（培優(yōu)特訓(xùn)）專項(xiàng)9.6特殊平行四邊形中最小值問題-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》（蘇科版）

（培優(yōu)特訓(xùn)）專項(xiàng)9.6特殊平行四邊形中最小值問題1．（2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH．若∠B＝45°，BC＝2，則GH的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，∴GH是△AEF的中位線，∴，當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF最小，GH得到最小值，則∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴，∴，即GH的最小值為，故選：D．2．（2022秋?惠濟(jì)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】A【解答】解：平行四邊形ADCE的對(duì)角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，∴AB＝＝3，又∵OC＝OA，∴CD＝DB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝1.5，∴DE＝2OD＝3．故選：A．3．（2022秋?河西區(qū)校級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，將射線AC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α≤360°），得到射線AE，點(diǎn)M是點(diǎn)D關(guān)于射線AE的對(duì)稱點(diǎn)，則線段CM長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖所示：連接AM．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC＝＝＝．∵點(diǎn)D與點(diǎn)M關(guān)于AE對(duì)稱，∴AM＝AD＝1．∴點(diǎn)M在以A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑的圓上．如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A、M、C在一條直線上時(shí)，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故選：B．4．（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP＝CQ，連結(jié)CP、QD，則PC+QD的最小值為（）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【解答】解：如圖，連接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，則PC+QD＝PC+PB，則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE＝AB＝12，連接PE，則BE＝2AB＝24，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分線，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，連接CE，則PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE＝＝＝26，∴PC+PB的最小值為26，即PC+QD的最小值為26，故選：D．5．（2021秋?保定期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接AP，EF．給出下列結(jié)論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長(zhǎng)為4；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值為．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④【答案】B【解答】解：①如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∠BCD＝90°，∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°，∴∠BCD＝∠PFD，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故①正確；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長(zhǎng)＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝4，故②正確；③∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP＝45°，∴當(dāng)∠PAD＝45°或67.5°或90°時(shí)，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；④連接PC，∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，由正方形為軸對(duì)稱圖形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正確；⑤由EF＝PC＝AP，∴當(dāng)AP最小時(shí)，EF最小，則當(dāng)AP⊥BD時(shí)，即AP＝BD＝×2＝時(shí)，EF的最小值等于，故⑤正確；故選：B．6．（2022秋?橫縣期中）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°等到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是（）A． B．1.5 C．2 D．6【答案】B【解答】解：取線段AC的中點(diǎn)G，連接EG，如圖所示．∵△ABC為等邊三角形，且AD為△ABC的對(duì)稱軸，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．當(dāng)EG⊥AD時(shí)，EG最短，即DF最短．∵點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，∴此時(shí)EG＝DF＝CD＝1.5．故選：B．7．（2022秋?西山區(qū)校級(jí)期中）如圖邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，E為邊AD上一點(diǎn)，且AE＝2，F(xiàn)為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FG，連接DG，則DG的最小值為（）A． B．5 C． D．【答案】A【解答】解：過點(diǎn)G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∵GM⊥AB，GN⊥AD，∴∠FMG＝∠DNG＝90°，∴四邊形AMGN是矩形，∴MG＝AN，AM＝NG，∠A＝∠FMG，∵線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FG，∴EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EFA+∠GFM＝90°，∵∠GFM+∠FGM＝90°，∴∠EFA＝∠FGM，在△AEF和△MFC中，，∴△AEF≌△MFG（AAS），∴AE＝MF，AF＝MG，∵AE＝2，∴MF＝2，設(shè)AF＝x（0≤x≤5），則MG＝x，AM＝x+2，AN＝MG＝x，∴NG＝x+2，∵AB＝5，∴DN＝5﹣x，∴DG＝＝＝，∴當(dāng)x＝時(shí)，DG的最小值為，故選：A．8．（2022秋?啟東市期中）如圖，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以點(diǎn)B為圓心，1為半徑作⊙B，點(diǎn)P在⊙B上移動(dòng)，連接AP．將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP'，連接BP'．在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，BP'長(zhǎng)度的最小值是（）A．4﹣1 B．4 C．4 D．3【答案】A【解答】解：如圖，當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，BP′最小，連接BP，由旋轉(zhuǎn)得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，∴∠PAB+∠BAP′＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠PAB＝∠DAP′，∴△PAB≌△P′AD（SAS），∴P′D＝PB＝1，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝4，∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，即BP′長(zhǎng)度的最小值為（4﹣1）．故選：A．9．（2022秋?常州期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M在AD邊上自A至D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在BA邊上自B至A運(yùn)動(dòng)，M，N速度相同，當(dāng)N運(yùn)動(dòng)至A時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，連接CN，BM交于點(diǎn)P，則AP的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠BCN+∠BNC＝90°，又BN＝AM，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠ABM＝∠BCN，∴∠ABM+∠BNC＝90°，∴∠BPC＝∠BPN＝90°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BC為直徑的一段弧，如圖所示，連接AO1交弧于點(diǎn)P，此時(shí)，AP的值最小，在Rt△ABO1中，，由勾股定理得，，∴，故選：C．10．（2022春?江夏區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，分別作PM⊥AB于點(diǎn)M，作PN⊥BC于點(diǎn)N，點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，若AB＝9，BC＝12，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則BO的最小值是（）A．3 B．3.6 C．3.75 D．4【答案】B【解答】解：連接BP，如圖所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，∴四邊形BMPN是矩形，AC＝＝＝15，∴BP＝MN，BP與MN互相平分，∵點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，∴BO＝MN，當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP最小＝＝＝7.2，∴MN＝7.2，∴BO＝MN＝3.6，故選：B．11．（2022春?韶關(guān)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為（）A．8 B．4 C．4 D．4【答案】D【解答】解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝＝＝4，∴BF+DE最小值為4．故選：D．12．（2022春?孝感期末）如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)AC＝6，BD＝8，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AE長(zhǎng)的最小值為（）A．4 B． C．5 D．【答案】B【解答】解：∵點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，∴AE⊥BC時(shí)，AE有最小值，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AE，∴AE＝，故AE長(zhǎng)的最小值為，故選：B．13．（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若AC＝2，則EF的長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解答】解：如圖，連接OP、EF，∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，∴四邊形OEPF為矩形，∴EF＝OP，∴EF最小時(shí)OP最小，當(dāng)OP⊥BC于P的時(shí)候OP最小，而當(dāng)OP⊥BC時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，∴OP＝BC，∵AC＝2，則BC＝2，∴OP＝1，∴EF的長(zhǎng)的最小值為1．故選：B．14．（2022秋?惠陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是等邊三角形△ABC邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，并繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．若運(yùn)動(dòng)過程中AF的最小值為，則AB的值為（）A．2 B． C． D．4【答案】D【解答】解：如圖，連接BE，延長(zhǎng)AC至N，使EN＝BE，連接FN，∵△ABC是等邊三角形，E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，∴∠BED＝∠CEF，在△BDE和△NFE中，，∴△BDE≌△NFE（SAS），∴∠N＝∠CBE＝30°，∴點(diǎn)N在與AN成30°的直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AF'⊥F'N時(shí)，AF'有最小值，∴AF'＝AN，∴+1＝（AE+AE），∴AE＝2，∴AC＝4，故選：D．15．（2022春?南京期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且BF＝1，將點(diǎn)E繞著點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，連接DG，則DG的長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B．2 C．3 D．【答案】C【解答】解：過點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，∴∠GHF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝4，∠B＝90°，∴∠B＝∠GHF＝90°，由旋轉(zhuǎn)得：EF＝FG，∠EFG＝90°，∴∠EFB+∠GFH＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF＝∠GFH，∴△EBF≌△FHG（AAS），∴BF＝GH＝1，∴點(diǎn)G在與BC平行且與BC的距離為1的直線上，∴當(dāng)點(diǎn)G在CD邊上時(shí)，DG最小且DG＝4﹣1＝3，∴DG的最小值為3，故選：C．16．（2023?五華縣校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，E為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則DE的最小值為．【答案】9.6【解答】解：當(dāng)DE是平行四邊形BDCE的對(duì)角線，且DE⊥AC時(shí)，DE的長(zhǎng)最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，連接AM，在平行四邊形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC，∴MB＝BC＝6，∴AM＝＝＝8，∵△ABC的面積＝AC?BH＝BC?AM，∴10BH＝12×8，∴BH＝9.6，∵四邊形BEDH是矩形，∴DE＝BH＝9.6．∴DE長(zhǎng)的最小值是9.6．故答案為：9.6．17．（2022秋?潛江期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【解答】解：連接DG，將DG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，如圖，∵∠EDF＝∠EDG+∠GDF＝90°，∠GDM＝∠GDF+∠FDM＝90°，∴∠EDG＝∠FDM，在△EDG和△FDM中，，∴△EDG≌△FDM（SAS），∴MF＝EG＝2，∵M(jìn)H⊥CD，∴∠HDM+∠DMH＝90°，∵∠GDC+∠HDM＝90°，∴∠GDC＝∠DMH，在△DGC和△MDH中，，∴△DGC≌DMH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值為：，故答案為：．18．（2022秋?南沙區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為．【答案】【解答】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DH⊥QE于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等邊三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，，∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，又∵AB＝AF＝3，∴AF＝EF，AE＝2EF，∴EF＝，AE＝2，∴點(diǎn)Q在射線FE上運(yùn)動(dòng)，∵AD＝BC＝3，∴DE＝AD﹣AE＝，∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴EH＝DE＝，DH＝EH＝，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，DQ的值最小，最小值為，故答案為：．19．（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為．【答案】【解答】解：連接AD，∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，△ABC的面積＝，∴，∴MN的最小值為；故答案為：．20．（2022秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，則當(dāng)線段AD的長(zhǎng)度最小時(shí)，①∠BDC＝；②AD的最小值是．【答案】①60°；②5．【解答】解：如圖所示，以BD為邊向外作等邊三角形BDE，連接CE，∵△BDE，△ABC均為等邊三角形，∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴CE＝AD，∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3，∴當(dāng)C，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最小值，∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5，∴AD的最小值為5，此時(shí)∠BDC＝60°．故答案為：①60°；②5．21．（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)期末）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別在射線AB、BC上，F(xiàn)在邊AD上，ED與FG交于點(diǎn)M，AF＝1，F(xiàn)G＝DE，BG＞AF，則MC的最小值為．【答案】﹣2【解答】解：取FD的中點(diǎn)H，作FK垂直BC于點(diǎn)K，∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，∴△AED≌△KFG（HL），∴∠ADE＝∠KFG，又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，∴∠DFM+∠ADE＝90°，∴∠FMD＝90°，∴MH＝＝2，所以M在以H為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，∵M(jìn)C≥CH﹣MH當(dāng)M落在CH上時(shí)，取到等號(hào)即MC達(dá)到最小，最小值為CH﹣M′H＝﹣2．22．（2022秋?任城區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，且AB＝4，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE，BE．則△BED的周長(zhǎng)最小值是．【答案】4+2【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝