第03講與圓有關(guān)的角和圓內(nèi)接四邊形（知識(shí)解讀）（原卷版）2

第03講與圓有關(guān)的角和圓內(nèi)接四邊形1.掌握弧、弦、圓心角的定義，并會(huì)根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算2.理解圓周角、圓心角的定義，并掌握它們之間的關(guān)系.3.掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)1圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?；　⑾?、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。知識(shí)點(diǎn)2圓角角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。知識(shí)點(diǎn)3圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴【題型1直徑所對(duì)圓周角為90°的運(yùn)用】【典例1】（2023?無為市四模）如圖，CD是⊙O的直徑，BE是弦，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，則∠BCE的度數(shù)是（）A．34° B．36° C．38° D．42°【變式11】（2023?開福區(qū)模擬）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，若∠ACB＝32°，則∠B的度數(shù)是（）A．58° B．60° C．64° D．68°【變式12】（2023?鄞州區(qū)校級(jí)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，則∠BAD的度數(shù)是（）A．48° B．56° C．62° D．68°【變式13】（2023?昆明模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ACD＝46°24′，則∠DAB的度數(shù)為（）A．43°36′ B．46°24′ C．43°46′ D．44°36′【題型2同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等的運(yùn)用】【典例2】（2023?棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（）A．32° B．42° C．48° D．52°【變式21】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，D是弧AC的中點(diǎn)，DC、AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．若∠CAB＝16°，則∠BPC的度數(shù)為（）A．37° B．32° C．21° D．16°【變式22】（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠ABD＝55°，則∠BCD等于（）?A．55° B．45° C．35° D．25°【變式23】（2023?舒城縣模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，則∠B的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【變式24】（2023?新城區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，連接AC、BE，若∠ACD＝20°，則∠ABE的度數(shù)（）A．40° B．44° C．50° D．55°【題型3圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】【典例3】（2023?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【變式31】（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，∠OCB的度數(shù)是（）A．16° B．24° C．32° D．48°【變式32】（2023?綏江縣二模）如圖，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．100° B．50° C．30° D．25°【變式33】（2023?濱城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，則∠BOC的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．60°【變式34】（2023?鳳凰縣三模）如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠C＝38°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．38° B．60° C．76° D．80°【題型4利用半徑相等構(gòu)成的等腰三角形有關(guān)運(yùn)用】【典例4】（2023?淮安區(qū)校級(jí)二模）如圖，ABC是⊙O上三點(diǎn)，若OA＝AB＝BC，則∠ACB的度數(shù)為?（）A．30° B．40° C．45° D．60°【變式41】（2023?淮陰區(qū)模擬）如圖，A、D是⊙O上的兩點(diǎn)，BC是直徑，若∠D＝32°，則∠OAC度數(shù)為（）A．58° B．32° C．60° D．68°【變式42】（2023?永壽縣二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式43】（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且OC⊥AB，過點(diǎn)C的弦CD與線段OB相交于點(diǎn)E，滿足∠OCD＝25°，連接AD，則∠BAD＝°．【題型5圓內(nèi)接四邊形的綜合運(yùn)用】【典例5】（2023?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB，BC為⊙O的兩條弦，連結(jié)OA，OC，點(diǎn)D為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠CBD＝65°，則∠AOC為（）?A．110° B．115° C．125° D．130°【變式51】（2023?昌江縣校級(jí)模擬）如圖，CD是⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ACD＝40°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．20° D．140°【變式52】（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，CD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，則∠D的度數(shù)為（）A．45° B．40° C．35° D．30°【變式53】（2023?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，∠ABD＝70°，C為劣弧上一點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【變式54】（2023?道外區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．128° B．64° C．32° D．120°【變式55】（2023?市南區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD，BD，若∠C＝105°，則∠OBD的度數(shù)為?（）A．15° B．20° C．25° D．30°【題型6運(yùn)用圓周角、圓心角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求邊長(zhǎng)】【典例6】（2023?袁州區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，，則⊙O的半徑為（）A． B． C．6 D．9【變式61】（2023春?定海區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．7 D．8【變式62】（2023?蒙城縣模擬）如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以點(diǎn)C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，AD＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4【變式63】（2023?禮泉縣二模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，連接AB、BC、AC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為4，∠A＝60°，則弦BC的長(zhǎng)是（）A．2 B．2 C．4 D．41．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°2．（2023?黔東南州二模）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，則∠AOB等于（）A．100° B．110° C．120° D．140°3．（2023?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，M分別是弦AC，弧AC的中點(diǎn)，AC＝12，BC＝5，則MD的長(zhǎng)是．4．（2023?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，AB是半徑為8的⊙O的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，∠ACB＝60°，則弦AB的長(zhǎng)度是（）A．8 B．4 C．4 D．85．（2023?大安市校級(jí)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且CO⊥AB于點(diǎn)O，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，連接AD，若∠A＝19°，則∠AEC的度數(shù)為（）A．19° B．21° C．26° D．64°6．（2023?禮泉縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為M，連接AD．若AB＝8，CD＝4，則AD的長(zhǎng)為（）A．10 B．5 C． D．7．（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（）A．16° B．24° C．12° D．14°8．（2023?膠州市模擬）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．160° B．135° C．80° D．40°9．（2023?武漢）?如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．1．（2023秋?文成縣期中）如圖所示，AB是⊙O的直徑，C，D是圓上兩點(diǎn)，且∠DCB＝30°，則∠BOD＝（）A．60° B．120° C．30° D．45°2．（2023秋?五華區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠B＝58°，∠ACD＝40°，則所對(duì)圓心角為（）A．18° B．24° C．30° D．36°3．（2023秋?蘇州期中）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，∠BOC＝120°，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，則∠BDA的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2023秋?宿豫區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠CBE是它的一個(gè)外角．若∠CBE＝100°，則∠D的度數(shù)是（）A．100° B．80° C．90° D．110°5．（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，將半徑為6的⊙O沿AB折疊，使得折痕AB垂直半徑OC，當(dāng)AB恰好經(jīng)過CO的三等分點(diǎn)D（靠近端點(diǎn)O）時(shí)，折痕AB長(zhǎng)為（）A．8 B． C．8 D．6．（2023秋?西青區(qū)校級(jí)期中）如圖，BC為⊙O的直徑，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，AB＝6，AC＝8，則CD的長(zhǎng)等于（）A．5 B．10 C． D．7．（2022秋?紅橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，MN是⊙O的直徑，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，∠ACM＝60°，B點(diǎn)是的中點(diǎn)，P點(diǎn)是MN上一動(dòng)點(diǎn)，若⊙O的半徑為1，則PA+PB的最小值為（）A．1 B． C． D．﹣18．（2023秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且∠AOC＝120°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°9．（2023秋?長(zhǎng)壽區(qū)校級(jí)期中）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)∠ABC＝30°，則∠BDC＝（）A．85° B．60° C．65° D．55°10．（2023秋?文水縣期中）如圖，在圓形紙片O中，AB為直徑．把紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為OC，把紙片再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為OD，則∠DAB的度數(shù)為（）A．22.5° B．25° C．30° D．45°11．（2023秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，BC是⊙O的弦，AD過圓心O，且AD⊥BC．若∠COD＝40°，則∠A的度數(shù)為．12．（2023秋?玄武區(qū)期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝108°，點(diǎn)E在上，則∠E＝°．13．（2023秋?杭州期中）如圖，已知半圓O，OB＝，點(diǎn)D在半圓上，AD＝10，在取點(diǎn)C，連接AC，作DH⊥AC于點(diǎn)H，連接BH，則BH的最小值等于．三．解答題（共5小題）14．（2023秋?南京期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且，AE，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，CF⊥AB交于AG于點(diǎn)F，垂足為D．（1）求證：∠CAB＝∠BCD；（2）求證：AF＝FG．15．（2023秋?新沂市期中）如圖，△ABC中，CA＝CB，以BC為直徑的半圓與AB交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E．（1）求證：點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)；（2）求證：AD＝DE．16．（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，AG，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．連接BC．（1）若∠DGF＝115°，求∠BCD的度