2025屆上海市長寧區(qū)數學高二上期末復習檢測模擬試題含解析

2025屆上海市長寧區(qū)數學高二上期末復習檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且垂直于直線的直線方程是（）A. B.C. D.2．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點，是線段上靠近的三等分點，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．若等比數列滿足，，則數列的公比為（）A. B.C. D.4．經過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.6．若函數有兩個零點，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.7．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，8．已知數列為等差數列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.49．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準線上的一動點，則的最小值為（）.A. B.C. D.11．設雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.12．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：y2＝2px過點P(1，1):①點P到拋物線焦點的距離為②過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q，則△OPQ的面積為③過點P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過點P作兩條斜率互為相反數的直線交拋物線于M，N兩點，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.14．某古典概型的樣本空間，事件，則___________.15．命題“若實數a，b滿足，則且”是_______命題(填“真”或“假”).16．數列滿足，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級共有男生490人和女生510人，現采用分層隨機抽樣的方法從該校高二年級中抽取100名學生，測得他們的身高數據（1）男生和女生應各抽取多少人？（2）若樣本中男生和女生的平均身高分別為173.6、162.2厘米，請估計該校高二年級學生的平均身高18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點M是線段PD上的一點，且，當三棱錐的體積為1時，求實數的值.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為（t為參數）（Ⅰ）寫出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角；（Ⅱ）若點P（1，2），設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值20．（12分）已知橢圓的離心率為，點是橢圓E上一點.（1）求E的方程；（2）設過點的動直線與橢圓E相交于兩點，O為坐標原點，求面積的取值范圍.21．（12分）已知等差數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和22．（10分）已知是奇函數.（1）求的值；（2）若，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據所求直線垂直于直線，設其方程為，然后將點代入求解.【詳解】因為所求直線垂直于直線，所以設其方程為，又因為直線過點，所以，解得所以直線方程為：，故選：A.2、D【解析】根據橢圓定義及正三角形的性質可得到\，再在中運用余弦定理得到、的關系，進而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因為正三角形，所以，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中等題.3、D【解析】設等比數列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設等比數列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D4、B【解析】求出兩直線的交點坐標，可設所求直線的方程為，將交點坐標代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標為，設所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.5、A【解析】根據橢圓的標準方程求出，利用雙曲線，結合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標準方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據橢圓和雙曲線的關系建立方程求出，，是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力，屬于基礎題6、C【解析】函數有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導數分析的單調性，根據圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數零點的應用，構造函數求函數的導數，利用函數極值和導數之間的關系是解決本題的關鍵.7、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B8、D【解析】利用等差數列下標和的性質求值即可.【詳解】由等差數列下標和性質知：.故選：D9、C【解析】根據兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當時，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C10、A【解析】求出點坐標，做出關于準線的對稱點，利用連點之間相對最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準線方程為，，到準線的距離為2，故點縱坐標為1，把代入拋物線方程可得不妨設在第一象限，則，點關于準線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質，屬于基礎題11、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.12、D【解析】根據題意知,所以,故點P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關于CD對稱，所以，故，可知點P的軌跡是橢圓.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③④【解析】由拋物線過點可得拋物線的方程，求出焦點的坐標及準線方程，由拋物線的性質可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯立切線的坐標，進而求出三角形的面積，判斷②；設直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯立求得斜率，進而可得在處的切線方程，從而判斷③；設直線的方程為拋物線聯立求出的坐標，同理求出的坐標，進而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點的坐標為：，，準線方程為：，對于①，由拋物線的性質可得到焦點的距離為，故①錯誤；對于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對于③，依題意斜率存在，設直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對于④，設直線的方程為：，與拋物線聯立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.14、##0.5【解析】根據定義直接計算得到答案.【詳解】.故答案為：.15、假【解析】列舉特殊值，判斷真假命題.【詳解】當時，，所以，命題“若實數a，b滿足，則且”是假命題.故答案為：假16、【解析】對遞推關系多遞推一次，再相減，可得，再驗證是否滿足；【詳解】∵①時，②①-②得，時，滿足上式，.故答案為：.【點睛】數列中碰到遞推關系問題，經常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）應抽取男生49人，女生51人；（2）.【解析】（1）利用分層抽樣計算男生和女生應抽取的人數；（2）利用平均數的計算公式計算求解.【小問1詳解】解：應抽取男生人，女生應抽取100-49=51人.【小問2詳解】解：估計該校高二年級學生的平均身高為.18、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因為，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因為，，易得，，∴，∴.又因為AC，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點M到平面ABC的距離為，∴，∴.19、(I)見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用平方法消去θ得到橢圓C的普通方程為，根據直線參數方程的幾何意義求出直線的斜率，從而可得結果；（Ⅱ）把直線的方程，代入中，利用直線參數方程的幾何意義求出直線的斜率結合韋達定理可得結果.試題解析：（Ⅰ）消去θ得到橢圓C的普通方程為∵直線的斜率為，∴直線l的傾斜角為（Ⅱ）把直線的方程，代入中，得即，∴t1·t2＝4，即｜PA｜·｜PB｜＝420、（1）；（2）.【解析】(1)列出關于a、b、c的方程組即可求解；(2)根據題意，直線l斜率存在，設其方程為，代入橢圓方程消去y得到關于x的二次方程，根據韋達定理得到根與系數的關系，求出PQ長度，求出原點到l的距離，根據三角形面積公式表示出△OPQ的面積，利用基本不等式求解其范圍即可.【小問1詳解】由題設知，解得.∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當軸時不合題意，故可設，則，得.由題意知，即，得.從而.又點O到直線的距離，∴，令，則，，，所求面積的取值范圍為.21、（1）（2）【解析】（1）設等差數列公差為d，首項為a1，根據已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答