專(zhuān)題24.8解直角三角形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）（華東師大版）（原卷版）

專(zhuān)題24.8解直角三角形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】 1【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】 2【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用】 3【題型4銳角三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用】 4【題型5解非直角三角形】 6【題型6巧設(shè)輔助未知數(shù)解直角三角形】 7【題型7構(gòu)造直角三角形進(jìn)行線(xiàn)段或角的計(jì)算】 8【題型8解直角三角形與圓的綜合應(yīng)用】 9【題型9構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題】 10【題型1構(gòu)建直角三角形求銳角三角函數(shù)值】【例1】（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠C=90°，E為邊BC上的點(diǎn)，△ADE為等邊三角形，BE=8，CE=2，則tan∠AEB的值為（）

A．375 B．275 C．【變式11】（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB，連接BC、DE交于點(diǎn)F，則cos∠BFE【變式12】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，過(guò)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△DEC沿DE折疊得到△DEF，DF交AC于點(diǎn)G．若AGGE

【變式13】（2023春·江蘇常州·九年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4，AD是BC邊上的高，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△EFC（點(diǎn)E、F分別與點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)），點(diǎn)F落在線(xiàn)段AD上，連接AE，則cos∠EAF=【題型2用等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】【例2】（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)，如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°【變式21】（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=AC，過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線(xiàn)與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形ACEF是菱形；(2)連結(jié)AE，若tan∠ACB=158【變式22】（2023秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面上七個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G，圖中所有的連線(xiàn)長(zhǎng)均相等，則cos∠BAF=．【變式23】（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，連接AM、OM，作CF∥AM．已知OC平分∠BCF，OB平分∠AOM，若BD=32，則sin∠BAM【題型3銳角三角函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用】【例3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E為邊AB一點(diǎn)，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在矩形ABCD內(nèi)的點(diǎn)F處，連接BF，且BE=EF，∠BEF的正弦值為2425，則ADAB的值為（A．23 B．45 C．35【變式31】（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AD上（不與端點(diǎn)重合），且DM⊥CN于點(diǎn)P．若∠APD=135°，則cos∠MNP=【變式32】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=35，將△ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，且使得B′恰好落在AB邊上，A′B′與AC交于點(diǎn)D，則B

A．25 B．720 C．310【變式33】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長(zhǎng)的最大值是（

A．25+34 B．25+1 【題型4銳角三角函數(shù)與圓的綜合應(yīng)用】【例4】（2023·廣東惠州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，AC、BE交于點(diǎn)D，過(guò)A的切線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．

(1)求證：AD=AF；(2)若AOAF=2【變式41】（2023·湖北武漢·?？既＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線(xiàn)，PB交⊙O于D，點(diǎn)C是弧BD上一點(diǎn)，PC=PA．

(1)求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；(2)若CD∥AB，求【變式42】（2023·浙江杭州·校考三模）如圖1，三角形ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在圓O上，連接AD和CD，CD交AB于點(diǎn)E，∠ADE+∠CAB=90°

(1)求證：AB是直徑；(2)如圖2，點(diǎn)F在線(xiàn)段BE上，AC=AF，∠DCF=45°①求證：DE=DA；②若AB=kAD，用含k的表達(dá)式表示cosB【變式43】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）如圖CD是⊙O直徑，A是⊙O上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是DC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB(3)在（2）的條件下，作∠CAD的平分線(xiàn)AP交⊙O于P，交CD于E，連PC、PD，若AB=26，求AE?AP【題型5解非直角三角形】【例5】（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，連接AC，點(diǎn)E在AC上，∠DEF=90°,EC平分∠DEF,AE=

【變式51】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=223，則∠ABC的大小為【變式52】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市景范中學(xué)校校考期末）已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線(xiàn)成45°角，AC與BC所在直線(xiàn)形成的夾角的余弦值為255（即cosC=25【變式53】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知：在△ABC中，BA=BC，sin∠CAB=45，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，連接EF，將△EFC沿著EF折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D

(1)如圖1，若點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，求證：EF∥(2)如圖2，DF與AB交于點(diǎn)M，連接AF，若∠DAF=∠EAF，求證：點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)；(3)如圖3，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上，DF與AB交于點(diǎn)M，EF交AB于點(diǎn)N，若DE=EN=3，求MF·MA．【題型6巧設(shè)輔助未知數(shù)解直角三角形】【例6】（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，sinA=1213,BC=13,CD=24，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿直線(xiàn)BE翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，且【變式61】（2023·上海·九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，將△BDE沿直線(xiàn)DE翻折，使得點(diǎn)B落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)B′處，線(xiàn)段B′D交邊AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AB′，當(dāng)△A【變式62】（2023春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD，CEFG均為菱形，∠A=∠F，連結(jié)BE，EG，EG//BC，EB⊥BC，若sin∠EGD=13，菱形ABCD【變式63】（2023秋·福建泉州·九年級(jí)校考期中）如圖，?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=∠ACB，G是線(xiàn)段OD上一點(diǎn)，且∠DGC?∠DCG=90°，①當(dāng)AC⊥BD時(shí)，OGGD的值為，②當(dāng)tan∠CDB=24時(shí)，

【題型7構(gòu)造直角三角形進(jìn)行線(xiàn)段或角的計(jì)算】【例7】（2023·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB=4，BC=8，點(diǎn)E在BC上且CE=AE，則CE=；若點(diǎn)F為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠AFC=90°，連接EF，當(dāng)tan∠CEF=2時(shí)，EF的值為【變式71】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠ABC，tan∠ADC=43，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)P，若CD=114，PB=3CD【變式72】（2023春·江蘇常州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D、E分別是邊AB、邊BC上的點(diǎn)，連接CD，∠CDE=∠B，F(xiàn)是DE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接FC，∠FCE=∠ACD．(1)判斷△CDF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若AD=4，求EFDE(3)若sinB=35①求BDDE②求FC的長(zhǎng)．【變式73】（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，△ABC的內(nèi)角∠ABC和外角∠ACP的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，AE平分∠BAC并交BD于點(diǎn)E．

(1)求證：∠BAC=2∠D；(2)若BC=AC，且cos∠BAC=35(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F,BFDF=3，其中BEDE=12，連接【題型8解直角三角形與圓的綜合應(yīng)用】【例8】（2023·黑龍江綏化·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D的圓O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF

(1)求證：BC是圓O的切線(xiàn)；(2)求證：AD(3)若BE=16，sinB=513【變式81】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，分別以AB，AD為邊作平行四邊形ABCD．(1)如圖（1），若∠C=45°，求證：CD與⊙O相切；(2)如圖（2），CD與⊙O交于點(diǎn)E，若cosA=35【變式82】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，連接AC、BC，D為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接

(1)求證：AD為⊙O的切線(xiàn)；(2)若E為弧AB的中點(diǎn)，連接AE、CE，tan∠AEC=23，CE=10，【變式83】（2023·湖南長(zhǎng)沙·校考一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，PD是⊙O

(1)求證：BE=CE；(2)若BP=3，∠P=∠PDB，求圖中陰影部分的周長(zhǎng)；(3)如圖2，AM=BM，連接DM，交AB于點(diǎn)N，若tan∠DMB=12【題型9構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題】【例9】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）長(zhǎng)嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛(ài)的民俗文化，所用到的長(zhǎng)嘴壺更是歷史悠久．圖1是某款長(zhǎng)嘴壺模型放置在水平桌面l上的抽象示意圖，已知壺身AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壺嘴EF=150cm，且CD∥AB，

【變式91】（2023春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）火災(zāi)是最常見(jiàn)、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會(huì)發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車(chē)是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車(chē)云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)D，B，O在同一直線(xiàn)上，DO可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，AB為云梯的液壓桿，點(diǎn)O，A，C在同一水平線(xiàn)上，其中BD可伸縮，套管OB的長(zhǎng)度不變，在某種工作狀態(tài)下測(cè)得液壓桿AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°

(1)求BO的長(zhǎng)．(2)消防人員在云梯末端點(diǎn)D高空作業(yè)時(shí)，將BD伸長(zhǎng)到最大長(zhǎng)度6m，云梯DO繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了3m，求云梯OD旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈34，【變式92】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖1是一款便攜式拉桿車(chē)，其側(cè)面示意圖如圖2所示，前輪⊙O的直徑為12cm，拖盤(pán)OE與后輪⊙O′相切于點(diǎn)N，手柄OF⊥OE．側(cè)面為矩形ABCD的貨物置于拖盤(pán)上，AB=20cm，BC=52cm．如圖3所示，傾斜一定角度拉車(chē)時(shí)，貨物繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在OF上，若tan∠ABE=15，則OC的長(zhǎng)為cm，同一時(shí)刻，點(diǎn)C離地面高度

【變式93】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖1是某品牌的紙張打孔機(jī)的實(shí)物圖，圖2是從中抽象出的該打孔機(jī)處于打孔前狀態(tài)的側(cè)面示意圖，其中打孔機(jī)把柄OA=5cm，BE是底座，OA與BE所成的夾角為