數(shù)學(xué)互動課堂綜合法和分析法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。綜合法與分析法的思維特點(diǎn)分析法是從命題的結(jié)論出發(fā)，分析使結(jié)論成立的充分條件.若能夠肯定這些條件都已具備，就可以判定結(jié)論是正確的.分析法的特點(diǎn):有些題目用一般方法較難入手時(shí)，可以用分析法探索解題思路，然后再倒回去，得到問題的解決；也可以用分析法直接書寫解題過程，步驟要清楚，書寫要嚴(yán)格.綜合法是從命題的條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達(dá)到問題的解決。綜合法的特點(diǎn)：廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)知識的各個方面，是解決問題非常重要的方法.分析法是和綜合法相比較而清晰的。綜合法逐步推求已知條件的必要條件.而分析法步步逆向?qū)で笪粗马?xiàng)成立的充分條件,所以分析法和綜合法從思維過程看是互逆的，敘述形式也有區(qū)別.一般說來，當(dāng)題目已知條件較少，發(fā)展已知較困難時(shí)，可逆向思考,由果索因,用分析法解決.一般地，對于命題“若A則D”用綜合法證明時(shí),思考過程可表示為：綜合法的思考過程是由因?qū)Ч捻樞?，是從A推演達(dá)到D的途徑，但由A推演出的中間結(jié)論未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的進(jìn)一步的中間結(jié)論則可能更多,如C、C2、C1、C3、C4等。最終，能有一個（或多個)可推演出結(jié)論D即可.用分析法思考數(shù)學(xué)問題的順序可表解為：（對于命題“若A則D”）分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序，是從D上溯尋其論據(jù)，如C、C1、C2等,再尋求C、C1、C2的論據(jù)，如B、B1、B2、B3、B4等,繼而尋求B、B1、B2、B3、B4的論據(jù)，如果其中之一B的論據(jù)恰為已知條件,于是命題已經(jīng)得證。2.應(yīng)用分析法和綜合法證明問題需注意以下問題(1)應(yīng)用綜合法時(shí)，應(yīng)從命題的前提出發(fā)，在選定了真實(shí)性是無可爭辯的出發(fā)點(diǎn)以后（它基于題設(shè)或已知的真命題),再依次由它得出一系列的命題(或判斷),其中每一個都是真實(shí)的（但它們并不一定都是所需求的），且最后一個必須包含我們要證明的命題的結(jié)論時(shí)，命題得證.同分析法一樣，并非一上來就能找到通達(dá)命題結(jié)論的思路，只是在證明的過程中對每步結(jié)論進(jìn)行分析、推敲、比較、選擇后才能得到。當(dāng)然,在較多地積累一些經(jīng)驗(yàn),掌握一些證法之后，可較為順利地得到證明的思路.而在證明的敘述時(shí)，直接敘述這條思路就夠了。(2)應(yīng)用分析法時(shí)，并非一開始就確信由結(jié)論出發(fā)所產(chǎn)生的那些推斷(或命題）都正確,各個推理步驟及依次考慮的概念、定理、法則等都合適.這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關(guān)系,因而需要從這些關(guān)系中逐個考察，逐個思索，逐個分析,逐個判斷，在得到了所需的確定結(jié)論時(shí)（它們是已證的命題或已知的條件）,才知道前面各步推理的適當(dāng)與否，從而找出證明的路子.（3)綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的思維方式,在實(shí)際證明命題時(shí),應(yīng)當(dāng)把分析法與綜合法聯(lián)合起來運(yùn)用，即當(dāng)遇到較難的新命題時(shí)，應(yīng)當(dāng)先用分析法來探求解法,然后將找到的解法用綜合法敘述出來。這樣,可以培養(yǎng)我們邏輯思維的能力和數(shù)學(xué)論證的能力,使我們知道應(yīng)該從何處入手，并明了為什么要這樣證明的理由,而不至于盲目揣測,更不至于束手無策.規(guī)律總結(jié)1。綜合法證明的方法是“執(zhí)因索果”.此法的特點(diǎn)是表述簡單，條理清楚。2。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文學(xué)語言轉(zhuǎn)換為符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言等，還要細(xì)致分析.把問題中的隱含條件明確表示出來。3.分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因"，便于解題思路的探錄。4.使用分析法時(shí)要把握三點(diǎn)：（1）尋找使命題成立的充分條件時(shí)，往往先尋找使命題成立的必要條件，再考慮這個必要條件是否成立.（2)分析法和綜合法要結(jié)合起來使用,也就是說“兩頭湊"，會使問題輕易解決.活學(xué)巧用例1如圖，在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求證：PC⊥BD。證明：(綜合法）∵PA是平面ABCD的垂線,PC是平面ABCD的斜線,如圖連結(jié)AC、BD,則AC是PC在底面ABCD內(nèi)的射影.又∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD.故PC⊥BD.點(diǎn)評：本例圖形具有很多性質(zhì),從不同的審視角度去分析，可以得到多個證明方法，如可以轉(zhuǎn)化為線面垂直來證線線垂直,也可以用向量來證明(因?yàn)閳D形中有AB、AD、PA兩兩垂直的基向量)等。例2已知a＞b＞0，求證:.證明:∵a＞b＞0，∴,即。進(jìn)而,于是，即,∴.點(diǎn)評：綜合法從正確地選擇已知其為真實(shí)的命題出發(fā)，依次推出一系列的真實(shí)命題,最后達(dá)到我們所要證明的結(jié)論。在用綜合法論證命題時(shí),必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能夠想到從哪里起步。我們一般的處理方法，是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層遞進(jìn),步步為營，由已知逐漸地引導(dǎo)到結(jié)論.例3已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證:證明：左邊=（+)+（)+(）—3,∵a、b、c為不全相等的正數(shù)，∴,,≥2,且這三式的等號不能同時(shí)成立.(否則a=b=c）∴(+）+()+(）-3＞6-3=3,即點(diǎn)評:本題用綜合法證明的出發(fā)點(diǎn)是以不等式的左端入手，加以變形,靈活運(yùn)用平均值不等式，這是綜合法證明不等式的主要技巧。為創(chuàng)造應(yīng)用條件，常把分子分成若干部分,對每部分運(yùn)用重要不等式,然后相加或相乘.例4求證：。證明:當(dāng)ac+bd＜0時(shí),成立.當(dāng)ac+bd≥0時(shí),欲證成立,只需證（ac+bd)2≤（a2+b2）（c2+d2）,即2abcd≤a2d2+b2c2，只需證a2d2+b2c2-2abcd≥0,即（ad-bc)2≥0.因?yàn)?ad—bc）2≥0成立,所以當(dāng)ac+bd≥0時(shí),點(diǎn)評：用分析法證明不等式的關(guān)鍵是尋求不等式成立的充分條件,因此常對原不等式化簡,常用的方法有：平方、合并、有理化、去分母等，但要注意所有這些變形必須能夠逆推.本題ac+bd符號不定，不能直接平方,而應(yīng)對其符號進(jìn)行討論。例5已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0＜x＜1，求證：logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc.證明：要證明logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc,只需要證明logx［··]＜logx(abc）。由已