專題5.2相交線（2）垂線-2021-2022學年七年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)題典

20212022學年七年級數(shù)學下冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題5.2相交線（2）垂線姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2019秋?射陽縣期末）下列說法中不正確的是（）A．兩點之間的所有連線中，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．小于平角的角可分為銳角和鈍角兩類 D．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直【分析】根據(jù)線段、射線和角的概念，對選項一一分析，選擇正確答案．【解析】A、兩點之間的所有連線中，線段最短，正確；B、兩點確定一條直線，正確；C、小于平角的角可分為銳角、鈍角，還應包含直角，錯誤；D、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確；故選：C．2．（2021春?浦東新區(qū)月考）下列圖形中，線段PQ的長表示點P到直線MN的距離是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義，可得答案．【解析】由題意得PQ⊥MN，P到MN的距離是PQ垂線段的長度，故選：A．3．（2021春?饒平縣校級期末）如圖，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，則下列哪條線段的長度是表示點A到BC的距離（）A．AD B．AF C．AE D．AB【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義解答即可．【解析】∵AE⊥BC于點E，∴AE表示點A到BC的距離，故選：C．4．（2020春?新鄉(xiāng)期末）如圖，田地A的旁邊有一條小河l，要想把小河里的水引到田地A處，為了省時省力需要作AB⊥l，垂足為B，沿AB挖水溝，則水溝最短，理由是（）A．點到直線的距離 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．兩點之間，線段最短【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，可得答案．【解析】把小河里的水引到田地A處，則作AB⊥l，垂足為點B，沿AB挖水溝，依據(jù)為：垂線段最短．故選：C．5．（2021春?沈陽月考）如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是（）A．兩點確定一條直線 B．在同一平面內(nèi)，過兩點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．兩點之間，線段最短【分析】利用垂線的性質(zhì)解答．【解析】如果直線ON⊥直線a，直線OM⊥直線a，那么OM與ON重合（即O，M，N三點共線），其理由是在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：C．6．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則表示點A到直線CD距離的是（）A．線段CD的長度 B．線段AC的長度 C．線段AD的長度 D．線段BC的長度【分析】根據(jù)點到直線的距離的概念：直線外一點到這條直線的垂線段的長度即為該點到這條直線的距離作答．【解析】點A到CD的距離是線段AD的長度．故選：C．7．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）如圖，AC⊥BC，AC＝4，點D是線段BC上的動點，則A、D兩點之間的距離不可能是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】利用垂線段最短得到AD≥AC，然后對各選項進行判斷．【解析】∵AC⊥BC，AC＝4，∴AD≥AC，即AD≥4．觀察選項，只有選項A符合題意．故選：A．8．（2020?陜西）如圖，AC⊥BC，直線EF經(jīng)過點C，若∠1＝35°，則∠2的大小為（）A．65° B．55° C．45° D．35°【分析】由垂線的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，由平角的性質(zhì)可求解．【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故選：B．9．（2020春?孝義市期末）下列各圖中，過直線l外的點P畫直線l的垂線，三角尺操作正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過點P后沿直角邊畫直線即可．【解析】用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過點P后沿直角邊畫直線，∴C選項的畫法正確，故選：C．10．（2019秋?仁壽縣期末）如圖，O為直線AB上一點，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列結(jié)論：①∠DOG+∠BOE＝180°；②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°；④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)角平分線的定義可設∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，利用平角等于180°得出α+β＝90°，∠EOG＝90°．根據(jù)同角的余角相等得出∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，則∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∠BOF＝∠DOF（α﹣β）．然后根據(jù)互余、互補的定義分別判斷即可．【解析】∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，∴可設∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，∵O為直線AB上一點，∴∠AOB＝180°，∴2α+2β＝180°，∴α+β＝90°，∠EOG＝90°．∵∠DOC＝90°，∴∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，∴∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠DOF（α﹣β）．①∵∠DOG＝α＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠DOG+∠BOE＝180°，故本選項結(jié)論正確；②∵∠AOE＝α，∠DOF（α﹣β），∴∠AOE﹣∠DOF＝α（α﹣β）（α+β）＝45°，故本選項結(jié)論正確；③∵∠EOD＝∠EOG+∠GOD＝90°+α，∠COG＝β，∴∠EOD+∠COG＝90°+α+β＝180°，故本選項結(jié)論正確；④∵∠AOE+∠DOF＝α（α﹣β）（90°﹣α）＝2α﹣45°，∴當α＝67.5°時，∠AOE+∠DOF＝90°，但是題目沒有α＝67.5°的條件，故本選項結(jié)論錯誤．綜上所述，正確的有：①②③共3個．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020秋?西華縣期中）若線段AM，AN分別是△ABC的高線和中線，則線段AM，AN的大小關系是AM≤AN（用“≤”，“≥”或“＝”填空）．【分析】利用垂線段最短進行解答即可．【解析】∵線段AM，AN分別是△ABC的高線和中線，∴AM≤AN，故答案為：≤．12．（2020春?金寨縣期末）如圖，為了把河中的水引到C處，可過點C作CD⊥AB于D，然后沿CD開渠，這樣做可使所開的渠道最短，這種設計的依據(jù)是垂線段最短．【分析】過直線外一點作直線的垂線，這一點與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．據(jù)此作答．【解析】過D點引CD⊥AB于D，然后沿CD開渠，可使所開渠道最短，這種設計的依據(jù)是垂線段最短．故答案為：垂線段最短．13．（2021春?饒平縣校級期末）如圖，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，則點A到直線l1的距離是4．【分析】由AB⊥l1，即可得出答案．【解析】∵AB⊥l1，則點A到直線l1的距離是AB的長＝4；故答案為：4．14．（2021春?饒平縣校級期末）如圖所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論中，正確的為①②（填序號）．①點A到BC的距離是線段AD的長度；②線段AB的長度是點B到AC的距離；③點C到AB的垂線段是線段AB．【分析】利用點到直線的距離定義可得正確答案．【解析】∵AD⊥BC，∴點A到BC的距離是線段AD的長度，①正確；∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，∴線段AB的長度是點B到AC的距離，②正確∵AB⊥AC，∴C到AB的垂線段是線段AC，③不正確．其中正確的為①②，故答案是：①②．15．（2020春?東城區(qū)校級期末）如圖，∠C＝90°，線段AB＝15cm，線段AD＝12cm，線段AC＝9cm，則點A到BC的距離為9cm．【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義，可得答案．【解析】因為∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距離是AC，因為線段AC＝9cm，所以點A到BC的距離為9cm．故答案為：9．16．（2020秋?綠園區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB于點O，且∠COE＝48°，則∠AOD為138°．【分析】利用垂線定義可得∠BOE＝90°，然后可得∠COB的度數(shù)，再利用對頂角相等可得答案．【解析】∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠COE＝48°，∴∠COB＝90°+48°＝138°，∴∠AOD＝138°，故答案為：138°．17．（2020秋?南崗區(qū)校級期中）已知，∠AOB和∠BOC互為鄰補角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射線OD平分∠AOB，射線OE⊥OD，則∠BOE＝72°或108°．【分析】根據(jù)平角的意義、角平分線的意義，鄰補角，垂直的意義，分別計算各個角的大小即可．【解析】∵∠AOB和∠BOC互為鄰補角，∴∠AOB+∠BOC＝180°，又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，∴∠BOC＝180°144°，∠AOB＝180°36°，∵射線OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝18°，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，如圖1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，如圖2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，故答案為：72°或108°．18．（2021春?潛山市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足為點D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．下列結(jié)論正確的有①②④．（寫出所有正確結(jié)論的序號）①∠BDC＝90°；②∠C＝∠ABD；③點A到直線BD的距離為線段AB的長度；④點B到直線AC的距離為．【分析】①根據(jù)垂直的定義即可求解；②根據(jù)余角的性質(zhì)即可求解；③根據(jù)點到直線的距離的定義即可求解；④根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解析】①∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，故①正確；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠C＝∠ABD，故②正確；③點A到直線BD的距離為線段AD的長度，故③錯誤；④點B到直線AC的距離為3×4×2÷5，故④正確．故答案為：①②④．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2019秋?北侖區(qū)期末）如圖，平原上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資修建一個蓄水池．（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H點的位置，使它到四個村莊距離之和最??；（2）計劃把河水引入蓄水池H中，怎樣開渠最短并說明根據(jù)．【分析】（1）由兩點之間線段最短可知，連接AD、BC交于H，則H為蓄水池位置；（2）根據(jù)垂線段最短可知，要做一個垂直EF的線段．【解析】（1）∵兩點之間線段最短，∴連接AD，BC交于H，則H為蓄水池位置，它到四個村莊距離之和最?。?）過H作HG⊥EF，垂足為G．“過直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池H中開渠最短的根據(jù)．20．（2020春?孟村縣期中）如圖，AB、CD、NE相交于點O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°（1）線段MO的長度表示點M到NE的距離；（2）比較MN與MO的大小（用“＜”號連接）：MO＜MN，并說明理由：垂線段最短；（3）求∠AON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離解答即可；（2）根據(jù)垂線段最短解答即可；（3）根據(jù)垂直的定義和角之間的關系解答即可．【解析】（1）線段MO的長度表示點M到NE的距離；（2）比較MN與MO的大小為：MO＜MN，是因為垂線段最短；（3）∵∠BOD＝∠AOC＝50°，OM平分∠BOD，∴∠BOM＝25°，∴∠AON＝180°﹣∠BOM﹣∠MON＝180°﹣25°﹣90°＝65°．故答案為：MO；MO＜MN；垂線段最短．21．（2020秋?淮安區(qū)期末）如圖，直線AB與直線MN相交，交點為O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝20°，求∠COD的度數(shù)．【分析】利用對頂角相等可得∠AOM的度數(shù)，再利用角平分線的定義和垂線定義進行計算即可．【解析】∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．22．（2019秋?張家港市期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠AOD，OF⊥OC．（1）圖中∠AOF的余角是∠AOD，∠BOC（把符合條件的角都填上）；（2）如果∠1＝28°，求∠2和∠3的度數(shù)．【分析】（1）直接利用垂線的定義結(jié)合互為余角的定義得出答案；（2）利用垂直的定義結(jié)合角平分線的定義得出∠2＝56°，即可得出答案．【解析】（1）∵OF⊥OC，∴∠FOC＝90°，∴∠FOD＝90°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOF的余角是：∠AOD，∠BOC；故答案為：∠AOD，∠BOC；（2）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝56°，∵∠2＝∠AOD，∴∠2＝56°，又∵OF⊥CO，∴∠FOD＝90°，∴∠3＝90°﹣∠AOD＝90°﹣56°＝34°．23．（2020秋?武侯區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．（1）求證：∠COF＝∠EOG；（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)鄰補角的定義，角平分線的定義，以及等量關系即可求解．【解析】（1）證明：∵OF⊥OE，OG⊥OC，∴∠FOE＝∠COF+∠COE＝90°，∠COG＝∠EOG+∠COE＝90°，∴∠COF＝∠EOG；（2）解：∵∠BOD＝32°，∴∠BOC＝180°﹣32°＝148°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE∠BOC＝74°，∵∠COG＝90°，∴∠EOG＝∠COG﹣∠COE＝16°．24．（2019秋?市中區(qū)期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點O按如圖方式疊放在一起．（1）如圖（1），若∠BOD＝35°，則∠AOC＝145°；若∠AOC＝135°，則∠BOD＝45°；（直接寫出結(jié)論即可）（2）如圖（2），若∠AOC＝140°，則∠BOD＝40°；（直接寫出結(jié)論即可）（3）猜想∠AOC與∠BOD的大小關系，并結(jié)合圖（1）說明理由；（4）三角尺AOB不動，將三角尺COD的OD邊與OA邊重合，然后繞點O按順時針或逆時針方