專題22.4菱形的性質(zhì)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】專題22.4菱形的性質(zhì)姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020春?虹口區(qū)期末）下列命題中，假命題是（）A．菱形的對(duì)角線互相平分 B．菱形對(duì)角線的交點(diǎn)到四條邊的距離相等 C．菱形的對(duì)角線互相垂直 D．菱形對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)推理判斷即可．【解析】A選項(xiàng)，這是菱形的性質(zhì)，所以該選項(xiàng)是真命題，不合題意；B選項(xiàng)，菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等，所以該選項(xiàng)是真命題，不合題意；C選項(xiàng)，這是菱形的性質(zhì)，所以該選項(xiàng)是真命題，不合題意；D選項(xiàng)，菱形的對(duì)角線不相等，所以菱形對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離不一定相等，所以該選項(xiàng)是假命題，符合題意；故選：D．2．（2021?路北區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD為菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3，0），（0，），點(diǎn)C，D在坐標(biāo)軸上，則菱形ABCD的周長(zhǎng)等于（）A．8 B．4 C．2 D．4【分析】由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，由菱形的性質(zhì)可求解．【解析】∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3，0），（0，），∴OB＝，OA＝3，∴AB＝＝＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4×2＝8，故選：A．3．（2020春?浦東新區(qū)期末）菱形的一條對(duì)角線與它的邊相等，則它的銳角等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】由菱形的性質(zhì)可得這條對(duì)角線與菱形的兩邊組成等邊三角形，從而求得銳角的度數(shù)等于60°．【解析】由菱形的性質(zhì)得，菱形相鄰的兩邊相等，則與這條對(duì)角線組成等邊三角形，則它的銳角等于60°，故選C．4．（2021春?撫順期末）菱形的面積為12cm2，一條對(duì)角線是6cm，那么菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半列式求解即可．【解析】設(shè)另一條對(duì)角線長(zhǎng)為xcm，則×6?x＝12，解得x＝4．故選：B．5．（2021春?余杭區(qū)校級(jí)月考）菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8，那么其邊長(zhǎng)是（）A．5 B．10 C．20 D．40【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OB＝4，OA＝3，再利用勾股定理可求解．【解析】如圖，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，則AC⊥BD，OB＝4，OA＝3，∴AB＝，故選：A．6．（2020秋?遂川縣期末）如圖，在菱形ABCD中，BC＝10，點(diǎn)E在BD上，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)E⊥BD，垂足為E，EF＝4，則BD長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．12 D．16【分析】連接AC交BD于O，由菱形的性質(zhì)得OB＝OD，AD＝BC＝10，AC⊥BD，再證EF是△AOD的中位線，得OA＝2EF＝8，然后由勾股定理求出OD＝6，即可求解．【解析】連接AC交BD于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AD＝BC＝10，AC⊥BD，∵FE⊥BD，∴FE∥AC，∵F為AD的中點(diǎn)，∴EF是△AOD的中位線，∴OA＝2EF＝8，∴OD＝＝＝6，∴BD＝2OD＝12，故選：C．7．（2021春?贊皇縣期末）小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖1所示菱形，并測(cè)得∠B＝60°，對(duì)角線AC＝20cm，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，則圖2中對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm【分析】如圖1，圖2中，連接AC．在圖1中，證△ABC是等邊三角形，得出AB＝BC＝AC＝20cm．在圖2中，由勾股定理求出AC即可．【解析】如圖1，圖2中，連接AC．圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故選：D．8．（2021?陜西模擬）如圖，菱形ABCD的面積為24，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是BC邊的中點(diǎn)，EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，則四邊形EFOG的面積為（）A．3 B．5 C．6 D．8【分析】由菱形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面積＝AC×BD，證出四邊形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位線，則EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面積即可得出答案．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面積＝AC×BD＝24，∴AC×BD＝48，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四邊形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，∴EF、EG都是△OBC的中位線，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面積＝EF×EG＝AC×BD＝×48＝3；故選：A．9．（2021春?突泉縣期末）如圖，菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（）A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．5【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出CO、DO的長(zhǎng)，在Rt△COD中求出CD，利用菱形面積等于對(duì)角線乘積的一半，也等于CD×AE，可得出AE的長(zhǎng)度．【解析】如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴DO＝BD＝4，CO＝AC＝3，AE⊥CD，∴CD＝＝5，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×6×8＝24，∵S菱形ABCD＝CD×AE，∴CD×AE＝24，∴AE＝4.8．故選：C．10．（2020?寧蒗縣模擬）如圖，菱形ABCD的的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝60°，對(duì)角線BD上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），若EF＝2，則AE+CF的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作AM⊥AC，連接CM交BD于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【解析】如圖，連接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，連接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四邊形AEFM是平行四邊形，∴AE＝FM，∴AE+CF＝FM+FC＝CM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)AE+FC最短，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM＝＝∴AE+CF的最小值為2．故選：A．二．填空題（共8小題）11．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若AB＝5，OA＝4，則菱形ABCD的面積＝24．【分析】由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，AC＝2OA＝8，再由勾股定理得BO＝3，則BD＝2OB＝6，然后由菱形面積公式即可求解．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，OB＝OD，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∴菱形ABCD面積＝×AC×BD＝×8×6＝24．故答案為：24．12．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如果菱形邊長(zhǎng)是10，短的對(duì)角線長(zhǎng)為12，那么這個(gè)菱形的面積是96．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，CO＝AO＝6，BO＝DO，在Rt△BOC中，由勾股定理可求BO，由菱形的面積公式可求解．【解析】如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CO＝AO＝6，BO＝DO，∴BO＝＝＝8，∴BD＝16，∴菱形ABCD＝＝＝96，故答案為96．13．（2021春?金山區(qū)期末）如果菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)是另一條長(zhǎng)的倍，這個(gè)菱形的面積等于6，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)等于8．【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線積的一半，因此可設(shè)較短對(duì)角線長(zhǎng)x，則較長(zhǎng)的對(duì)角線為x，根據(jù)已知列方程求得兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得其邊長(zhǎng)即可．【解析】設(shè)較短對(duì)角線長(zhǎng)x，則較長(zhǎng)的對(duì)角線為x，根據(jù)題意可得：x?x＝6，解得：x＝2，故較長(zhǎng)的對(duì)角線為：2×＝6，則菱形的邊長(zhǎng)為：＝2，故這個(gè)菱形的周長(zhǎng)等于：2×4＝8．故答案為：8．14．（2021春?虹口區(qū)期末）菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AB＝13，AC＝24，則菱形ABCD的面積是120．【分析】在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2，從而求出BO，繼而得出BD，根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半可得出答案．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝DO，AC⊥BD∵AC＝24，AO＝AC＝12，在Rt△AOB中，AO2+BO2＝AB2，又AB＝13，∴BO＝＝5，∴BD＝10，∴S菱形ABCD＝，∴菱形ABCD的面積為120．故答案為：120．15．（2021?閔行區(qū)二模）對(duì)于任意三角形，如果存在一個(gè)菱形，使得這個(gè)菱形的一條邊與三角形的一條邊重合，且三角形的這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)在菱形的這條邊的對(duì)邊上，那么稱這個(gè)菱形為該三角形的“最優(yōu)覆蓋菱形”．問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，且△ABC的面積為m，如果△ABC存在“最優(yōu)覆蓋菱形”為菱形BCMN，那么m的取值范圍是4≤m≤8．【分析】由△ABC的面積為m可得△ABC的高為，然后再分三角形的高取最大值和最小值兩種情況求解即可．【解析】∵△ABC的面積為m，∴△ABC的BC邊上的為高，如圖：當(dāng)高取最小值時(shí)，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)A與M或N重合，如圖：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D∵等邊三角形ABC，BC＝4，∴∠ABC＝60°，BC＝4，∠BAD＝30°．∴BD＝2，∴AD＝＝2，∴＝2，即．如圖：當(dāng)高取取最大值時(shí)，菱形為正方形．∴點(diǎn)A在MN的中點(diǎn)，∴，∴4≤m≤8，故答案為：4≤m≤8．16．（2021春?奉賢區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，）．【分析】由A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0）可得菱形邊長(zhǎng)，Rt△AOD中求出OD從而可得D坐標(biāo)，即可得出C坐標(biāo)．【解析】∵A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（3，0），∴OA＝2，OB＝3，AB＝5，∵菱形ABCD，∴AD＝AB＝CD＝5，Rt△AOD中，OD＝＝，∴D（0，），∴C（5，），故答案為：（5，）．17．（2021春?奉賢區(qū)期末）我們定義：聯(lián)結(jié)平行四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做“對(duì)邊中位線”，聯(lián)結(jié)平行四邊形一組鄰邊中點(diǎn)的線段叫做“鄰邊中位線”．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，對(duì)角線BD＝8，那么“對(duì)邊中位線”EF與“鄰邊中位線”EG、FG所圍成的△EFG的面積是8．【分析】由題意可證△ABD是等邊三角形，可求菱形ABCD的面積＝32，可證四邊形AEFB是平行四邊形，可得?AEFB的面積＝16，EF∥AB，即可求解．【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴S△ABD＝×BD2＝16，∴菱形ABCD的面積＝32，∵EF是對(duì)邊中位線，∴AE＝AD，BF＝BC，∴AE＝BF，且AE∥BF，∴四邊形AEFB是平行四邊形，∴?AEFB的面積＝16，EF∥AB，∵EG是鄰邊中位線，∴S△EFG＝S?AEFB＝8，故答案為8．18．（2021?楊浦區(qū)二模）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，那么我們把這條直線叫做這個(gè)平面圖形的面積等分線．已知在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE＝2，過(guò)點(diǎn)E的面積等分線與菱形的另一條邊交于點(diǎn)F，那么線段EF的長(zhǎng)為2．【分析】過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG⊥BC，EH⊥BC于點(diǎn)G和H，可得矩形AGHE，再根據(jù)菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由題意可得，F(xiàn)H＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得EF的長(zhǎng)．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E作AG⊥BC，EH⊥BC于點(diǎn)G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面積，EF經(jīng)過(guò)菱形對(duì)角線交點(diǎn)，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根據(jù)勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案為：2．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知：點(diǎn)E在菱形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，AE交CD于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥CE交DE于點(diǎn)G．求證：FG＝FC．【分析】由菱形的性質(zhì)得出AB＝AD，DC∥AB，AD∥BC，則FG∥AD，再證△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，得＝，＝，則＝，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，DC∥AB，AD∥BC，∵FG∥BC，∴FG∥AD，∴△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，∴＝，＝，∴＝，∴FG＝FC．20．（2021春?青浦區(qū)期末）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)C與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G，過(guò)G作GE⊥BC于點(diǎn)E，∠ADB＝∠FCB．（1）求證：AB＝2BE；（2）求證：DG＝CF+GE．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得AB＝BC，AD∥BC，可得∠ADB＝∠DBC＝∠FCB，可證GB＝GC，由等腰三角形的性質(zhì)可得AB＝BC＝2BE；（2）由“AAS”可證△AFH≌△BFC，可得CF＝FH，由“SAS”可證△BGF≌△BGE，可得FG＝GE，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠ADB＝∠FCB，∴∠FCB＝∠DBC，∴GB＝GC，又∵GE⊥BC，∴BC＝2BE，∴AB＝2BE；（2）如圖，延長(zhǎng)CF，DA交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠ABD＝∠DBC，∴∠H＝∠FCB，∴∠H＝∠ADB，∴DG＝HG，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴AF＝BF，AB＝2BF，∴BF＝BE，在△AFH和△BFC中，，∴△AFH≌△BFC（AAS），∴CF＝FH，在△BGF和△BGE中，，∴△BGF≌△BGE（SAS），∴FG＝GE，∴DG＝HG＝HF+FG＝FC+GE．21．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)期中）菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝60°．求證：AE＝AF．【分析】連接AC，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB＝BC，而∠B＝60°，則可判定△ABC為等邊三角形，得到∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，易得∠ACF＝60°，∠1＝∠3，然后利用“ASA”可證明△AEB≌△AFC，于是得到AE＝AF．【解答】證明：連接AC，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，∴∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠3+∠4＝60°，∴∠1＝∠3，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴AE＝AF．22．（2021?烏魯木齊一模）如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作對(duì)角線AC的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD．（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形；（2）如果∠E＝60°，CE＝2，求菱形ABCD的面積．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得AB∥CD，再證CE∥BD，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得BD＝CE＝2，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AE＝2CE＝4，則AC＝＝2，即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∵CE⊥AC，∴CE∥BD，又∵BE∥CD，∴四邊形DBEC是平行四邊形；（2）解：∵四邊形DBEC是平行四邊形，∴BD＝CE＝2，∵CE⊥AC，∴∠ACE＝90°，∵∠E＝60°，∴∠CAE＝30°，∴AE＝2CE＝4，∴AC＝＝＝2，∴菱形ABCD的面積＝AC×BD＝×2×2＝2．23．（2020春?如東縣校級(jí)月考）菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上．（1）如圖1，若E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝60°，求證：F是CD的中點(diǎn)．（2）如圖2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度數(shù)．【分析】（1）連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）如圖1所示：連接AC．∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°．∴△ABC等邊三角形．∴E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC．∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴∠FEC＝∠CFE．∴EC＝CF．∵，∴，∴F是CD的中點(diǎn)；（2）如圖2所示：連接AC．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°．∴∠B＝∠ACF＝60°．∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD．∴∠AEB＝∠AFC．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS）．∴AE＝AF．∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形．∴∠AEF＝60°，∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，∴∠FEC＝20°．24．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P為射線AC上一點(diǎn)，E為射線BC上一點(diǎn)，且PD＝PE．（1）如圖1，①求證：∠DPE＝60°．②求證：AP＝CE，③求證：CP+CE＝CD；（2）在圖2中，（1）中的三個(gè)結(jié)論是否仍都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）①只需說(shuō)明∠CEP＝∠CDP即可；②連接DE，證明△ADP與△CDE全等即可；③延長(zhǎng)CE至F，使EF＝CP，連接DF，依次去證明△ADP≌△CDE，△DPC≌△DEF即可．（2）①②證明方法與（1）大致相同，③延長(zhǎng)CD至F，使DF＝CP，連接EF，然后依次去證明△ADP≌△CDE，△EPC≌△EDF即可．【解析】（1