天津市和平區(qū)第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析

PAGE19-天津市和平區(qū)第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（含解析）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）、第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用120分鐘考生務(wù)必將答案涂寫在規(guī)定的位置上，答在試卷上的無效。祝各位考生考試順當(dāng)!一、選擇題：1.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|≥﹣1}，則A∪B＝（）A.（﹣1，2） B.（﹣1，2] C.（0，1） D.（0，2）【答案】B【解析】【分析】先分別求出集合A和B，由此能求出A∪B．【詳解】∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查并集的求法，考查并集定義等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．2.對(duì)一切，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的取值范圍，依據(jù)恒成立問題的求解策略，將原不等式轉(zhuǎn)化為，再解一元二次不等式求得的取值范圍.【詳解】解：對(duì)一切，恒成立，轉(zhuǎn)化為：的最大值，又知，的最大值為；所以，解得或.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查恒成立問題的求解策略，考查三角函數(shù)求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3.把函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，最終所得曲線的一條對(duì)稱軸是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圖像變換最終得到的解析式，再求函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程.【詳解】由題得圖像變換最終得到的解析式為，令，令k=-1,所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像變換和三角函數(shù)圖像對(duì)稱軸的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過分段法，依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，推斷出，由此選出正確結(jié)論.【詳解】解：∵，，，；∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)比較大小，考查分段法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】解：∵，則,故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行恒等變換，求表達(dá)式的值，屬于基礎(chǔ)題.6.已知是定義在上的奇函數(shù)，若，，則的值為（）A.-3 B.0 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合題中條件，求出函數(shù)的周期，即可求出結(jié)果.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴.又，所以，因此，∴函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以.又，，因此.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性與周期性的應(yīng)用，敏捷運(yùn)用函數(shù)奇偶性與周期性即可，屬于常考題型.7.用邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，當(dāng)鐵盒的容積最大時(shí)，截去的小正方形的邊長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)截去小正方形的邊長(zhǎng)為x,求出鐵盒的容積的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和此時(shí)x的值得解.【詳解】設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為x,則鐵盒的長(zhǎng)和寬為18-2x,高為x,所以，所以，所以函數(shù)在（0,3）單調(diào)遞增，在（3,9）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最大值.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理應(yīng)用實(shí)力.8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先留意到，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，將分別常數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，畫出的圖像，依據(jù)“函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)”結(jié)合圖像，求得的取值范圍.【詳解】解：由恰有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，，即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)必有一個(gè)交點(diǎn)，利用單調(diào)性，作出函數(shù)圖像如下所示，由圖可知，要使函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，只需即可.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9.已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿意的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知得到函數(shù)兩個(gè)對(duì)稱軸的距離也即是半周期，由此求得的值，結(jié)合其對(duì)稱軸，求得的值，進(jìn)而求得解析式.依據(jù)圖像變換的學(xué)問求得的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：已知函數(shù)，其中，，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)滿意的，，有，∴.再依據(jù)其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可得，.∴，∴.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.令，求得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中檔題.二、填空題：10.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為－1，則________【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)為的形式，依據(jù)實(shí)部為求得的值，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】解：∵，∴，即.∴，則.故答案：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)實(shí)部的概念和運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.11.已知，則值是________.【答案】【解析】【分析】先將已知條件兩邊平方，求得，再依據(jù)，求得的值.【詳解】解：把，兩邊平方得：，即，則，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的運(yùn)用，考查三角恒等變換，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù).若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，的值分別為________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用切點(diǎn)和斜率列方程，解方程求得的值.【詳解】解：得，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.，，即，，解得，，故答案為：（1）；（2）.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)曲線切線方程的問題，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.13.已知函數(shù)f(x)＝||，實(shí)數(shù)m，n滿意0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則＝________.【答案】9.【解析】【分析】先分析得到f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，再分析得到0＜m2＜m＜1，則f(x)在[m2，1)上單調(diào)遞減，在(1，n]上單調(diào)遞增，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到m,n的值，即得解.【詳解】因?yàn)閒(x)＝|log3x|＝,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得,則,所以0＜m2＜m＜1，則f(x)在[m2，1)上單調(diào)遞減，在(1，n]上單調(diào)遞增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，則f(x)在[m2，n]上的最大值為f(m2)＝－log3m2＝解得m＝，則n＝3，所以＝9.故答案為：9【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于中檔題.14.已知甲盒中僅有一個(gè)球且為紅球，乙盒中有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球，從乙盒中隨機(jī)抽取個(gè)球放在甲盒中，放入個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)為，則的值為________【答案】【解析】【分析】當(dāng)抽取個(gè)球時(shí)，的取值為，依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率，并求得期望值.當(dāng)抽取個(gè)球時(shí)，的取值為，依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率，并求得期望值.【詳解】解：甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)的取值為1，2，則，.則；甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)的值為1，2，3，則，，.則.∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)變量期望值的計(jì)算方法，考查古典概型概率計(jì)算公式，考查組合數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.15.已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對(duì)稱；④設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。其中正確結(jié)論為__________?！敬鸢浮竣冖邰堋窘馕觥俊痉治觥渴紫然?jiǎn)函數(shù)解析式，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時(shí)，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡(jiǎn)為，所以與關(guān)于軸對(duì)稱，正確；④，當(dāng)時(shí)，，，④正確故選②③④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.三、解答題：16.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，可得的值.（II）先求得的值,再利用二倍角公式結(jié)合齊次式計(jì)算求得、的值,再利用兩角和的正弦公式求得的值.【詳解】解：（I）∵已知，，∴，∴.（II）∵，∴，∴，【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，考查齊次式的計(jì)算，考查兩角和的正弦公式，屬于中檔題.17.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)隨意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）將代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由題可得，將代入求出切線斜率，進(jìn)而求出切線方程。（Ⅱ）設(shè)，則，由導(dǎo)函數(shù)探討的單調(diào)性進(jìn)，而得出答案。（Ⅲ）題目等價(jià)于，易求得，利用單調(diào)性求出的最小值，列不等式求解?！驹斀狻浚á瘢?，所以，即切線斜率，且，從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).所以在存在唯一零點(diǎn).（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為，且的對(duì)稱軸所以.由(Ⅱ)知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，因此，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是高考的重要考點(diǎn)，本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用單調(diào)性解決函數(shù)的恒成立問題，存在性問題等，屬于一般題。18.已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π（1）求ω的值；（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-a在區(qū)間[-，]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)1.(2)[-+kπ，+kπ]，k∈Z，(3)見解析.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，利用三角函數(shù)周期公式可求的值．（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性可求的單調(diào)增區(qū)間．（3）作出函數(shù)在上的圖象，從圖象可看出，可求當(dāng)曲線與在∈上有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，2，即可得解實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由三角恒等變換的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2-）+2=sin2+cos2+sin2-cos2+1+cos2=sin2+cos2+1，又因?yàn)門==π，所以．（2）由2kπ-2+2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ+kπ，k∈Z，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-+kπ，+kπ]，k∈Z，（3）作出函數(shù)在上的圖象如圖：函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩解，亦即曲線與在x∈上有兩個(gè)交點(diǎn)，從圖象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，所以當(dāng)曲線與在x∈上有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則2，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中解答合理利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算實(shí)力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．19.設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為，.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在其次象限.與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若的面積是面積的3倍，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）依據(jù)離心率和弦長(zhǎng)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用的面積與面積的關(guān)系得到，利用向量結(jié)合平面對(duì)量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系.分別聯(lián)立直線的方程與直線、直線的方程與橢圓的方程，依據(jù)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系列方程，解方程求得的值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得∴，，所以，橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，由題意，且由的面積是面積的3倍，可得，所以，從而，所以，即.易知直線的方程為，由消去，可得由方程組消去，可得.由，可得，整理得，解得，或.當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.所以，的值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查兩條直線交點(diǎn)、直線和橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查方程的思想，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)，，（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)隨意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求證：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析【解析】【分析】（Ⅰ）求出的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，然后用一般式寫出切線的方程；（Ⅱ）對(duì)，都成立，則對(duì)，，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出的最大值可得的范圍；（Ⅲ）由，得，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)