2.5有理數(shù)的加法與減法七年級數(shù)學上冊講義（蘇科版）

有理數(shù)的減法與減法知識點一、有理數(shù)加法同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。若則；若則。2. 異號兩數(shù)相加，絕對值相等時，和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。 絕對值相等：若且，則； 絕對值不相等：若且，則；若且，則。3. 一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。 例：計算（1）（+16）+（－23）（2）（－6.5）＋6.5【解答】見解析【解析】（1）（+16）+（－23）＝－（23－16）＝－7；（2）（－6.5）＋6.5＝0知識點二、有理數(shù)加法運算律有理數(shù)相加，兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；加法交換律：a＋b＝b＋a有理數(shù)相加，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變.加法交換律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）在有理數(shù)加法運算中，常利用有理數(shù)加法運算律先把正數(shù)和負數(shù)分開計算，各自求和后再相加.有理數(shù)加法中的一些計算技巧：相反數(shù)結合法：互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加；同號結合法：符號相同的數(shù)先相加；同分母結合法：分母相同的數(shù)先相加；湊整法：幾個數(shù)相加能夠得到整數(shù)的先相加.例：計算【解答】－5【解析】知識點三、有理數(shù)減法法則 減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，較大的數(shù)－較小的數(shù)＝正數(shù)，即若，則；較小的數(shù)－較大的數(shù)＝負數(shù)，即若，則；相等的兩個數(shù)相減等于0，即若，則；0減去任何數(shù)都等于這個數(shù)的相反數(shù)，任何數(shù)減去0仍等于這個數(shù).例：計算【解答】－4【解析】知識點四、有理數(shù)加減法混合運算利用減法運算法則，將有理數(shù)加減混合運算轉化為有理數(shù)加法運算；去掉括號和括號前的加號（有絕對值的要先去掉絕對值后再計算）；利用加法法則和加法運算律進行計算.例：用簡便方法計算【解答】－1【解析】原式鞏固練習一．選擇題1．計算5+（﹣3）正確的是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】根據(jù)有理數(shù)異號相加法則即可處理．【解答】解：5+（﹣3）＝2，故選：A．【點評】本題主要考查有理數(shù)加法，掌握其運算法則是解題關鍵．2．計算﹣1﹣1的結果是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】原式利用減法法則變形，計算即可求出值．【解答】解：﹣1﹣1＝﹣1+（﹣1）＝﹣2．故選：A．【點評】此題考查了有理數(shù)的減法，熟練掌握減法法則是解本題的關鍵．3．與﹣312A．﹣3-12 B．3-12 C．﹣3+1【分析】利用有理數(shù)的加減法法則，逐個計算得結論．【解答】解：A．﹣3-12=-312，選項AB．3-12=212，選項BC．﹣3+12=-212，選項CD．3+12=312，選項D故選：A．【點評】本題考查了有理數(shù)的運算，掌握有理數(shù)的加減法法則是解決本題的關鍵．4．圓圓想了解某地某天的天氣情況，在某氣象網(wǎng)站查詢到該地這天的最低氣溫為﹣6℃，最高氣溫為2℃，則該地這天的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）為（）A．﹣8℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．8℃【分析】由最高溫差減去最低溫度求出該地這天的溫差即可．【解答】解：根據(jù)題意得：2﹣（﹣6）＝2+6＝8（℃），則該地這天的溫差為8℃．故選：D．【點評】此題考查了有理數(shù)的減法，熟練掌握減法法則是解本題的關鍵．5．計算|﹣3﹣（﹣2）|的結果是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【分析】先計算有理數(shù)的減法，再根據(jù)絕對值的性質即可得出答案．【解答】解：原式＝|﹣3+2|＝|﹣1|＝1，故選：A．【點評】本題考查了有理數(shù)的減法，絕對值，掌握減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)是解題的關鍵．6．下列關于有理數(shù)的加法說法錯誤的是（）A．同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加 B．異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0 C．互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0 D．絕對值不等時，取絕對值較小的數(shù)的符號作為和的符號【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則判斷即可．【解答】解：A選項，同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加，故該選項不符合題意；B選項，異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0，故該選項不符合題意；C選項，互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0，故該選項不符合題意；D選項，絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號作為和的符號，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了有理數(shù)的加法法則，掌握絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0是解題的關鍵．7．設a是最小的正整數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的有理數(shù)，則a+b+c等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由a是最小的正整數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的有理數(shù)，可得，a＝1，b＝﹣1，c＝0，則a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．【解答】解：依題意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0，∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0．故選：B．【點評】本題考查了有理數(shù)加法，掌握正整數(shù)、負整數(shù)的概念和絕對值的性質是解題的關鍵．8．如果a﹣b＞0，且a+b＜0，那么一定正確的是（）A．a(chǎn)為正數(shù)，且|b|＞|a| B．a(chǎn)為正數(shù)，且|b|＜|a| C．b為負數(shù)，且|b|＞|a| D．b為負數(shù)，且|b|＜|a|【分析】根據(jù)a﹣b＞0可知a＞b，然后兩種情況：b≥0或b＜0分別討論．【解答】解：∵a﹣b＞0，∴a＞b，①b≥0則a一定是正數(shù)，此時a+b＞0，與已知矛盾，∴b＜0，∵a+b＜0，當b＜0時，①若a、b同號，∵a＞b，∴|a|＜|b|，②若a、b異號，∴|a|＜|b|，綜上所述b＜0時，a＞0，|a|＜|b|．故選：C．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的減法、絕對值、有理數(shù)的加法、正數(shù)和負數(shù)，掌握加法、減法運算法則，分情況討論是解題關鍵．二．填空題9．某地周六白天最高溫度+4℃，與夜晚最低氣溫的溫差是6℃，則夜晚最低氣溫是﹣2℃．【分析】根據(jù)白天最高溫度降低6℃就是夜晚最低溫度列式計算即可．【解答】解：4﹣6＝﹣2（℃），故答案為：﹣2．【點評】本題考查了有理數(shù)的減法，掌握溫差＝最高溫度﹣最低溫度是解題的關鍵．10．在橫線上填上適當?shù)姆柺故阶映闪ⅲ海?6）+（﹣18）＝﹣12．【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可得出答案．【解答】解：6+（﹣18）＝﹣12，故答案為：+．【點評】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值是解題的關鍵．11．已知|a|＝9，|b|＝3，則|a﹣b|＝b﹣a，則a+b的值為﹣6或﹣12．【分析】根據(jù)絕對值的定義求出a，b的值，根據(jù)|a﹣b|＝b﹣a，得到a≤b，然后分兩種情況分別計算即可．【解答】解：∵|a|＝9，|b|＝3，∴a＝±9，b＝±3，∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，當a＝﹣9，b＝3時，a+b＝﹣9+3＝﹣6；當a＝﹣9，b＝﹣3時，a+b＝﹣9﹣3＝﹣12；故答案為：﹣6或﹣12．【點評】本題考查了絕對值，有理數(shù)的加減法，考查分類討論的數(shù)學思想，分兩種情況分別計算是解題的關鍵，不要漏解．12．小明在計算1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17時，不小心把一個運算符號寫錯了（“+”錯寫成“﹣”或“﹣”錯寫成“+”），結果算成了﹣17，則原式從左往右數(shù)，第6個運算符號寫錯了．【分析】算出原式的正確結果，與﹣17作差然后除以2求解．【解答】解：∵1﹣3+5﹣7+9﹣11+13﹣15+17＝9，9＞﹣17，∴小明不小心把“+”寫成“﹣”，∵9﹣（﹣17）＝26，26÷2＝13，∴小明將+13寫錯為﹣13，故答案為：6．【點評】本題考查有理數(shù)的計算，解題關鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算．13．礦井下A、B、C三處的高度分別是﹣37.4m，﹣129.8m，﹣71.3m，則礦井最高處比最低處高92.4米．【分析】先確定最高處和最低處，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得兩地的相對高度．【解答】解：∵最高處：﹣37.4米，最低處：﹣129.8米，最高處比最低處高：﹣37.4﹣（﹣129.8）＝92.4（米），故答案為：92.4．【點評】本題考查了有理數(shù)的減法，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．14．點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且BC＝2AB．已知點A表示的數(shù)是﹣1，點B表示的數(shù)是3，點C表示的數(shù)是11或﹣5．【分析】由于點A表示的數(shù)是﹣1，點B表示的數(shù)是3，則線段AB的長度為4；又BC＝2AB，則BC＝8；本題即求數(shù)軸上到點B的距離是8的點C所表示的數(shù)．分兩種情況，①點C在B的右邊；②C在B的左邊．【解答】解：∵點A表示的數(shù)是﹣1，點B表示的數(shù)是3，∴AB＝|﹣1﹣3|＝4；又∵BC＝2AB，∴BC＝2×4＝8．①若C在B的右邊，其坐標應為3+8＝11；②若C在B的左邊，其坐標應為3﹣8＝﹣5；故點C表示的數(shù)是11或﹣5．【點評】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對值的有關內容，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)點．15．若a的相反數(shù)等于它本身，b是到原點的距離等于2的負數(shù)，c是最大的負整數(shù)，則a﹣b+c的值為1．【分析】先根據(jù)題意確定a、b、c的值，再把它們的值代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵a是相反數(shù)等于它本身的數(shù)，b是到原點的距離等于2的負數(shù)，c是最大的負整數(shù)，∴a＝0，b＝﹣2，c＝﹣1，∴a﹣b+c＝0+2﹣1＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查的是有理數(shù)的相關知識．相反數(shù)等于它本身的數(shù)是0，最大的負整數(shù)是﹣1．16．絕對值大于1而小于3.5的所有整數(shù)的和為0．【分析】根據(jù)已知得出1＜|x|＜3.5，求出符合條件的數(shù)即可．【解答】解：絕對值大于1而小于3.5的整數(shù)包括±2，±32+（﹣2）+3+（﹣3）＝0．故答案為：0．【點評】本題考查了對絕對值、相反數(shù)的意義的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力．三．解答題17．計算：（1）+5+（﹣8）+（﹣4）﹣（﹣10）；（2）56【分析】（1）先把減法轉化成加法，然后再利用加法交換律和結合律進行計算即可；（2）先化簡絕對值，然后再進行有理數(shù)的混合運算即可．【解答】解：（1）+5+（﹣8）+（﹣4）﹣（﹣10）＝5+（﹣8）+（﹣4）+10＝（5+10）+【（﹣8）+（﹣4）】＝15+（﹣12）＝3；（2）56+（-34）﹣|﹣0.=56+（-＝（56+16）+【（＝1+（﹣1）＝0．【點評】本題考查了絕對值的意義和有理數(shù)的加減混合運算，要注意運用加法交換律和結合律可以使計算簡便．18．已知一列數(shù)2，0，﹣1，-1（1）求最大的數(shù)和最小的數(shù)的差；（2）若再添上一個有理數(shù)m，使得五個有理數(shù)的和為0，求m的值．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的減法計算即可；（2）先求出這四個數(shù)的和，再根據(jù)五個有理數(shù)的和為0即可得出m的值．【解答】解：（1）2﹣（﹣1）＝2+1＝3；（2）2+0+（﹣1）+（-12）∵五個有理數(shù)的和為0，∴m=-【點評】本題考查了有理數(shù)的加減法，掌握減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)是解題的關鍵．19．琪琪和佳佳計算算式“4+6﹣11﹣2”．（1）琪琪不小心把運算符號“+”錯看成了“﹣”，求此時的運算結果；（2）佳佳只將數(shù)字“11”抄錯了，所得結果不超過7，求佳佳所抄數(shù)字的最小值．【分析】（1）把運算符號“+”錯看成了“﹣”，根據(jù)有理數(shù)的減法法則計算即可求解；（2）設佳佳所抄數(shù)字為x，根據(jù)題意可得：4+6﹣x﹣2≤7，解不等式求解即可．【解答】解：（1）4﹣6﹣11﹣2＝﹣2﹣11﹣2＝﹣13﹣2＝﹣15；（2）設佳佳所抄數(shù)字為x，根據(jù)題意可得：4+6﹣x﹣2≤7，解得x≥1．∴佳佳所抄數(shù)字的最小值為1．【點評】本題考查有理數(shù)的加減混合計算，解一元一次不等式，解題關鍵是熟練掌握有理數(shù)的加減混合運算法則．20．若兩個有理數(shù)A、B滿足A+B＝8，則稱A、B互為“吉祥數(shù)”．如5和3就是一對“吉祥數(shù)”．回答下列問題：（1）求﹣5和2x的“吉祥數(shù)”；（2）若3x的“吉祥數(shù)”是﹣4，求x的值；（3）4|x|和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請求出；若不能，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義即可得到答案；（2）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義列出方程即可解決問題；（3）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義，計算|x|的值，再根據(jù)絕對值的性質判斷即可．【解答】解：（1）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義可得，﹣5的吉祥數(shù)為8﹣（﹣5）＝13，2x的“吉祥數(shù)”為8﹣2x，答：﹣5的吉祥數(shù)為13，2x的“吉祥數(shù)“為8﹣2x；（2）由題意得，3x﹣4＝8，解得x＝4，答：x的值是4；（3）不能，由題意得，4|x|+9＝8，則|x|＝﹣1，因為任何數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，所以4|x|和9不能互為“吉祥數(shù)”．【點評】本題考查有理數(shù)的加法運算、“吉祥數(shù)”的定義，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．21．一輛公共汽車從起點站開出后，途中經(jīng)過6個?？空?，最后到達終點站．下表記錄了這輛公共汽車全程載客變化情況，其中正數(shù)表示上車人數(shù)．?？空酒瘘c站中間第1站中間第2站中間第3站中間第4站中間第5站中間第6站終點站上下車人數(shù)+21﹣3+8﹣4+20+4﹣7+1﹣9+6﹣70﹣12（1）中間第4站上車人數(shù)是1人，下車人數(shù)是7人；（2）中間的6個站中，第6站沒有人上車，第3站沒有人下車；（3）中間第2站開車時車上人數(shù)是24人，第5站停車時車上人數(shù)是22人；（4）從表中你還能知道什么信息？【分析】（1）用正負數(shù)來表示意義相反的兩種量：上車記為正數(shù)，則下車就記為負數(shù)；通過統(tǒng)計表可以獲取信息，即可得解；（2）0表示既沒有人上車，也沒有人下車，看出中間3站上車4人，下車0；中間6站下車7人，上車0；因此得解；（3）根據(jù)上車記為正數(shù)，則下車就記為負數(shù)；通過統(tǒng)計表可以獲取信息，即可得解；（4）從表中可以知道：第5站下車的人數(shù)最多，第1站上車的人數(shù)最多．【解答】解：（1）中間第1站上車8人、下車3人；中間第2站上車2人、下車4人；中間第3站上車4人，沒有人下車；中間第4站上車1人、下車7人；中間第5站上車6人、下車9人；中間第6站沒有人上車，下車7人；（2）中間第6站沒有人上車，中間第3站沒有人下車；（3）中間第2站開車時車上人數(shù)是為：21﹣3+8﹣4+2＝24（人），第5站停車時車上人數(shù)是：21﹣3+8﹣4+2﹣0+4﹣7+1＝22（人）；（4）從表中可以知道：第5站下車的人數(shù)最多，第1站上車的人數(shù)最多．故答案為：（1）1，7；（2）6，3；（3）24，22；（4）如起點站上車21人（答案不唯一）．【點評】此題考查了簡單的統(tǒng)計表，要求學會通過統(tǒng)計表獲取信息，進一步認識負數(shù)的意義，理解正負數(shù)的意義是解題的關鍵．22．某食堂購進30袋大米，每袋以50千克為標準，超過的記為正，不足的記為負，稱重記錄如表．與標準重量偏差（單位：千克）﹣2﹣10123袋數(shù)5103156（1）這30袋大米的總重量比標準總重量是多還是少？相差多少？（2）大米單價是每千克5.5元，食堂購進大米總共花多少錢？【分析】（1）求出偏差的和，依據(jù)和的正負即可判斷，以每袋50千克為標準，計算出總質量，再加上偏差即可解決；（2）根據(jù)30袋大米的總重量乘上單價，即可得到總費用．【解答】解：（1）﹣2×5﹣1×10+0×3+1×1+2×5+3×6＝9千克，即這30袋大米共多出9千克；（2）∵這30袋大米的總質量是：50×30+9＝1509千克，大米單價是每千克5.5元，∴總費用＝1509×5.5＝8299.5元．【點評】此題考查有理數(shù)的加減運算問題，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量，依據(jù)這一點可以簡化數(shù)的求和計算．23．某人用400元購買了8套兒童服裝，準備以一定價格出售．他以每套55元的價格為標準，將超出的記作正數(shù)，不足的記作負數(shù)，記錄如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2（單位：元）他賣完這八套兒童服裝后是盈利還是虧損？他盈利（或虧損）了多少錢？【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．“正”和“負”相對．他以每套55元的價格出售，售完應得盈利5×8＝40元，要想知道是盈利還是虧損，只要把他所記錄的數(shù)據(jù)相加再與他應得的盈利相加即可，如果是正數(shù)，則盈利，是負數(shù)則虧損．【解答】解：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+0+（﹣2）＝﹣3，（55﹣400÷8）×8+（﹣3）＝37（元）．答：他盈利了37元．【點評】解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．24．我們知道，|a|的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)a對應的點到原點的距離，類似的，|x﹣y|的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)x，y對應點之間的距離．比如：2和5兩點之間的距離可以用|2﹣5|表示，通過計算可以得到他們的距離是3．（1）數(shù)軸上1和﹣3兩點之間的距離可以用|1﹣（﹣3）|表示，通過計算可以得到他們的距離是4．（2）數(shù)軸上表示x和﹣3的兩點A、B之間的距離可以表示為AB＝|x﹣（﹣3）|；如果AB＝2，結合幾何意義，那么x的值為﹣1或﹣5；（3）代數(shù)式|x﹣1|+|x+2|表示的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和﹣2兩點的距離的和，該代數(shù)式的最小值是3．【分析】（1）根據(jù)題目中的幾何意義可以直接得到1和﹣3兩點之間的距離的表示方法，再計算即可；（2）根據(jù)題目中的幾何意義可以直接得到x和﹣3兩點之間的距離的表示方法，再解關于x的絕對值方程|x﹣（﹣3）|＝2即可；（3）根據(jù)兩點之間距離的幾何意義，結合數(shù)軸發(fā)現(xiàn)x在1和﹣2之間時，代數(shù)式的值最?。窘獯稹拷猓海?）數(shù)軸上1和﹣3兩點之間的距離可以表示為|1﹣（﹣3）|；∴1和﹣3兩點之間的距離是4．故答案為：|1﹣（﹣3）|；4．（2）數(shù)軸上表示x和﹣3的兩點A、B之間的距離可以表示AB＝|x﹣（﹣3）|；∵AB＝2，∴|x﹣（﹣3）|＝2，∴x＝﹣1或﹣5．故答案為：|x﹣（﹣3）|；﹣1或﹣5．（3）代數(shù)式|x﹣1|+|x+2|表示的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和﹣2兩點的距離的和；x位于﹣1到2之間時它們的距離和有最小值為3．故答案為：數(shù)軸上表示數(shù)x的點到1和﹣2兩點的距離的和；3．【點評】此題綜合考查了數(shù)軸、絕對值的有關內容，用幾何方法借助數(shù)軸來求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想．25．在抗洪搶險中，解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿油沿東西方向的河流搶救災民，早晨從A地出發(fā)，晚上到達B地，約定向東為正方向，當天的航行路程記錄如下（單位：千米）：+14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．（1）請你幫忙確定B地相對于A地的方位？（2）救災過程中，沖鋒舟離出發(fā)點A最遠處有多遠？（3）若沖鋒舟每千米耗油0.5升，油箱容量為28升，求沖鋒舟當天救災