專題02三角形內(nèi)外角中的模型

專題02三角形內(nèi)外角中的模型小貼士小貼士三角形內(nèi)角和及內(nèi)外角性質(zhì)看似簡單，運(yùn)用卻非常靈活，角的計(jì)算以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換是平面幾何的入門鑰匙，貫穿與今后整個(gè)幾何學(xué)習(xí)的過程中，。在我們的中考復(fù)習(xí)中，要通過一題多解，從不同角度去探索問題，以便拓寬自己的數(shù)學(xué)思維。再次強(qiáng)調(diào)：一題多解，拓寬思維！8字等角模型提供4種基本證明方法,嘗試在做題中開闊自己的思路.如圖11：∠1=∠2?∠A∠D圖圖11圖12圖13圖14證明：法一圖12（內(nèi)外角關(guān)系）：∵∠AED是△EAB與△ECD的外角?！唷螦ED=∠1+∠A=∠2+∠D又∵∠1=∠2∴∠A=∠D法二圖12（內(nèi)角和）：∵∠1+∠3+∠A=180°∠2+∠4+∠D=180°又∵∠1=∠2∴∠A=∠D法三：圖13隱圓（定弦定角，隱圓必現(xiàn)）∵∠1=∠2∴ABCD四點(diǎn)共圓?！唷螦=∠D法四圖14（相似）：∵∠1=∠2，∠3=∠4∴△EAB～△ECD∴∠A=∠DA字模型圖圖21圖22圖23圖21求證：∠1+∠2=∠A+180°法一：圖12∠A+（∠3+∠4）=180°∠1+∠2+（∠3+∠4）=360°∠1+∠2=∠A+180°法二：∠A+(∠B+∠C)=180∠1+∠2+(∠B+∠C)=360°∠1+∠2=∠A+180法三：圖22∵∠1=∠A+∠4∠2=∠A+∠3∴∠1+∠2=∠A+∠4+∠A+∠3即：∠1+∠2=∠A+180飛鏢模型圖圖31圖32證明：圖32延長DC交AB于點(diǎn)H?！摺?=∠A+∠D∠BCD=∠1+∠B∴∠BCD=∠A+∠B+∠D角平分線與三角形的融合圖圖41圖42如圖41：已知：O是∠ABC與∠ACB平分線的交點(diǎn)。求證：∠BOC=90°+(1/2)∠A證明思路：圖42∵BO與CO分別平分∠ABC與∠ACB.∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠1+∠2=12(∠ABC+∠=12(180°∠∵∠BOC=180°(∠1+∠2)∴∠BOC=180°12(180°∠即:∠BOC=90°+12∠實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練一．“8”字模型1．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．試題分析：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，則這幾個(gè)角是一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．答案詳解：解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案為：360．2．如圖，五角星的五個(gè)角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°試題分析：連接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的內(nèi)角和定理，即可得出五角星的五個(gè)角之和．答案詳解：解：連接CD，設(shè)BD與CE交于點(diǎn)O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．故選：A．3．閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為25°；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠P=∠B+∠D2【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝α+β-180°2．（用含有α和β應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝180°-α-β2．（用含有α和β【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為∠P=2x+y3．（用拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．試題分析：探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計(jì)算可求解；探索三：運(yùn)用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運(yùn)用角平分線定義及三角形外角性質(zhì)即可求得答案；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運(yùn)用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運(yùn)用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．答案詳解：解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案為25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P=∠B+∠D故答案為：∠P=∠B+∠D應(yīng)用一：如圖4，由題意知延長BM、CN，交于點(diǎn)A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCD=1∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC=12（∠ACD﹣∠ABC）=12故答案為：α+β﹣180°，α+β-180°2應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P=12∠A故答案為：180°-α-β2拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=1∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB=23∠CAB，∠PDB=2∴∠P+23∠CAB＝∠B+23∠CDB，∠P+13∠CDB∴2∠P＝∠C+∠B+13（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+13（x﹣∴∠P=2x+y故答案為：∠P=2x+y拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，∴∠PAD=12∠BAD，∠PCD＝90°+1由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案為：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．二．“A”字模型4．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，若按圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°試題分析：如圖，根據(jù)題意可知∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出∠1+∠2的度數(shù)．答案詳解：解：如圖．∵△ABC為直角三角形，∠B＝90°，∴∠BNM+∠BMN＝90°，∵∠1＝90°+∠BNM，∠2＝90°+∠BMN，∴∠1+∠2＝270°．故選：C．5．如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點(diǎn)，∠1+∠2＝225°，則∠A＝45度．試題分析：利用三角形及四邊形內(nèi)角和定理即可解答．答案詳解：解：∵1+∠2＝225°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣225°＝135°，故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣135°＝45°．故填45．6．一個(gè)三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．（點(diǎn)A′在△ABC的內(nèi)部）（1）如圖1，若∠A＝45°，則∠1+∠2＝90°．（2）利用圖1，探索∠1，∠2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°-12∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠答案詳解：解：（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE=12（180°﹣∠1），∠AED=12（在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴45°+12（180°﹣∠1）+12（180°﹣∠整理得∠1+∠2＝90°；故答案為：90；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠＝90°-12∠∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°-12∠＝90°+12＝90°+12＝117°．三．飛鏢模型7．如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（）A．33° B．23° C．27° D．37°試題分析：延長CD交AB于E，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠1，再利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．答案詳解：解：如圖，延長CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，∵∠BDC＝98°，∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故選：B．8．如圖所示，∠A＝50°，∠B＝20°，∠D＝30°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．80° B．100° C．120° D．140°試題分析：延長BC交AD于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和先求出∠CED的度數(shù)，再次利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求出∠BCD的度數(shù)．答案詳解：解：如圖所示，延長BC交AD于點(diǎn)E，∵∠A＝50°，∠B＝20°，∴∠CED＝∠A+∠B＝50°+20°＝70°，∴∠BCD＝∠CED+∠D＝70°+30°＝100°．故選：B．9．一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠D應(yīng)分別是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根據(jù)李叔叔量得的結(jié)果，你能斷定這個(gè)零件是否合格？請解釋你的結(jié)論；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之間有何關(guān)系嗎？請寫出你的結(jié)論．（不需說明理由）．試題分析：此題要作輔助線：延長DC交AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和即可求解．答案詳解：解：（1）不合規(guī)格．理由如下：連接AC并延長到點(diǎn)E，則∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°，故不合格．（2）根據(jù)第（1）小題的求解過程，不難發(fā)現(xiàn)：∠B+∠D+90°＝∠BCD．10．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．試題分析：（1）首先連接AD并延長至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠③根據(jù)∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠答案詳解：解：（1）如圖（1），連接AD并延長至點(diǎn)F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴12（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45∴∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+＝45°+40°＝85°；③∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴110（133﹣x）+x＝70∴13.3-110x+x＝解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．四．風(fēng)箏模型11．如圖，在△ABC中，∠C＝40°，將△ABC沿著直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．90° D．140°試題分析：由折疊的性質(zhì)得到∠D＝∠C，再利用外角性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．答案詳解：解：由折疊的性質(zhì)得：∠D＝∠C＝40°，根據(jù)外角性質(zhì)得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，則∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，則∠1﹣∠2＝80°．故選：B．12．紙片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)（如圖），若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為60°．試題分析：先根據(jù)∠A＝65°，∠B＝75°，求出∠C的度數(shù)．再由∠1＝20°可求出∠CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解．答案詳解：解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∵∠1＝20°，∴∠CED=180°-∠12在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，故答案為60°．13．如圖，在△ABC中，∠B＝28°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．42° B．46° C．52° D．56°試題分析：根據(jù)折疊得出∠D＝∠B＝28°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案詳解：解：∵∠B＝28°，將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，故選：D．14．如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后（3個(gè)頂點(diǎn)不重合），圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．試題分析：由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．答案詳解：解：由題意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案為：360．五．高與角平分線的夾角15．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠DCE的度數(shù)是（）A．5° B．8° C．10° D．15°試題分析：依據(jù)直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根據(jù)∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE進(jìn)行計(jì)算即可．答案詳解：解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝40°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠BCA=12×（180°﹣50∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，故選：C．16．探索與發(fā)現(xiàn)，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線．（1）如圖，若∠B＝20°，∠C＝58°，求∠EAD的度數(shù)．（2）如圖，當(dāng)∠B和∠C（∠C＞∠B）為銳角時(shí)，由第1小題的計(jì)算過程，猜想∠EAD、∠B和∠C之間的關(guān)系是∠EAD=12（∠C﹣∠B（3）如圖，當(dāng)∠B為銳角，而∠ACB分別為直角和鈍角時(shí)，第（2）小題的結(jié)論還成立嗎？（只寫成立或不成立，不必說明理由）：成立試題分析：（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝102°，利用角平分線的定義得∠EAC=12∠BAC＝51°，而∠DAC＝90°﹣∠C＝32°，通過∠EAD＝∠EAC﹣∠（2）和（1）一樣：∠EAC＝90°-12∠B-12∠C，而∠DAC＝90°﹣∠C，則可得∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC=1（3）∠B為銳角，而∠ACB分別為直角和鈍角時(shí)，證明的方法一樣．答案詳解：解：（1）∵∠B＝20°，∠C＝58°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝102°，而AE是∠BAC的平分線，∴∠EAC=12∠BAC＝又∵AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝32°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝51°﹣32°＝19°；（2）∠EAD=12（∠C﹣∠（3）成立．六．角平分與內(nèi)外角的融合17．∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，∠AEB＝135°；（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO＝60°，則∠D＝45°；②隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)，∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請說明理由；（3）如圖③，延長MO至Q，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長線相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．試題分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（3）①當(dāng)∠EAF＝3∠E時(shí)，②當(dāng)∠EAF＝3∠F時(shí)，③當(dāng)∠F＝3∠E時(shí)，④當(dāng)∠E＝3∠F時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論．答案詳解：解：（1）∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=1∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）＝∴∠AEB＝135°；故答案為：135°；（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴∠ABN＝150°，∵BC是∠ABN的平分線，∴∠OBD＝∠CBN=12×150∵AD平分∠BAO，∴∠DAB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案為：45；②∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD＝α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2α，∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝45°+α，∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，∴∠D＝180°﹣∠BAD﹣∠OBD﹣∠ABO＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，故答案為：45；（3）∵∠BAO與∠BOQ的平分線交于點(diǎn)E，∴∠AOE＝135°，∴∠E=180∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線，∴∠EAF=在△AEF中，若有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則①當(dāng)∠EAF＝3∠E時(shí)，得∠E＝30°，此時(shí)∠ABO＝60°；②當(dāng)∠EAF＝3∠F時(shí)，得∠E＝60°，此時(shí)∠ABO＝120°＞90°，舍去；③當(dāng)∠F＝3∠E時(shí)，得∠E=此時(shí)∠ABO＝45°；④當(dāng)∠E＝3∠F時(shí)，得∠E=此時(shí)∠ABO＝135°＞90°，舍去．綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°．18．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)．通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線∴∠1=∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠1+∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-（1）探究2：如圖2，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．（2）探究3：如圖3中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？∠BOC＝90°-12∠A（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？∠BOC=12（∠A+∠D試題分析：（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=12∠ACD=12（∠A+∠（3）同（1）的求解思路．答案詳解：解：（1）探究2結(jié)論：∠BOC＝90°-12∠理由：由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC=12（∠A+∠ACB），∠OCB=12（∠A在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A＝180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠＝180°-12（180°+∠＝90°-12∠（2）探究3結(jié)論：∠BOC=12∠理由如下：如圖，∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠1=12∠ABC，∠2=1又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠2=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1=12∠A+∠1﹣∠1=1即∠BOC=12∠（3）∠OBC+∠OCB=12（360°﹣∠A﹣∠在△BOC中，∠BOC＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠B）=12（∠A故答案為：∠BOC=12（∠A+∠七．靈活運(yùn)用19．Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝30°，則∠1+∠2＝120°；（2）若點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC之外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2的關(guān)系為：∠2﹣∠1+∠α＝90°．試題分析：（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四邊形的內(nèi)角和即可．（2）同（1）方法即可．（3）利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．（4）利用三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．答案詳解：解：（1）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，故答案為：120．（2）∵∠1+∠CDP＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠1，同理：∠CEP＝180°﹣∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，∵∠C＝90°，∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+9