期末復習03平行四邊形核心知識必考題訓練(50題)-【重要筆記】2021-2022學年八年級數(shù)學下學期重要考點精講精練(人教版)(原卷版+解析)

期末復習-平行四邊形核心知識必考題訓練（50題）題型一：平行四邊形的性質與判定1．如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF＝（）A．8 B．9 C．12 D．152．在?ABCD中，∠A=3∠B，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．60°3．如圖，在?ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分線交AD于E，交CD的延長線于點F，則DF=（）A．1 B．3 C．2 D．34．平行四邊形一定具有的性質是（）A．內角和為180° B．是中心對稱圖形C．鄰邊相等 D．對角互補5．如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是BC上一點，BF＝6，CF＝2，點E是CD的中點，AE平分∠DAF，EF＝22A．82 B．47 C．1026．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2．將△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，若四邊形ACFD的周長為10，則△ABC平移的距離為（）A．1 B．2 C．23 7．下列條件中，能判定一個四邊形為平行四邊形的是（）A．一組對邊相等B．一組對邊平行，另一組對邊相等C．兩條對角線互相垂直D．兩組對邊分別相等8．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分線分別交AD于點E和F，若BE＝6，則CF＝（）A．6 B．8 C．10 D．139．下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②一組對角相等，一組鄰角互補的四邊形是平行四邊形；③對角線相等且互相垂直的四邊形是平行四邊形；④一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；A．①③ B．②④C．①④ D．以上都不正確10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點，連接AE，CF。求證：AE＝CF。11．如圖所示，在?ABCD中，點E，點F分別是AD，BC的中點，連接BE，DF.（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形.（2）若BE平分∠ABC，AB＝5，求平行四邊形ABCD的周長.12．在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，AD∥BC，AO＝CO．（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）過點O作OE⊥BD交BC于點E，連接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度數(shù)．題型二：三角形的中位線13．如圖，在一平坦的地面上，為測量位于水塘旁的兩點A、B間的距離，先確定一點O，分別取OA、OB的中點C、D，測量得CD=50m，則A、B的距離為（）A．100m B．150m C．200m D．400m14．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD與BC的和是12，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點，則△EFG的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．1215．如圖所示，已知四邊形ABCD中，R，P分別是BC，CD上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不變 D．線段EF的長與點P的位置有關16．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（）A．3 B．4 C．4.5 D．517．如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為（）A．16 B．20 C．29 D．34題型三：矩形的性質及判定18．如圖，一塊長方形場地ABCD的長AB與寬BC的比是2：1，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別是E、F兩點.現(xiàn)計劃在四邊形DEBF區(qū)域種植花草，則四邊形DEBF與長方形ABCD的面積比等于（）A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：419．有下列說法：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；③有一個角是直角的四邊形是矩形；④有三個角是直角的四邊形是矩形；⑤四個角都相等的四邊形是矩形；⑥對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形.其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個20．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分線分別交AC.AB于點D，F(xiàn)，過點B作DF的垂線，垂足為E.若BC=2，則四邊形BCDE的面積是（）A．23 B．3 C．4 D．21．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，且與AD邊交于點E，∠AEB＝45°，證明：四邊形ABCD是矩形．22．如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，AE∥BC,CE⊥AE,垂足為點E.連接DE,則線段DE與線段AC有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結論。23．如圖，在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6．點D在AB邊上（不包括端點），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E和點F，連結EF．（1）判斷四邊形DECF的形狀，并證明；（2）線段EF是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由．題型四：直角三角形斜邊上的中線24．如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD⊥BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則DE的長為（）.A．4 B．5 C．6 D．825．如圖，在△ABC中BC>AC，點D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，求證：EF∥BC26．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連結DE，AD，點F在BA的延長線上，且AF=1227．如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=ABAC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點，連結DE，EF.求證：DE=EF。28．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，點M是對角線AC的中點，點N是AD邊的中點，連結BM，MN，若BM＝3MN，則線段CD的長是（）A．53 B．3 C．10329．如圖，一根木棍斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設木棍中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行.在此滑動過程中，點P到點O的距離（）A．變小 B．不變 C．變大 D．無法判斷30．如圖，在?ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，且∠BED是直角.求證：?ABCD是矩形.31．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，點E為AC中點，點F為BD中點.求證：EF⊥BD32．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，角平分線AD=12，點E是AC中點，求DE的長.33．如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，點E在CD上，且∠AED=∠B，求證：AE=BC.題型五：菱形的性質及判定34．如圖菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC=4，則該菱形的周長為（）A．163 B．16 C．8335．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，CE與DE交于點E.請?zhí)剿鰿D與OE的位置關系，并說明理由.36．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點E，求OE的長.37．如圖所示，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連結OH.求證：∠DHO=∠DCO.38．已知：菱形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于點O，且AC=6，BD=8，求菱形的周長和面積.39．如圖，BD是△ABC的角平分線，過點作DE//BC交AB于點E，DF//AB交BC于點F．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）若∠ABC=60°，∠ACB=45°，CD=62，求菱形BEDF40．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）判斷：四邊形ADCF是形，說明理由；（3）若AC=4，AB=5，求四邊形ADCF的面積．題型六：正方形的性質和判定41．如圖，在邊長為4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，AE=AF=2，連接DE，BF，BD，則DEA．10 B．20 C．30 D．4042．如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的長為（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm43．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G.求證：AE=CF.44．如圖所示，等邊三角形AEF的頂點E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上且∠CEF=45°.求證：矩形ABCD是正方形.45．如圖，在Rt△ABC中，兩銳角的平分線AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G.（1）求證：四邊形OGCF是正方形.（2）若∠BAC=60°，AC=4，求正方形OGCF的邊長.題型七：平行四邊形綜合題46．猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點在一條直線上，CE在邊CD上．連結AF，若M為AF的中點，連結DM，ME，（1）試猜想DM與ME的數(shù)量關系，并證明你的結論．（2）拓展與延伸：①若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為；②如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，猜想并證明DM和ME的關系．下面給出部分證明過程，請把推理過程補充完整．證明：如圖③，連結AC．∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是正方形，∴∠DAC=∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，∴點E在AC上．∴∠AEF＝∠FEC＝90°．又∵點M是AF的中點，∴ME＝1247．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是BC邊所在直線上的點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F.⑴當點E在線段BC中點時（如圖①），易證AE=EF，不需證明；⑵當點E在線段BC上（如圖②）或在線段BC延長線上（如圖③）時，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出你的猜想，并選擇圖②或圖③的一種結論給予證明.48．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（﹣6，0），（4，0），點D在y軸上．（1）求點C的坐標；（2）求對角線AC的長．49．已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，B（5，2），點D是OA中點，點P在BC上以每秒2個單位的速度由C向B運動，設動點P的運動時間為t秒.（1）t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？（2）在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.50．先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點A與坐標系的原點重合，邊AB，AD分別落在x軸、y軸上（如圖1），再將此矩形在坐標平面內按逆時針方向繞原點旋轉30°（如圖2），若AB=8，BC=6，求圖1和圖2中點C期末復習-平行四邊形核心知識必考題訓練（50題）題型一：平行四邊形的性質與判定1．如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF＝（）A．8 B．9 C．12 D．15【答案】A【解析】【解答】解：延長EP、FP分別交AB、BC于G、H，由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四邊形PGBD，EPHC是平行四邊形，∴PG＝BD，PE＝HC，∵△ABC是等邊三角形，PF∥AC，PD∥AB，∴△PFG，△PDH是等邊三角形，∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，又∵△ABC的周長為24，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=1故答案為：A.【分析】延長EP、FP分別交AB、BC于G、H，易證四邊形PGBD、EPHC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得到PG＝BD，PE＝HC，易證△PFG，△PDH是等邊三角形，則PF＝PG＝BD，PD＝DH，然后根據(jù)△ABC的周長為24進行解答即可.2．在?ABCD中，∠A=3∠B，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=3∠B，∴4∠B=180°，∴∠B=45°.故答案為：C.【分析】根據(jù)平行四邊形鄰角互補可得∠A+∠B=180°，結合∠A=3∠B就可求出∠B的度數(shù).3．如圖，在?ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分線交AD于E，交CD的延長線于點F，則DF=（）A．1 B．3 C．2 D．3【答案】C【解析】【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD=BC=5，AB=CD=3，∴∠ABE=∠CFE.∵∠ABC的平分線交AD于點E，∴∠ABE=∠CBF，∴∠CBF=∠CFB，∴CF=CB=5，∴DF=CF﹣CD=5﹣3=2.故答案為：C.

【分析】利用平行四邊形的性質可知AB∥CD，同時可求出CD，BC的長；利用平行線的性質及角平分線的定義可證得∠CBF=∠CFB，利用等角對等邊可求出CF的長；然后根據(jù)DF=CF﹣CD，代入計算求出DF的長.4．平行四邊形一定具有的性質是（）A．內角和為180° B．是中心對稱圖形C．鄰邊相等 D．對角互補【答案】B【解析】【解答】解：A、平行四邊形的內角和為360°，故A不符合題意；

B、平行四邊形是中心對稱圖形，故B符合題意；

C、平行四邊形的鄰邊不一定相等，故C不符合題意；

D、平行四邊形的對角相等，故D不符合題意；

故答案為：B.

【分析】利用平行四邊形的性質：內角和為360°，可對A作出判斷；根據(jù)平行四邊形的對稱性，可對B作出判斷；利用平行四邊形的對邊相等，對角相等，可對C，D作出判斷.5．如圖，在平行四邊形ABCD中，點F是BC上一點，BF＝6，CF＝2，點E是CD的中點，AE平分∠DAF，EF＝22A．82 B．47 C．102【答案】D【解析】【解答】解：如圖，延長AE和BC交于點G，

在平行四邊形ABCD中，

∵AD∥BC，AD＝BC，

∴∠D＝∠ECG，∠DAE＝∠G，

∵點E是CD的中點，

∴DE＝CE，

∴△ADE≌△GCE（ASA），

∴AE＝EG，

∵AE平分∠DAF，

∴∠DAE＝∠FAE，

∴∠G＝∠FAE，

∴FA＝FG，

∴FE⊥AG，

∵BF＝6，CF＝2，

∴AD＝CG＝BC＝BF+FC＝6+2＝8，

∴FG＝FC+CG＝2+8＝10，

∵EF＝22，

∴AE＝EG＝FG2?EF2=102?（22）2＝223，

∴△AEF的面積＝1【分析】延長AE和BC交于點G，由平行四邊形性質結合已知條件可證明△ADE≌△GCE，得AE＝EG，再根據(jù)等腰三角形的性質證明FE⊥AG，通過線段和差關系求得AD=8，F(xiàn)G=10，再根據(jù)勾股定理求得AE的長，代入三角形面積公式計算即可解決問題.6．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2．將△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，若四邊形ACFD的周長為10，則△ABC平移的距離為（）A．1 B．2 C．23 【答案】A【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°∴AC=4根據(jù)平移可知，AD=CF，AD∥CF∴四邊形ACFD為平行四邊形∴AC=DF=4∵四邊形ACFD的周長為10∴CF=即平移的距離等于1，故答案為：A．【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質可得AC=2AB=4，由平移的性質可得四邊形ACFD為平行四邊形，可得AC=DF=4，根據(jù)平形四邊形的周長求出CF即得結論.7．下列條件中，能判定一個四邊形為平行四邊形的是（）A．一組對邊相等B．一組對邊平行，另一組對邊相等C．兩條對角線互相垂直D．兩組對邊分別相等【答案】D【解析】【解答】解：A、一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項不符合題意；B、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形或平行四邊形，故本選項不符合題意；C、兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項不符合題意；D、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；故答案為：D.【分析】平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.8．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分線分別交AD于點E和F，若BE＝6，則CF＝（）A．6 B．8 C．10 D．13【答案】B【解析】【解答】解：如圖，設BE與FC的交點為H，過點A作AM∥FC，交BE與點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO=A在△ABO和△MBO中，∠ABO=∠CBOBO=BO∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四邊形AMCF是平行四邊形，∴CF＝AM＝8.故答案為：B.【分析】設BE與FC的交點為H，過點A作AM∥FC，交BE與點O，由平行四邊形的性質以及平行線的性質得∠ABC+∠DCB+180°，根據(jù)角平分線的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，則∠CBE+∠BCF＝90°，根據(jù)平行線的性質得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，則AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，證明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，則AM＝8，推出四邊形AMCF是平行四邊形，據(jù)此解答.9．下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；②一組對角相等，一組鄰角互補的四邊形是平行四邊形；③對角線相等且互相垂直的四邊形是平行四邊形；④一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；A．①③ B．②④C．①④ D．以上都不正確【答案】A【解析】【解答】解：①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形或梯形，故①符合題意；

②一組對角相等，一組鄰角互補的四邊形是平行四邊形，故②不符合題意；

③對角線相等且互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，故③符合題意；

④一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，故④不符合題意；

故答案為：A.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項進行判斷，即可得出答案.10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點，連接AE，CF。求證：AE＝CF。【答案】證明：∵?ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點，

∴AF=EC且AF∥EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AE=CF.【解析】【分析】由?ABCD性質得AD∥BC，AD=BC，再由E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點，從而得道AF=EC且AF∥EC，可證出四邊形AECF是平行四邊形，再由平行四邊形性質即可推出AE=CF.11．如圖所示，在?ABCD中，點E，點F分別是AD，BC的中點，連接BE，DF.（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形.（2）若BE平分∠ABC，AB＝5，求平行四邊形ABCD的周長.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵點E，點F分別是AD，BC的中點，∴AE=DE=12AD，BF=CF=1∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=5，∴AD=2AE=10，∴平行四邊形ABCD的周長=2×（5+10）=30.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質可得AD∥BC，AD=BC，根據(jù)中點的概念可得AE=DE=12AD，BF=CF=12BC，推出DE=BF，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理進行證明；12．在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，AD∥BC，AO＝CO．（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）過點O作OE⊥BD交BC于點E，連接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度數(shù)．【答案】（1）證明：∵AD//BC，

∴∠ADO=∠CBO又∵∠AOD=∠BOC，OA=OC，∴△ADO≌△CBO(AAS)∴AD=BC(或OB=OD)∴四邊形ABCD是平行四邊形（2）解：∵OB=OD，OE⊥BD，∴BE=ED，∴∠CBD=∠BDE=15°∵∠CDE=15°，∴∠BDC=30°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB//CD，∴∠ABD=∠BDC=30°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°【解析】【分析】（1）利用AAS證出△ADO≌△CBO，得出AD=BC，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證出四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質得出BE=ED，得出∠CBD=∠BDE=15°，從而得出∠BDC=30°，再根據(jù)平行線的性質得出∠ABD=∠BDC=30°，利用∠ABC=∠ABD+∠CBD，即可得出∠ABC的度數(shù).題型二：三角形的中位線13．如圖，在一平坦的地面上，為測量位于水塘旁的兩點A、B間的距離，先確定一點O，分別取OA、OB的中點C、D，測量得CD=50m，則A、B的距離為（）A．100m B．150m C．200m D．400m【答案】A【解析】【解答】解：∵點C，D為OA，OB的中點，CD＝50m，∴CD是△OAB的中位線，∴AB＝2CD＝100（m），故答案為：A．

【分析】利用三角形的中位線的性質可得AB＝2CD＝100。14．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD與BC的和是12，點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點，則△EFG的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】【解答】解：如圖，連接AE，并延長交CD于K，

∵AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，

∵點E、F、G分別是BD、AC、DC的中點．

∴BE＝DE，

∴△AEB≌△KED（AAS），

∴DK＝AB，AE＝EK，

∴EF為△ACK的中位線，

∴EF＝12CK＝12（DC﹣DK）＝12（DC﹣AB），

∵EG為△BCD的中位線，

∴EG＝BC，

又∵FG為△ACD的中位線，

∴FG＝AD，

∴EG+GF＝12（AD+BC），

∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，

∴EG+GF＝6，F(xiàn)E＝3，

∴△EFG的周長是6+3＝9．

故答案為：B.

【分析】連接AE，并延長交CD于K，根據(jù)平行線的性質得到∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，根據(jù)三角形中位線的性質得到BE＝DE，可證明△AEB≌△KED，從而得到DK＝AB，AE＝EK，EF為△ACK的中位線，即EF＝12CK＝1215．如圖所示，已知四邊形ABCD中，R，P分別是BC，CD上的點，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不變 D．線段EF的長與點P的位置有關【答案】C【解析】【解答】解：如圖，連接AR，

∵E、F分別為AP和PR的中點，

∴EF是△APR的中位線，

∴EF=12AR，

∵A、R兩點為頂點，

∴線段AR為定長，

∴線段EF的長不變.

故答案為：C.

【分析】連接AR，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=12AR，由于線段AR為定長，則可得出

16．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（）A．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】A【解析】【解答】解：連接BD，DN，

在Rt△ABD中，

BD=AD2+AB2=332+32=6；

∵點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，

∴EF是△MDN的中位線，

故答案為：A.

【分析】連接BD，DN，利用勾股定理求出BD的長；再證明EF是△MDN的中位線，利用三角形的中位線定理可證得EF=1217．如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為（）A．16 B．20 C．29 D．34【答案】B【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝OC，∴AC＝AB∴OB＝OA＝OC＝12∵M是AD的中點，∴OM＝12CD＝2.5，AM＝1∴四邊形ABOM的周長為：AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20．故答案為：B．【分析】由矩形的性質可得BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝OC=OB，利用勾股定理可求出AC=13，可得OB=6.5，易得OM是△ACD的中位線，可得OM＝12CD＝2.5，AM＝1題型三：矩形的性質及判定18．如圖，一塊長方形場地ABCD的長AB與寬BC的比是2：1，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別是E、F兩點.現(xiàn)計劃在四邊形DEBF區(qū)域種植花草，則四邊形DEBF與長方形ABCD的面積比等于（）A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4【答案】A【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠BCF.∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°，BF//DE.在△ADE和△CBF中，∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFB∴△ADE≌△CBF（AAS），∴DE=BF，AE=CF，又∵BF//DE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，設AD=BC=x，則CD=AB=2∴AC=AB∵DE⊥AC于點E，∴S∴x?2∴DE=6在△ADE中，AE=xCF=3∴EF=AC?AE?CF=3∴S∵S∴四邊形DEBF與矩形ABCD的面積之比為1：3.故答案為：A.【分析】根據(jù)矩形的性質得AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，根據(jù)平行線的性質可得∠DAE=∠BCF，證明△ADE≌△CBF，得到DE=BF，AE=CF，推出四邊形DEBF是平行四邊形，設AD=BC=x，則CD=AB=2x，利用勾股定理可得AC=3x，然后根據(jù)三角形的面積公式表示出DE，由勾股定理表示出AE，由EF=AC-AE-CF可得EF，然后表示出四邊形DEBF、ABCD的面積，據(jù)此解答.19．有下列說法：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；③有一個角是直角的四邊形是矩形；④有三個角是直角的四邊形是矩形；⑤四個角都相等的四邊形是矩形；⑥對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形.其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】【解答】解：①對角線相等的平行四邊形是矩形，故①錯誤；

②對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故②正確；

③有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故③錯誤；

④有三個角是直角的四邊形是矩形，故④正確；

⑤四個角都相等的四邊形是矩形，故⑤正確；

⑥對角線相等，且有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，故⑥錯誤；

∴正確的有3個.

故答案為：B.

【分析】利用矩形的判定定理，抓住關鍵詞：平行四邊形，對角線，四邊形依次判斷，即可得到正確結論的個數(shù).20．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC的垂直平分線分別交AC.AB于點D，F(xiàn)，過點B作DF的垂線，垂足為E.若BC=2，則四邊形BCDE的面積是（）A．23 B．3 C．4 D．【答案】A【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2

∴AC=3BC=23，

∵DE垂直平分AC，∠CDE=90°，

∴AD=DC=12AC=3，

∵BE⊥ED，

∴∠C=∠CDE=∠E=90°，

∴四邊形BCDE為矩形，

∴四邊形BCDE的面積=BC·DC=2×3=23.

故答案為：A.

21．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，且與AD邊交于點E，∠AEB＝45°，證明：四邊形ABCD是矩形．【答案】證明：∵AD∥BC∴∠EBC=∠AEB=45°∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC=45°∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴四邊形ABCD是矩形【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定定理，一個角為直角的平行四邊形為矩形，可進行判斷。22．如圖，在△ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，AE∥BC,CE⊥AE,垂足為點E.連接DE,則線段DE與線段AC有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結論?！敬鸢浮拷猓航Y論：AC=DE,理由如下：∵CE⊥AE∴∠AEC=90°∵AE∥BC,∴∠BCE=90°∵AB=ACAD是BC邊上的中線∴∠ADC=90°∴四邊形ADCE是矩形∴AC=DE【解析】【分析】由CE⊥AE得∠AEC=90°；又AE∥BC,根據(jù)兩直線平行同旁內角互補得∠BCE=90°；再因為AB=ACAD是BC邊上的中線；得出∠ADC=90°；從而得出四邊形ADCE是矩形；根據(jù)矩形得性質得出AC=DE.23．如圖，在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6．點D在AB邊上（不包括端點），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E和點F，連結EF．（1）判斷四邊形DECF的形狀，并證明；（2）線段EF是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）解：四邊形DECF是矩形，理由：∵在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，∴BC2+AC2=82+62=102=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=DFC=90°，∴四邊形DECF是矩形（2）解：存在，連結CD，∵四邊形DECF是矩形，∴CD=EF，當CD⊥AB時，CD取得最小值，即EF為最小值，∵S△ABC=12AB?CD=1∴12×10×CD=1∴EF=CD=4.8．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，∠C=90°，由垂直的定義得到∠DEC=DFC=90°，于是得到四邊形DECF是矩形；（2）連結CD，由矩形的性質得到CD=EF，當CD⊥AB時，CD取得最小值，即EF為最小值，根據(jù)三角形的面積即可得到結論．題型四：直角三角形斜邊上的中線24．如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD⊥BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則DE的長為（）.A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】【解答】解：∵AB=AC=10，AD⊥BC，E為AC的中點，∴DE=12AC=1故答案為：B.

【分析】由題意可得DE為△ABC的中位線，據(jù)此解答.25．如圖，在△ABC中BC>AC，點D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，求證：EF∥BC【答案】證明：∵AC=DC，

∴△ACD為等腰三角形，

又∵CF為∠ACB的平分線，

∴AF=FD，

又∵AE=EB，

∴EF為△ABD的中位線，

∴EF∥BD，

即EF∥BC.【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得出AF=FD，結合AE=EB，得出EF為△ABD的中位線，則可證出EF∥BC.26．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連結DE，AD，點F在BA的延長線上，且AF=12【答案】解：四邊形ADEF是平行四邊形.證明：∵D，E分別是邊BC，AC的中點，∵DE∥AB，DE=12又∵AF=12AB，∴∴四邊形ADEF是平行四邊形?！窘馕觥俊痉治觥坷靡阎獥l件可證得DE是△ABC的中位線，利用三角形的中位線定理可證得DE∥AB，DE=1227．如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=ABAC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點，連結DE，EF.求證：DE=EF?！敬鸢浮孔C明：如圖，連結BN，CM.∵AM=AB，AC=AN，∠MAB=∠CAN，∴∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，即∠MAC=∠BAN.∴△MAC≌△BAN（SAS）.∴MC=BN.又∵D，E，F(xiàn)分別為MB，BC，CN的中點，∴DE=12MC，EF=12BN，

【解析】【分析】連結BN，CM，利用等腰三角形的性質及等邊對等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可證得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性質可證得MC=BN；再利用三角形的中位線定理及等量代換可證得結論.28．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，點M是對角線AC的中點，點N是AD邊的中點，連結BM，MN，若BM＝3MN，則線段CD的長是（）A．53 B．3 C．103【答案】C【解析】【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，

∴AC=82+62=10，

∵M為AC中點，

∴BM=12AC=5，

∵BM=3MN，

∴MN=53，

又∵N是AD的中點，

∴MN是△ACD的中位線，

∴CD=2MN=2×53=1029．如圖，一根木棍斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設木棍中點為P，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行.在此滑動過程中，點P到點O的距離（）A．變小 B．不變 C．變大 D．無法判斷【答案】B【解析】【解答】解：在木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不發(fā)生變化，理由是：連接OP，設AB=2a∵∠AOB=90°，P為AB中點，AB=2a，∴OP=12即在木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不發(fā)生變化，永遠是a；故答案為：B.

【分析】連接OP，可得到OP是Rt△AOB斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得到在旋轉的過程中OP=1230．如圖，在?ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，且∠BED是直角.求證：?ABCD是矩形.【答案】證明：連結OE∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO.∵∠AEC=∠BED=90°，∴AC=2OE，BD=2OE，∴AC=BD，∴?ABCD是矩形.【解析】【分析】連接OE，利用平行四邊形的對角線互相平分，可證得OA=OC，OB=OD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證得AC=BD；然后利用對角線相等的平行四邊形是矩形，可證得結論.31．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，點E為AC中點，點F為BD中點.求證：EF⊥BD【答案】證明：如圖，連接BE、DE，∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，點E是AC的中點，∴BE=DE=12∵點F是BD的中點，∴EF⊥BD【解析】【分析】連接BE、DE，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=DE=1232．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，BC=10，角平分線AD=12，點E是AC中點，求DE的長.【答案】解：∵AB="AC"，AD是角平分線，∴AD⊥BC,且DC=12∵AD=12，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=52∵點E是AC中點，∴DE=12AC=13【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可得CD=5,由勾股定理求出AC,再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求出DE的長.33．如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，點E在CD上，且∠AED=∠B，求證：AE=BC.【答案】證明：延長CD到F使DF=CD，連接AF，如圖∵CD是△ABC的中線，∴AD=BD，在△ADF與△BCD中，AD=BD∠ADF=∠BDC∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，又∵∠AED=∠B∴∠AED=∠BCD，∵△ADF≌△BDC，∴∠F=∠BCD，∴∠AED=∠F，∴AE=AF，∵BC=AF，∴AE=BC.【解析】【分析】延長CD到F使DF=CD，連接AF，根據(jù)中線的性質可得AD=BD，證明△ADF≌△BDC，得到∠F=∠BCD，BC=AF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質可得CD=BD，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠B=∠BCD，結合已知條件可得∠AED=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質可得∠F=∠BCD，推出AE=AF，然后結合BC=AF進行證明.題型五：菱形的性質及判定34．如圖菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC=4，則該菱形的周長為（）A．163 B．16 C．83【答案】B【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，有AB=AC∵∠BAD＝120°∴∠ABC=60°∴△ABC為等邊三角形即AB=AC=BC=4該菱形的周長為16故答案為：B.【分析】根據(jù)菱形的性質可得AB=AC，∠ABC=180°-∠BAD=60°，推出△ABC為等邊三角形，得到AB=AC=BC=4，據(jù)此不難求出菱形的周長.35．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，CE與DE交于點E.請?zhí)剿鰿D與OE的位置關系，并說明理由.【答案】解：DC⊥OE.證明如下：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形OCED為平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD交于點O，∴OD=OC，∴四邊形OCED是菱形，∴DC⊥OE【解析】【分析】由CE∥BD，DE∥AC，得到四邊形OCED為平行四邊形，根據(jù)矩形的性質對角線平分且相等，得到OD=OC，由菱形定義得到四邊形OCED是菱形，由菱形的對角線互相垂直得到DC⊥OE.36．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點E，求OE的長.【答案】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=12BD=3，OA=OC=1在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC=32∵OE⊥BC，∴12OE?BC=1∴OE=3×45故答案為125【解析】【分析】由菱形的性質可得AC⊥BD，OB=OD=12BD=3，OA=OC=12AC=4，在Rt△OBC中，利用勾股定理求出BC=5，根據(jù)△OBC的面積=1237．如圖所示，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連結OH.求證：∠DHO=∠DCO.【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB//CD,OD=OB,∠COD=90°.∵DH⊥AB,∴OH=OB,∴∠OHB=∠OBH.又∵AB//CD,∴∠OBH=∠ODC,∴∠OHB=∠ODC.∵在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°∴∠DHO=∠DCO.【解析】【分析】(1)根據(jù)菱形的性質可得AB∥CD，OD=OB，BD⊥AC，根據(jù)平行線的性質得出DH⊥CD，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質可得OH=OB，則得∠OHB=∠OBH，然后由平行線的性質求出∠OBH=∠ODC，等量代換則可求出∠OHB=∠ODC，最后根據(jù)余角的性質求出∠DHO=∠DCO即可.38．已知：菱形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于點O，且AC=6，BD=8，求菱形的周長和面積.【答案】解：由菱形對角線性質知，AO=12AC=3，BO=1∴AB=5，∴周長L=4AB=20；∵菱形對角線相互垂直，∴菱形面積是S=12綜上可得菱形的周長為20、面積為24【解析】【分析】由菱形的性質可得：AO=12AC=3，BO=139．如圖，BD是△ABC的角平分線，過點作DE//BC交AB于點E，DF//AB交BC于點F．（1）求證：四邊形BEDF是菱形；（2）若∠ABC=60°，∠ACB=45°，CD=62，求菱形BEDF【答案】（1）∵DE//BC，DF//AB∴四邊形BEDF是平行四邊形∵DE//BC∴∠EDB=∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBF=∴∠ABD=∠EDB，即∠EBD=∠EDB∴DE=BE∴四邊形BEDF是菱形；（2）如圖，過點D作DH⊥BC于H，∵DF//AB，∴∠ABC=∠DFC=60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH=30°，∴FH=1∴DH=D∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠HDC=45°，∴CD=2∵CD=62∴DH=6，∴DF=43∵四邊形BEDF是菱形∴BF=DF=4∴菱形BEDF的面積=BF×DH=243【解析】【分析】（1）先求出四邊形BEDF是平行四邊形，再求出∠EBD=∠EDB，最后證明求解即可；

（2）先求出DH=D40．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）判斷：四邊形ADCF是形，說明理由；（3）若AC=4，AB=5，求四邊形ADCF的面積．【答案】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點，∴AE=DE，在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）菱形由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．∵AD為BC邊上的中線∴DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，∴AD=DC=12BC，∴（3）連接DF，∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF=AB=5，∵四邊形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF=12AC?DF=1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，根據(jù)兩個三角形的兩個角及其一個角的對邊相等，即可證明兩個三角形全等。

（2）根據(jù)全等三角形的性質，首先證明四邊形ADCF為平行四邊形，繼續(xù)證明其為菱形即可。

（3）根據(jù)菱形的性質，求出其面積即可。題型六：正方形的性質和判定41．如圖，在邊長為4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，AE=AF=2，連接DE，BF，BD，則DEA．10 B．20 C．30 D．40【答案】D【解析】【解答】連接BE，DF交于點O，∵四邊形ABCD是正方形∴AD=AB，∠DAB=90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE=AF，∠EAF=90°∴∠EAB=∠DAF，在△AEB和△AFD中，AE＝AF∠EAB＝∠FAD∴△AEB≌△AFD（SAS），∴∠AFD=∠AEB，∵∠AEF+∠AFE=90°=∠AEB+∠BEF+∠AFE=∠BEF+∠AFE+∠AFD=∠BEF+∠EFD=90°，∴∠EOF=90°，∴EO2+FO2=EF2，DO2+BO2=DB2，EO2+DO2=DE2，OF2+BO2=BF2，∴DE2+BF2=EF2+DB2=2AE2+2AD2=2×22+2×42=40．故答案為：D．【分析】證明△AEB≌△AFD（SAS），可得∠AFD=∠AEB，從而求出∠EOF=90°，由勾股定理知EO2+FO2=EF2，DO2+BO2=DB2，EO2+DO2=DE2，OF2+BO2=BF2，從而得出得出DE2+BF2=EF2+DB2=2AE2+2AD2，繼而得解.42．如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的長為（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm【答案】A【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，BC⊥CD，

∴∠BCE+∠FCD=90°，

又∵BE⊥EF，DF⊥EF，

∴∠BEC=∠CFD=90°，

∴∠BCE+∠EBC=90°，

∴∠EBC=∠FCD，

∴△BEC≌△CFD，

∴BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，

∴EF=EC+CF=6.5dm.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)正方形性質得，BC=CD，BC⊥CD，根據(jù)同角的余角相等得∠EBC=∠FCD，利用AAS可證明△BEC≌△CFD，根據(jù)全等三角形性質可得BE=CF=2.5dm，DF=EC=4dm，再由EF=EC+CF即可求解.43．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G.求證：AE=CF.【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，

∴AB=BC，∠ABC=∠EBF=90°，

∴∠ABE=∠CBF，

∵BE=BF，

∴△ABE≌△CBF，

∴AE=CF.【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質得出AB=BC，∠ABC=90°，根據(jù)等角的余角相等得出∠ABE=∠CBF，利用SAS證出△ABE≌△CBF，即可得出AE=CF.44．如圖所示，等邊三角形AEF的頂點E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC，CD上且∠CEF=45°.求證：矩形ABCD是正方形.【答案】證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠B=∠D=90°，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，

∵∠CEF=45°，

∴∠CFE=∠CEF=45°，

∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，

∴△AFD≌△AEB，

∴AB=AD，

∴矩形ABCD是正方形.【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質得出∠C=∠B=∠D=90°，根據(jù)等邊三角形的性質得出AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，從而得出∠AFD=∠AEB，利用AAS證出△AFD≌△AEB，得出AB=AD，即可得出矩形ABCD是正方形.45．如圖，在Rt△ABC中，兩銳角的平分線AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G.（1）求證：四邊形OGCF是正方形.（2）若∠BAC=60°，AC=4，求正方形OGCF的邊長.【答案】（1）證明：如圖，作OH⊥AB于H點，∵OF⊥AC于點F，OG⊥BC于點G，∴∠OGC=∠OFC=90°.∵∠C=90°，∴四邊形OGCF是矩形.∵AD平分∠BAC，∴OH=OF.∵BE平分∠ABC，∴OH=OG，∴OF=OG，∴四邊形OGCF是正方形（2）解：由于∠BAC=60°，AC=4，∴AB=8，BC=82設正方形OGCF的邊長為x，則AH=AF=4?x，BH=BG=43∴4?x+43∴x=23【解析】【分析】（1）作OH⊥AB于H點，易得四邊形OGCF是矩形，由角平分線的性質可得OH=OF，OH=OG，推出OF=OG，據(jù)此證明；

（2）由已知條件可得AB、BC的值，設正方形OGCF的邊長為x，則AH=AF=4-x，BH=BG=43題型七：平行四邊形綜合題46．猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點在一條直線上，CE在邊CD上．連結AF，若M為AF的中點，連結DM，ME，（1）試猜想DM與ME的數(shù)量關系，并證明你的結論．（2）拓展與延伸：①若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為；②如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，猜想并證明DM和ME的關系．下面給出部分證明過程，請把推理過程補充完整．證明：如圖③，連結AC．∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是正方形，∴∠DAC=∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，∴點E在AC上．∴∠AEF＝∠FEC＝90°．又∵點M是AF的中點，∴ME＝12【答案】（1）解：猜想DM與ME的數(shù)量關系是：DM＝ME．證明：如圖①，延長EM交AD于點H．∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是矩形，∴AD∥BG，EF∥BG，∠HDE＝90°，∴AD∥EF，∴∠AHM＝∠FEM，又∵AM＝FM，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴HM＝EM．又∵∠HDE＝90°，∴DM＝12（2）解：①DM＝ME，DM⊥ME．理由：如圖，延長EM交AD于點N．∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是正方形，∴AD∥BG，EF∥BG，∠NDE＝90°，EF=CE，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠ANM＝∠FEM，又∵AM＝FM，∠AMN＝∠FME，∴△AMN≌△FME，∴NM＝EM，AN=EF=CE，∴AD﹣AN=CD﹣CE，即DN=DE，又∵∠HDE＝90°，∴△NDE為等腰直角三角形，∴DM＝12EH＝ME，DM⊥ME．故答案為：DM＝ME，DM⊥ME；②補充證明過程：∵∠ADC＝90°，點M是AF的中點，∴DM＝12AF∴DM＝ME∵ME＝12AF＝FM＝MA，DM＝12AF＝FM＝MA，∴∠DAM＝∠ADM，∠EAM＝∠AEM，∵∠DMF＝∠DAM＋∠ADM＝2∠DAM，∠EMF＝∠AEM＋∠EAM＝2∠MAE，∴∠DMF＋∠EMF＝2∠DAM＋2∠MAE＝2∠DAC＝2×45°＝90°，【解析】【分析】（1）DM＝ME，理由：延長EM交AD于點H，證明△AMH≌△FME，可得HM＝EM．由∠HDE＝90°，利用直角三角