，則（155）x+（1525）y=15x，整理得10x+8y=15x，∴y=，∴15x=，答：乙車間單獨(dú)完成這批防護(hù)服需24天．（2）解：（套）答：乙車間平均每天生產(chǎn)防護(hù)服125套．【點(diǎn)睛】本題考查了工程問題，掌握工作總量、工作時(shí)間、工作效率之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型九、銷售利潤問題【解惑】在當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)技術(shù)部門的指導(dǎo)下，小明家種植的大棚油桃喜獲豐收，去年大棚油桃的利潤（利潤=收入支出）為12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出減少了10%，預(yù)計(jì)今年的利潤比去年多11400元，設(shè)小明家去年種植大棚油桃的收入為x元，支出是y元．依題意列方程組．【答案】【分析】審題，明確等量關(guān)系，建立方程組．【詳解】解：由題意知，今年收入為，今年支出，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意明確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．某藥店用3000元購進(jìn)甲、乙兩種體溫計(jì)，體溫計(jì)賣出后，甲種體溫計(jì)的利潤率是，乙種體溫計(jì)的利潤率是，兩種體溫計(jì)共獲利675元，若甲種體溫計(jì)的進(jìn)價(jià)為每支2元，乙種體溫計(jì)的進(jìn)價(jià)為每支5元，則甲、乙兩種體溫計(jì)共購進(jìn)支．【答案】1050【分析】設(shè)甲種體溫計(jì)購進(jìn)x支，乙種體溫計(jì)購進(jìn)y支,根據(jù)共用3000元，共獲利675元列出二元一次方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)甲種體溫計(jì)購進(jìn)x支，乙種體溫計(jì)購進(jìn)y支,根據(jù)題意得，，解得，，則（支），所以，甲、乙兩種體溫計(jì)共購進(jìn)1050支．故答案為：1050．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．某服裝店用6000元購進(jìn)A，B兩種新式服裝，按標(biāo)價(jià)售出后可獲得毛利潤3800元（毛利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)），這兩種服裝的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如表所示：A種B種進(jìn)價(jià)（元/件）60100標(biāo)價(jià)（元/件）100160(1)這兩種服裝各購進(jìn)的件數(shù)；(2)如果A中服裝按標(biāo)價(jià)的7折出售，B種服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售，那么這批服裝全部售完后，求服裝店的利潤．【答案】(1)A種服裝購進(jìn)50件，B種服裝購進(jìn)30件(2)1340元【分析】（1）設(shè)A種服裝購進(jìn)x件，B種服裝購進(jìn)y件，根據(jù)等量關(guān)系列出二元一次方程組，解方程組即可求解．（2）由（1）得：A種服裝購進(jìn)50件，B種服裝購進(jìn)30件，再利用數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)A種服裝購進(jìn)x件，B種服裝購進(jìn)y件，依題意得：，解得：．答：A種服裝購進(jìn)50件，B種服裝購進(jìn)30件．（2）（元）．答：服裝店的利潤為1340元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理清題意，根據(jù)等量關(guān)系列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．某企業(yè)準(zhǔn)備生產(chǎn)一批航天模型玩具投放市場，若按定價(jià)銷售該玩具，每件可獲利30元；若按定價(jià)的八折銷售該玩具6件與將定價(jià)降低10元銷售該玩具3件獲得利潤相同．(1)求該航天玩具模型每件的定價(jià)與成本價(jià)．(2)若現(xiàn)按定價(jià)銷售這種航天模型玩具600件，銷售一部分后發(fā)現(xiàn)生意火爆，又將每件航天玩具模型提價(jià)10元，很快銷售完，要想利潤不低于22000元，提價(jià)前應(yīng)最多銷售多少件玩具？【答案】(1)該航天玩具模型每件的定價(jià)為100元，成本價(jià)為70元(2)提價(jià)前應(yīng)最多銷售200件玩具【分析】（1）設(shè)該航天玩具模型每件的定價(jià)為m元，成本價(jià)為n元，根據(jù)“若按定價(jià)銷售該玩具，每件可獲利30元；若按定價(jià)的八折銷售該玩具6件與將定價(jià)降低10元銷售該玩具3件獲得利潤相同”建立方程組，求解即可；（2）設(shè)提價(jià)前應(yīng)銷售x件玩具，根據(jù)利潤不低于22000元，建立不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)該航天玩具模型每件的定價(jià)為m元，成本價(jià)為n元，根據(jù)題意得，，解得，∴該航天玩具模型每件的定價(jià)為100元，成本價(jià)為70元；（2）設(shè)提價(jià)前應(yīng)銷售x件玩具，則提價(jià)后銷售件玩具，根據(jù)題意可知，，解得，，∴提價(jià)前應(yīng)最多銷售200件玩具．【點(diǎn)睛】題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．4．雜交水稻的發(fā)展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻(xiàn)，某超市購進(jìn)、兩種大米銷售，其中兩種大米的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：類型進(jìn)價(jià)（元/袋）售價(jià)（元/袋）種大米2030種大米3045(1)該超市在3月份購進(jìn)、兩種大米共70袋，進(jìn)貨款恰好為1800元．①求這兩種大米各購進(jìn)多少袋；②據(jù)3月份的銷售統(tǒng)計(jì)，兩種大米的銷售總額為900元，求該超市3月份已售出大米的進(jìn)貨款為多少元．(2)超市決定在4月份銷售、兩種大米共盈利100元（，兩種品種都有購進(jìn)），請你幫助設(shè)計(jì)一下進(jìn)貨方案，并寫出來．【答案】(1)①購進(jìn)A種大米30袋，B種大米40袋；②600元(2)方案一：購進(jìn)A種大米1袋，B種大米6袋；方案二：購進(jìn)A種大米4袋，B種大米4袋；方案三：購進(jìn)A種大米7袋，B種大米2袋【分析】（1）①：設(shè)購進(jìn)A種大米a袋，B種大米b袋，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；②設(shè)購進(jìn)A種大米m袋，B種大米n袋，根據(jù)“兩種大米的銷售總額為900元，”可得，即可求解；（2）設(shè)購進(jìn)A種大米m袋，B種大米n袋，根據(jù)“銷售、兩種大米共盈利100元”得到關(guān)于x，y的方程，再根據(jù)x，y均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解①：設(shè)購進(jìn)A種大米a袋，B種大米b袋，根據(jù)題意得：，解得：答：購進(jìn)A種大米30袋，B種大米40袋；②設(shè)購進(jìn)A種大米m袋，B種大米n袋，根據(jù)題意得：，即，∴超市3月份已售出大米的進(jìn)貨款為元；（2）解：設(shè)購進(jìn)A種大米x袋，B種大米y袋，根據(jù)題意得：，整理得：，即，∴是3的倍數(shù)，∵x，y均為正整數(shù)，∴或或，∴方案一：購進(jìn)A種大米1袋，B種大米6袋；方案二：購進(jìn)A種大米4袋，B種大米4袋；方案三：購進(jìn)A種大米7袋，B種大米2袋．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程