專題02二次函數(shù)中四邊形的存在性問題-2023年中考數(shù)學(xué)畢業(yè)班二輪熱點題型歸納與變式演練（專用）（原卷版）

專題02二次函數(shù)中四邊形的存在性問題目錄最新?？碱}熱點題型歸納【題型一】梯形存在性【題型二】平行四邊形存在性【題型三】矩形存在性【題型四】菱形存在性【題型五】正方形存在性【題型一】梯形存在性【典例分析】（2023楊浦區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三點，且與y軸交于點D．（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸；（2）分別聯(lián)結(jié)AD、DC，CB，直線y＝4x+m與線段DC交于點E，當(dāng)此直線將四邊形ABCD的面積平分時，求m的值；（3）設(shè)點F為該拋物線對稱軸上的一點，當(dāng)以點A、B、C、F為頂點的四邊形是梯形時，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標．【提分秘籍】梯形是相對限制較少的一類四邊形，要使得一個四邊形是梯形，只需要有其中一組對邊平行，另一組對邊不平行即可。所以，在此類問題中，要么對點有較高的限制(在某一直線上)，要么對梯形形狀有較高要求(等腰或直角)。綜合利用各個條件，才能求出最后的結(jié)果【變式演練】1.（2023青浦區(qū)一模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標；（2）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”．①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動點”的坐標；②向左或向右平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達式．2.【2021年青浦二?！浚?2分）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，對稱軸是直線x＝1，頂點是點D．（1）求該拋物線的解析式和頂點D的坐標；（2）點P為該拋物線第三象限上的一點，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點E為x軸正半軸上的一點，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）＝時，求OE的長．【題型二】平行四邊形存在性【典例分析】（2022?寶山區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）、B（2，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）將拋物線向左平移m個單位（m＞2），平移后點A、B、C的對應(yīng)點分別記作A1、B1、C1，過點C1作C1D⊥x軸，垂足為點D，點E在y軸負半軸上，使得以O(shè)、E、B1為頂點的三角形與△A1C1D相似，①求點E的坐標；（用含m的代數(shù)式表示）②如果平移后的拋物線上存在點F，使得四邊形A1FEB1為平行四邊形，求m的值．【提分秘籍】解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算．難點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當(dāng)，可以使得解的個數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計算又好又快．已知定點的個數(shù)不同，選用的方法也不同，通常有以下兩種情況：1、如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點：以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點．2、如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．【變式演練】1.【2021年楊浦二?！咳鐖D，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x﹣5與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，拋物線y＝ax2+6x+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求這條拋物線的表達式；（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C，點P是拋物線上一點，點Q是直線AB上一點，當(dāng)四邊形BCPQ是平行四邊形時，求點Q的坐標；（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)QC，在∠QCB內(nèi)作射線CD與拋物線的對稱軸相交于點D，使得∠QCD＝∠ABC，求線段DQ的長．2．（2021·上海寶山區(qū)·九年級一模）已知拋物線經(jīng)過，兩點，拋物線的對稱軸與軸交于點，點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，聯(lián)結(jié)、．（1）求該拋物線的表達式以及對稱軸；（2）點在線段上，當(dāng)時，求點的坐標；（3）點在對稱軸上，點在拋物線上，當(dāng)以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，求這個平行四邊形的面積．3.【2021年崇明二模】（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C，點D是該拋物線上一點，且在第四象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)AC、BC、CD、BD．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對稱軸；（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時，求點D的坐標；（3）在（2）的條件下，如果點E是x軸上的一點，點F是拋物線上一點，當(dāng)點A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點E的坐標．【題型三】矩形的存在性【典例分析】【提分秘籍】二次函數(shù)中的矩形存在性問題相交于平行四邊形的存在性問題而言，其難度更大。本文將從知識梳理和例題講解兩部分進行講解，具體分析矩形存在性問題中的“定”與“動”以及具體的解題策略?！绢}型四】菱形的存在性【典例分析】（2022?嘉定區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy（如圖）中，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（3，0）、B（4，1）兩點，與y軸的交點為C點．（1）求拋物線的表達式；（2）求四邊形OABC的面積；（3）設(shè)拋物線y＝ax2+bx+3的對稱軸是直線l，點D與點B關(guān)于直線l對稱，在線段BC上是否存在一點E，使四邊形ADCE是菱形，如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．【提分秘籍】在解決函數(shù)背景下的菱形的存在性問題，我們需要先厘清菱形的判定：

(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)四條邊都相等的四邊是菱形；

(3)對角線互相垂足平分的四邊形是菱形。在目前的問題中，涉及的是：兩個定點+一個半動點+一個全動點問題或一個定點，三個半動點的問題。解題思路：思路1：先平四，再菱形

先根據(jù)平行四邊形的存在性，利用中點坐標公式確定一組方程，再利用鄰邊相等，即利用距離公式列出一個方程，聯(lián)立求解。思路2：先菱形，再平四

在構(gòu)成菱形的4個點中取2個定點和1個半動點，構(gòu)成等腰三角形，利用距離公式求出半動點的坐標。再根據(jù)平行四邊形的存在性，利用中點坐標公式求出另一個全動點的坐標。模型分析：分析：根據(jù)題意，先標出四個點的坐標，A(1,1)，B(5,4)，C(m,0)，D(x,y)，再依據(jù)思路1和思路2分析解答。

以思路1為例：先平四，再等腰以AB為對角線為例，先計算AB、CD中點，再利用AC=BC，可以得到C、D坐標。

以此類推，得出另外兩種情況，即以AC、AD為對角線，解關(guān)于m,x,y的三元一次方程組，進而得到點的坐標。以思路2為例：先等腰，再平四先求點C，點C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰三角形的存在性問題確定點C，在確定點D。以AB=AC為例，利用距離公式求出點C坐標，然后再利用平行四邊形的存在性，計算BC、AD的中點，求出點D坐標。以此類推，得到另外兩種情況，即AC=BC，AB=BC。先求出m的值，再解關(guān)于x,y的二元一次方程組。但是針對具體的問題要具體分析，畫出圖形，看能否簡便運算?！咀兪窖菥殹?.(2021年虹口區(qū))（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題4分，第（3）小題4分）如圖8，在平面直角坐標系中，直線l：與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線H：交于點P(2，)，直線分別與直線l和雙曲線H交于點E、D．（1）求k和b的值；（2）當(dāng)點E在線段AB上時，如果ED=BO，求m的值；xOABP圖8yED（3）點CxOABP圖8yED2.【2021年徐匯區(qū)二?！咳鐖D，已知拋物線y＝x2+m與y軸交于點C，直線y＝﹣x+4與y軸和x軸分別交于點A和點B，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，設(shè)點E在x軸上，以CD為對角線作?CEDF．（1）當(dāng)點C在∠ABO的平分線上時，求上述拋物線的表達式；（2）在（1）的條件下，如果?CEDF的頂點F正好落在y軸上，求點F的坐標；（3）如果點E是BO的中點，且?CEDF是菱形，求m的值．【題型五】正方形的存在性【典例分析】（2022?長寧區(qū)二模）如圖，已知菱形ABCD的頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，點D的坐標為（4，1），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A、B、D，對稱軸為直線x＝．（1）求拋物線的表達式；（2）求證：菱形ABCD是正方形；（3）聯(lián)結(jié)OC，如果P是x軸上一點，且它的橫坐標大于點D的橫坐標，∠PCD＝∠BCO，求點P的坐標．【提分秘籍】從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性質(zhì)，互相平分（2個）垂直（1個）且相等（1個）．比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解．從動點角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：（1）2個定點+2個全動點；（2）1個定點+2個半動點+1個全動點;甚至可以有：（3）4個半動點．不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！常用處理方法思路1：從判定出發(fā)若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件．思路2：構(gòu)造三垂直全等若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直角三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點．總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知“兩定兩動”的情形，若有3個或4個動點，則考慮從矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系．【變式演練】1.【2021年黃浦區(qū)二?！浚?2分）如果拋物線C1：y＝ax2+bx+c與拋物線C2：y＝﹣ax2+dx+e的開口方向相反，頂點相同，我們稱拋物線C2是C1