專題5.2相交線（2）垂線-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題5.2相交線（2）垂線姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2019秋?射陽(yáng)縣期末）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．小于平角的角可分為銳角和鈍角兩類 D．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】根據(jù)線段、射線和角的概念，對(duì)選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案．【解析】A、兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，正確；B、兩點(diǎn)確定一條直線，正確；C、小于平角的角可分為銳角、鈍角，還應(yīng)包含直角，錯(cuò)誤；D、在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，正確；故選：C．2．（2021春?浦東新區(qū)月考）下列圖形中，線段PQ的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到直線MN的距離是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，可得答案．【解析】由題意得PQ⊥MN，P到MN的距離是PQ垂線段的長(zhǎng)度，故選：A．3．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，則下列哪條線段的長(zhǎng)度是表示點(diǎn)A到BC的距離（）A．AD B．AF C．AE D．AB【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義解答即可．【解析】∵AE⊥BC于點(diǎn)E，∴AE表示點(diǎn)A到BC的距離，故選：C．4．（2020春?新鄉(xiāng)期末）如圖，田地A的旁邊有一條小河l，要想把小河里的水引到田地A處，為了省時(shí)省力需要作AB⊥l，垂足為B，沿AB挖水溝，則水溝最短，理由是（）A．點(diǎn)到直線的距離 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，可得答案．【解析】把小河里的水引到田地A處，則作AB⊥l，垂足為點(diǎn)B，沿AB挖水溝，依據(jù)為：垂線段最短．故選：C．5．（2021春?沈陽(yáng)月考）如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點(diǎn)共線），其理由是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【分析】利用垂線的性質(zhì)解答．【解析】如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點(diǎn)共線），其理由是在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：C．6．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則表示點(diǎn)A到直線CD距離的是（）A．線段CD的長(zhǎng)度 B．線段AC的長(zhǎng)度 C．線段AD的長(zhǎng)度 D．線段BC的長(zhǎng)度【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度即為該點(diǎn)到這條直線的距離作答．【解析】點(diǎn)A到CD的距離是線段AD的長(zhǎng)度．故選：C．7．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC⊥BC，AC＝4，點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則A、D兩點(diǎn)之間的距離不可能是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】利用垂線段最短得到AD≥AC，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解析】∵AC⊥BC，AC＝4，∴AD≥AC，即AD≥4．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意．故選：A．8．（2020?陜西）如圖，AC⊥BC，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若∠1＝35°，則∠2的大小為（）A．65° B．55° C．45° D．35°【分析】由垂線的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，由平角的性質(zhì)可求解．【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故選：B．9．（2020春?孝義市期末）下列各圖中，過(guò)直線l外的點(diǎn)P畫(huà)直線l的垂線，三角尺操作正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過(guò)點(diǎn)P后沿直角邊畫(huà)直線即可．【解析】用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過(guò)點(diǎn)P后沿直角邊畫(huà)直線，∴C選項(xiàng)的畫(huà)法正確，故選：C．10．（2019秋?仁壽縣期末）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列結(jié)論：①∠DOG+∠BOE＝180°；②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°；④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)角平分線的定義可設(shè)∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，利用平角等于180°得出α+β＝90°，∠EOG＝90°．根據(jù)同角的余角相等得出∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，則∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∠BOF＝∠DOF（α﹣β）．然后根據(jù)互余、互補(bǔ)的定義分別判斷即可．【解析】∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，∴可設(shè)∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，∵O為直線AB上一點(diǎn)，∴∠AOB＝180°，∴2α+2β＝180°，∴α+β＝90°，∠EOG＝90°．∵∠DOC＝90°，∴∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，∴∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠DOF（α﹣β）．①∵∠DOG＝α＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠DOG+∠BOE＝180°，故本選項(xiàng)結(jié)論正確；②∵∠AOE＝α，∠DOF（α﹣β），∴∠AOE﹣∠DOF＝α（α﹣β）（α+β）＝45°，故本選項(xiàng)結(jié)論正確；③∵∠EOD＝∠EOG+∠GOD＝90°+α，∠COG＝β，∴∠EOD+∠COG＝90°+α+β＝180°，故本選項(xiàng)結(jié)論正確；④∵∠AOE+∠DOF＝α（α﹣β）（90°﹣α）＝2α﹣45°，∴當(dāng)α＝67.5°時(shí)，∠AOE+∠DOF＝90°，但是題目沒(méi)有α＝67.5°的條件，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有：①②③共3個(gè)．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2020秋?西華縣期中）若線段AM，AN分別是△ABC的高線和中線，則線段AM，AN的大小關(guān)系是AM≤AN（用“≤”，“≥”或“＝”填空）．【分析】利用垂線段最短進(jìn)行解答即可．【解析】∵線段AM，AN分別是△ABC的高線和中線，∴AM≤AN，故答案為：≤．12．（2020春?金寨縣期末）如圖，為了把河中的水引到C處，可過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，然后沿CD開(kāi)渠，這樣做可使所開(kāi)的渠道最短，這種設(shè)計(jì)的依據(jù)是垂線段最短．【分析】過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．據(jù)此作答．【解析】過(guò)D點(diǎn)引CD⊥AB于D，然后沿CD開(kāi)渠，可使所開(kāi)渠道最短，這種設(shè)計(jì)的依據(jù)是垂線段最短．故答案為：垂線段最短．13．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，則點(diǎn)A到直線l1的距離是4．【分析】由AB⊥l1，即可得出答案．【解析】∵AB⊥l1，則點(diǎn)A到直線l1的距離是AB的長(zhǎng)＝4；故答案為：4．14．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論中，正確的為①②（填序號(hào)）．①點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度；②線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離；③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離定義可得正確答案．【解析】∵AD⊥BC，∴點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度，①正確；∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∴線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離，②正確∵AB⊥AC，∴C到AB的垂線段是線段AC，③不正確．其中正確的為①②，故答案是：①②．15．（2020春?東城區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠C＝90°，線段AB＝15cm，線段AD＝12cm，線段AC＝9cm，則點(diǎn)A到BC的距離為9cm．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，可得答案．【解析】因?yàn)椤螩＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距離是AC，因?yàn)榫€段AC＝9cm，所以點(diǎn)A到BC的距離為9cm．故答案為：9．16．（2020秋?綠園區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，且∠COE＝48°，則∠AOD為138°．【分析】利用垂線定義可得∠BOE＝90°，然后可得∠COB的度數(shù)，再利用對(duì)頂角相等可得答案．【解析】∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠COE＝48°，∴∠COB＝90°+48°＝138°，∴∠AOD＝138°，故答案為：138°．17．（2020秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知，∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射線OD平分∠AOB，射線OE⊥OD，則∠BOE＝72°或108°．【分析】根據(jù)平角的意義、角平分線的意義，鄰補(bǔ)角，垂直的意義，分別計(jì)算各個(gè)角的大小即可．【解析】∵∠AOB和∠BOC互為鄰補(bǔ)角，∴∠AOB+∠BOC＝180°，又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，∴∠BOC＝180°144°，∠AOB＝180°36°，∵射線OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝18°，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，如圖1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，如圖2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，故答案為：72°或108°．18．（2021春?潛山市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列結(jié)論正確的有①②④．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③點(diǎn)A到直線BD的距離為線段AB的長(zhǎng)度；④點(diǎn)B到直線AC的距離為．【分析】①根據(jù)垂直的定義即可求解；②根據(jù)余角的性質(zhì)即可求解；③根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可求解；④根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解析】①∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，故①正確；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠C＝∠ABD，故②正確；③點(diǎn)A到直線BD的距離為線段AD的長(zhǎng)度，故③錯(cuò)誤；④點(diǎn)B到直線AC的距離為3×4×2÷5，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2019秋?北侖區(qū)期末）如圖，平原上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備投資修建一個(gè)蓄水池．（1）不考慮其他因素，請(qǐng)你畫(huà)圖確定蓄水池H點(diǎn)的位置，使它到四個(gè)村莊距離之和最小；（2）計(jì)劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開(kāi)渠最短并說(shuō)明根據(jù)．【分析】（1）由兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接AD、BC交于H，則H為蓄水池位置；（2）根據(jù)垂線段最短可知，要做一個(gè)垂直EF的線段．【解析】（1）∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴連接AD，BC交于H，則H為蓄水池位置，它到四個(gè)村莊距離之和最?。?）過(guò)H作HG⊥EF，垂足為G．“過(guò)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池H中開(kāi)渠最短的根據(jù)．20．（2020春?孟村縣期中）如圖，AB、CD、NE相交于點(diǎn)O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°（1）線段MO的長(zhǎng)度表示點(diǎn)M到NE的距離；（2）比較MN與MO的大?。ㄓ谩埃肌碧?hào)連接）：MO＜MN，并說(shuō)明理由：垂線段最短；（3）求∠AON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離解答即可；（2）根據(jù)垂線段最短解答即可；（3）根據(jù)垂直的定義和角之間的關(guān)系解答即可．【解析】（1）線段MO的長(zhǎng)度表示點(diǎn)M到NE的距離；（2）比較MN與MO的大小為：MO＜MN，是因?yàn)榇咕€段最短；（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，∴∠BOM＝25°，∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．故答案為：MO；MO＜MN；垂線段最短．21．（2020秋?淮安區(qū)期末）如圖，直線AB與直線MN相交，交點(diǎn)為O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度數(shù)．【分析】利用對(duì)頂角相等可得∠AOM的度數(shù)，再利用角平分線的定義和垂線定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．22．（2019秋?張家港市期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，OF⊥OC．（1）圖中∠AOF的余角是∠AOD，∠BOC（把符合條件的角都填上）；（2）如果∠1＝28°，求∠2和∠3的度數(shù)．【分析】（1）直接利用垂線的定義結(jié)合互為余角的定義得出答案；（2）利用垂直的定義結(jié)合角平分線的定義得出∠2＝56°，即可得出答案．【解析】（1）∵OF⊥OC，∴∠FOC＝90°，∴∠FOD＝90°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOF的余角是：∠AOD，∠BOC；故答案為：∠AOD，∠BOC；（2）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝56°，∵∠2＝∠AOD，∴∠2＝56°，又∵OF⊥CO，∴∠FOD＝90°，∴∠3＝90°﹣∠AOD＝90°﹣56°＝34°．23．（2020秋?武侯區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．（1）求證：∠COF＝∠EOG；（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，以及等量關(guān)系即可求解．【解析】（1）證明：∵OF⊥OE，OG⊥OC，∴∠FOE＝∠COF+∠COE＝90°，∠COG＝∠EOG+∠COE＝90°，∴∠COF＝∠EOG；（2）解：∵∠BOD＝32°，∴∠BOC＝180°﹣32°＝148°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE∠BOC＝74°，∵∠COG＝90°，∴∠EOG＝∠COG﹣∠COE＝16°．24．（2019秋?市中區(qū)期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)O按如圖方式疊放在一起．（1）如圖（1），若∠BOD＝35°，則∠AOC＝145°；若∠AOC＝135°，則∠BOD＝45°；（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）（2）如圖（2），若∠AOC＝140°，則∠BOD＝40°；（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）（3）猜想∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系，并結(jié)合圖（1）說(shuō)明理由；（4）三角尺AOB不動(dòng)，將三角尺COD的OD邊與OA邊重合，然后繞點(diǎn)O按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)?/p>