專題05勾股定理重難點突破(原卷版+解析)

專題05勾股定理（重難點突破）分類討論直角三角形中，有兩邊的長分別為3和4，那么第三邊的長的平方為A．25 B．14 C．7 D．7或25在中，兩直角邊的長度分別為3和4，那么的周長為A．11 B．12 C．13 D．14已知一個直角三角形的兩邊長為3，4，則它的另一邊長為A．5 B． C．5或 D．或7在中，、，則的長是A． B． C．5 D．5或若一個直角三角形的兩條邊長分別為3和5，則第三條邊長為A．4 B．4或 C．5 D．4或5如圖，方格中的點，稱為格點（格線的交點），以為一邊畫，其中是直角三角形的格點的個數(shù)為A．3 B．4 C．5 D．6

如圖，在方格中畫以為一邊的，要求點也在格點上，這樣的點一共可以畫出A．4個 B．5個 C．6個 D．8個如圖是的正方形網(wǎng)格，點，均在格點上．如果點也在此正方形網(wǎng)格的格點上，且，則滿足條件的點共有A．3個 B．4個 C．6個 D．8個如圖，在的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點，，，中任取三點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4折疊問題已知，如圖長方形中，，，將此長方形折疊，使點與點重合，折痕為，則的面積為A． B． C． D．如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為．如圖將矩形沿直線折疊，頂點恰好落在邊上處，已知，，則．如圖所示，折疊長方形的一邊，使點落在邊的點處，已知，，則的長為．長方形紙片中，，，按如圖方式折疊，使點與點重合，折痕為，求的長．

如圖，已知長方形中，，在邊上取一點，將折疊使點恰好落在邊上的點，求的長．如圖，沿折痕疊矩形的一邊，使點落在邊上的點處，若，且的面積為24，求的長．如圖，在長方形一邊上取一點，沿把折疊，使點落在邊的點處，已知，，求的長．

如圖，長方形沿折疊，使點落在邊上的點處，若，，求的長度．多結(jié)論如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，的三個頂點都在小正方形的格點上，小明在觀察探究時發(fā)現(xiàn)：①的形狀是等腰三角形；②的周長是；③點到邊的距離是．你認(rèn)為小明觀察的結(jié)論正確的序號有A．①②③ B．①② C．①③ D．①如圖，在中，，，平分，交于點．為上一點，且，，連接．過點作，垂足為點，則下列結(jié)論正確的有①；②；③；④的面積為．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個如圖，分別以等腰的邊、為直徑畫半圓，以邊為直徑畫圓．則：①；②；③；④．正確的結(jié)論有A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④已知，，是直角三角形的三邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說法中正確的結(jié)論的個數(shù)是①，，能組成三角形；②，，能組成直角三角形；③，，能組成一個三角形；④，，能組成直角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4下列說法：①已知直角三角形的面積為4，兩直角邊的比為，則斜邊長為；②直角三角形的最大邊長為，最短邊長為1，則另一邊長為；③在中，若，則為直角三角形；④等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長為5，其中正確結(jié)論的序號是A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．只有②③④找規(guī)律如圖，，過點作且，得；再過點作且，得；又過點作且，得依此法繼續(xù)作下去，得A． B． C． D．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．，；，；，（1）請用含有是正整數(shù)）的等式表示上述變規(guī)律：；．（2）求出的長．（3）若一個三角形的面積是，計算說明他是第幾個三角形？（4）求出的值．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后回答問題：（1）推算出的長和的值．（2）用含為正整數(shù)）的式子表示上述規(guī)律．（3）求的值．圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽，會徽的主體圖案是由圖乙中的一連串直角三角形演化而成的，其中．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題：，；，；，；（1）請用含有是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律，并計算出的長；（2）求出的值．如圖，正方形的邊長為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為A． B． C． D．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形（如圖，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形．再經(jīng)過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖，如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長”了2012次后形成的圖形中所有正方形的面積和是A．2010 B．2011 C．2012 D．2013勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊含著豐富的科學(xué)知識和人文價值．如圖所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為，，第個正方形和第個直角三角形的面積之和為．設(shè)第一個正方形的邊長為1．請解答下列問題：（1）；（2）通過探究，用含的代數(shù)式表示，則．如下列各圖，中，，分別以、、為邊向外作半圓、正三角形、等腰直角三角形等，面積分別為、、．（1）在圖1中，、、有什么關(guān)系？寫出關(guān)系式：．（2）探索圖2、圖3、圖4中、、是否有同樣的規(guī)律？選一個作出證明．（3）在圖4中，若，，求．如果正整數(shù)、、滿足等式，那么正整數(shù)、、叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為A．47 B．62 C．79 D．98觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；，根據(jù)以上規(guī)律的第⑦組勾股數(shù)是A．14、48、49 B．16、12、20 C．16、63、65 D．16、30、34能夠構(gòu)成直角三角形三邊長的三個整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，下列勾股數(shù)：3，4，55，12，137，24，25則下列組合中符合以上規(guī)律的一組數(shù)是A．9，12，15 B．6，8，10 C．9，40，41 D．12，35，37觀察下列一組數(shù)：列舉：3、4、5，猜想：；列舉：5、12、13，猜想：；列舉：7、24、25，猜想：；列舉：13、、，猜想：；請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識求得，．在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，老師設(shè)計如下數(shù)表：2345646810（1）觀察表格，根據(jù)規(guī)律在表中填空．（2）用含自然數(shù)的代數(shù)式表示、、，則，，．（3）猜想：以，，為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論．新定義定義：中，一個內(nèi)角的度數(shù)為，另一個內(nèi)角的度數(shù)為，若滿足，則稱這個三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．如圖，在中，，，，是上的一個動點，連接，若是“準(zhǔn)直角三角形”，則的長是A． B． C． D．有公共邊的兩個直角三角形，稱為“雙生直角三角形”．下列給定的數(shù)組中，不能構(gòu)成“雙生直角三角形”邊長的是A．3，4，5，12，13 B．，4，，3，5 C．7，15，20，24，25 D．5，6，8，10，若一個三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點在一個正方體上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個數(shù)為A．8 B．18 C．24 D．36如果一個三角形一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么這個三角形稱為“有趣三角形”，這條中線稱為“有趣中線”．如圖，已知中，，若是“有趣三角形”，為“有趣中線”，且，則．如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”．（1）如圖，在中，，，求證：是“美麗三角形”；（2）在中，，，若是“美麗三角形”，求的長．我們把邊長與面積都是整數(shù)的三角形稱“整數(shù)三角形”，例如邊長為3，4，5的三角形因為其面積等于6，所以它是一個“整數(shù)三角形”如圖（1），小明在研究時發(fā)現(xiàn)，直角三角形中存在大量的“整數(shù)三角形”；小穎在研究時發(fā)現(xiàn)，等腰三角形中也存在大量的”整數(shù)三角形”，（1）如圖（2），已知中，，，，是一個”整數(shù)三角形”嗎？請說明理由；（2）請在下面分別畫出一個周長為24的直角“整數(shù)三角形”和一個周長小于32的等腰“整數(shù)三角形”，說明：在圖中標(biāo)注每條邊的長．（3）小明經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)非等腰的鈍角三角形中也存在“整數(shù)三角形”，請畫出一個非等腰的鈍角“整數(shù)三角形”，使其周長等于32，說明：畫出計算面積所需的三角形的高，并在圖上標(biāo)出高和邊長的數(shù)值．作圖題如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1．你在網(wǎng)格中畫出一個，要求：頂點都在格點（即小正方形的頂點）上；三邊長滿足，，，并求出該三角形的面積．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，每個小格的格點叫做“格點”，以格點為頂點分別按下列要求畫出三角形．①作出鈍角三角形，使它的面積為4（在圖①中畫出一個即可），并計算你所畫出三角形的三邊的長．②作出面積為10的正方形（在圖②中畫出一個即可）；③在數(shù)軸上求出表示的點．如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點按下列要求畫三角形．（1）使三角形的面積為3；（2）使三角形為等腰三角形且底邊長為2，腰長為；（3）使三角形為直角三角形且一條直角邊長為，斜邊長為5．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖①中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)．（2）在圖②中，畫一個三角形，使它們的三邊長分別是，，，并求出三角形的面積．問題背景．在中，，，，求這個三角形的面積，小輝同學(xué)在解答這道題時先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為，再在網(wǎng)格中畫出格點的三個頂點都在正方形的頂點處），如圖所示，這樣不需要求的高，而借用網(wǎng)格就能計算它的面積．（1）請直接寫出的面積；（2）我們把上述方法叫做構(gòu)圖法，若中，，，三邊的長分別為，，，請你在圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為中畫出相應(yīng)的．并求其面積．專題05勾股定理（重難點突破）分類討論直角三角形中，有兩邊的長分別為3和4，那么第三邊的長的平方為A．25 B．14 C．7 D．7或25【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)3和4為兩條直角邊長時，由勾股定理得：第三邊長的平方斜邊長的平方；②當(dāng)4為斜邊長時，第三邊長的平方；綜上所述：第三邊長的平方是7或25．故選：．在中，兩直角邊的長度分別為3和4，那么的周長為A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：在中，兩直角邊的長度分別為3和4，所以斜邊長，的周長，故選：．已知一個直角三角形的兩邊長為3，4，則它的另一邊長為A．5 B． C．5或 D．或7【解答】解：當(dāng)3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊；當(dāng)3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為，故選：．在中，、，則的長是A． B． C．5 D．5或【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)，為直角邊時，第三邊；②當(dāng)為直角邊，為斜邊時，第三邊．故選：．若一個直角三角形的兩條邊長分別為3和5，則第三條邊長為A．4 B．4或 C．5 D．4或5【解答】解：當(dāng)3和5都是直角邊時，第三邊長為：，當(dāng)5是斜邊長時，第三邊長為：，則第三條邊長為4或；故選：．如圖，方格中的點，稱為格點（格線的交點），以為一邊畫，其中是直角三角形的格點的個數(shù)為A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如圖所示：以為一邊畫，其中是直角三角形的格點共有4個，故選：．如圖，在方格中畫以為一邊的，要求點也在格點上，這樣的點一共可以畫出A．4個 B．5個 C．6個 D．8個【解答】解：當(dāng)是斜邊時，則第三個頂點所在的位置有：、，，四個；當(dāng)是直角邊，是直角頂點時，第三個頂點是點；當(dāng)是直角邊，是直角頂點時，第三個頂點是．因而共有6個滿足條件的頂點．故選：．如圖是的正方形網(wǎng)格，點，均在格點上．如果點也在此正方形網(wǎng)格的格點上，且，則滿足條件的點共有A．3個 B．4個 C．6個 D．8個【解答】解：由勾股定理得，以的中點為圓心，以為半徑作圓與正方形網(wǎng)格交于6個格點，如圖所示，以6個格點為，由圓周角定理可知，，則滿足條件的點共有6個，故選：．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點，，，中任取三點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：理由是：連接、、、、、，設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理得：，，，，，，，，，、、是直角三角形，共3個直角三角形，故選：．折疊問題已知，如圖長方形中，，，將此長方形折疊，使點與點重合，折痕為，則的面積為A． B． C． D．【解答】解：將此長方形折疊，使點與點重合，．．，根據(jù)勾股定理可知．解得．的面積為．故選．如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為．【解答】解：易證，，設(shè)，則，在中，，解之得：，，．故答案為：10如圖將矩形沿直線折疊，頂點恰好落在邊上處，已知，，則．【解答】解：由折疊的性質(zhì)知：，；在中，，，由勾股定理可得：，若設(shè)，則，；在中，由勾股定理可得：，解得，故．故答案為：6如圖所示，折疊長方形的一邊，使點落在邊的點處，已知，，則的長為．【解答】解：，關(guān)于對稱，所以和全等，，，設(shè)，則．，在中，，．在中，由勾股定理得：，即：，解得．的長為．長方形紙片中，，，按如圖方式折疊，使點與點重合，折痕為，求的長．【解答】解：設(shè)，則，，中，，即．．如圖，已知長方形中，，在邊上取一點，將折疊使點恰好落在邊上的點，求的長．【解答】解：四邊形是矩形，，，根據(jù)題意得：，，，，設(shè)，則，在中由勾股定理得：，即，，，在中由勾股定理可得：，即，，，即．如圖，沿折痕疊矩形的一邊，使點落在邊上的點處，若，且的面積為24，求的長．【解答】解：，，．．．設(shè)，則．根據(jù)勾股定理，得即，．即．如圖，在長方形一邊上取一點，沿把折疊，使點落在邊的點處，已知，，求的長．【解答】解：根據(jù)題意得：，，，，設(shè)，則，在中由勾股定理得：，即，，，在中由勾股定理可得：，即，，，即．如圖，長方形沿折疊，使點落在邊上的點處，若，，求的長度．【解答】解：是通過折疊得到，，，，在中，利用勾股定理可得，，設(shè)，則在中，解得：．答：的長為．多結(jié)論如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，的三個頂點都在小正方形的格點上，小明在觀察探究時發(fā)現(xiàn)：①的形狀是等腰三角形；②的周長是；③點到邊的距離是．你認(rèn)為小明觀察的結(jié)論正確的序號有A．①②③ B．①② C．①③ D．①【解答】解：由勾股定理得：，，，，的形狀是等腰三角形，①正確；的周長是，②錯誤；設(shè)到的距離是，由三角形面積公式得：，，，③正確；故選：．如圖，在中，，，平分，交于點．為上一點，且，，連接．過點作，垂足為點，則下列結(jié)論正確的有①；②；③；④的面積為．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①在中，，，平分，，，在中，，故①正確；②，，，在中，，故②錯誤；③，，，，即，解得．故，故③錯誤；④的面積為，故④正確．故選：．如圖，分別以等腰的邊、為直徑畫半圓，以邊為直徑畫圓．則：①；②；③；④．正確的結(jié)論有A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④【解答】解：分別以等腰的邊、為直徑畫半圓，以邊為直徑畫圓，，，設(shè)，則，，①，，，，故此選項正確；②，，，故此選項錯誤；③，，，，故此選項錯誤；④，，，，故此選項正確．故選：．已知，，是直角三角形的三邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說法中正確的結(jié)論的個數(shù)是①，，能組成三角形；②，，能組成直角三角形；③，，能組成一個三角形；④，，能組成直角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①，，又，，，即本項說法正確；②因為，（直角三角形面積兩直角邊乘積的一半斜邊和斜邊上的高乘積的一半），，所以本項說法正確；③，根據(jù)兩邊之和得大于第三邊，故本項說法錯誤；④因為，所以本項說法正確．所以說法正確的有3個．故選：．下列說法：①已知直角三角形的面積為4，兩直角邊的比為，則斜邊長為；②直角三角形的最大邊長為，最短邊長為1，則另一邊長為；③在中，若，則為直角三角形；④等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長為5，其中正確結(jié)論的序號是A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．只有②③④【解答】解：①已知直角三角形的面積為4，兩直角邊的比為，設(shè)兩直角邊的長度分別為，，，兩直角邊分別為2、4，斜邊為，所以選項錯誤；②直角三角形的最大邊長為，最短邊長為1，根據(jù)勾股定理得第三邊為，故選項正確；③在中，若，，，，故選項正確；④等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，底邊，腰長，然后即可判斷是否故選項正確．故選：．找規(guī)律如圖，，過點作且，得；再過點作且，得；又過點作且，得依此法繼續(xù)作下去，得A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，．故選：．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．，；，；，（1）請用含有是正整數(shù)）的等式表示上述變規(guī)律：；．（2）求出的長．（3）若一個三角形的面積是，計算說明他是第幾個三角形？（4）求出的值．【解答】解：（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：；；（2），；（3）若一個三角形的面積是，根據(jù)：，，說明他是第20個三角形，（4），，，，．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后回答問題：（1）推算出的長和的值．（2）用含為正整數(shù)）的式子表示上述規(guī)律．（3）求的值．【解答】解：（1），，，，，；，，，，；（2）由（1）可知，，；（3）．圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽，會徽的主體圖案是由圖乙中的一連串直角三角形演化而成的，其中．細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題：，；，；，；（1）請用含有是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律，并計算出的長；（2）求出的值．【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理，，，，，，．；；；；；；（2）．如圖，正方形的邊長為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為A． B． C． D．【解答】解：在圖中標(biāo)上字母，如圖所示．正方形的邊長為2，為等腰直角三角形，，，．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，．當(dāng)時，，故選：．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形（如圖，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形．再經(jīng)過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖，如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長”了2012次后形成的圖形中所有正方形的面積和是A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【解答】解：設(shè)直角三角形的是三條邊分別是，，．根據(jù)勾股定理，得，即正方形的面積正方形的面積正方形的面積．推而廣之，“生長”了2012次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．故選．勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊含著豐富的科學(xué)知識和人文價值．如圖所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為，，第個正方形和第個直角三角形的面積之和為．設(shè)第一個正方形的邊長為1．請解答下列問題：（1）；（2）通過探究，用含的代數(shù)式表示，則．【解答】解：（1）第一個正方形的邊長為1，正方形的面積為1，又直角三角形一個角為，三角形的一條直角邊為，另一條直角邊就是，三角形的面積為，；（2）第二個正方形的邊長為，它的面積就是，也就是第一個正方形面積的，同理，第二個三角形的面積也是第一個三角形的面積的，，依此類推，，即，為整數(shù)）．如下列各圖，中，，分別以、、為邊向外作半圓、正三角形、等腰直角三角形等，面積分別為、、．（1）在圖1中，、、有什么關(guān)系？寫出關(guān)系式：．（2）探索圖2、圖3、圖4中、、是否有同樣的規(guī)律？選一個作出證明．（3）在圖4中，若，，求．【解答】解：（1），，，根據(jù)勾股定理可知，；（2）圖2、圖3、圖4中、、有同樣的規(guī)律：．如圖3，，，，根據(jù)勾股定理可知，；（3）如圖4，三個三角形都是正三角形，，，，．故答案為：．如果正整數(shù)、、滿足等式，那么正整數(shù)、、叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為A．47 B．62 C．79 D．98【解答】解：由題可得，，，，，，，當(dāng)時，，，，，故選：．觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；，根據(jù)以上規(guī)律的第⑦組勾股數(shù)是A．14、48、49 B．16、12、20 C．16、63、65 D．16、30、34【解答】解：根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得：這組數(shù)中的第一個數(shù)是，第二個是：，第三個數(shù)是：，故可得第⑦組勾股數(shù)是16，63，故選：．能夠構(gòu)成直角三角形三邊長的三個整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，下列勾股數(shù)：3，4，55，12，137，24，25則下列組合中符合以上規(guī)律的一組數(shù)是A．9，12，15 B．6，8，10 C．9，40，41 D．12，35，37【解答】解：各組數(shù)的共同點：①以上各組數(shù)均滿足；②最小的數(shù)（a）是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；③最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和；，，符合題干規(guī)律．故選：．觀察下列一組數(shù)：列舉：3、4、5，猜想：；列舉：5、12、13，猜想：；列舉：7、24、25，猜想：；列舉：13、、，猜想：；請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識求得，．【解答】解：在中，，；在中，，；則在13、、中，，．在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，老師設(shè)計如下數(shù)表：2345646810（1）觀察表格，根據(jù)規(guī)律在表中填空．（2）用含自然數(shù)的代數(shù)式表示、、，則，，．（3）猜想：以，，為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論．【解答】解：（1）由圖表可以得出：時，，，，時，，，，時，，，，時，，，，時，，，；（2），，；（3）以，，為邊的三角形是直角三角形．理由如下：，以，，為邊的三角形是直角三角形．故答案為，12，；，，．新定義定義：中，一個內(nèi)角的度數(shù)為，另一個內(nèi)角的度數(shù)為，若滿足，則稱這個三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．如圖，在中，，，，是上的一個動點，連接，若是“準(zhǔn)直角三角形”，則的長是A． B． C． D．【解答】解：作于．設(shè)，．①設(shè)，，當(dāng)時，，，，，，（舍去）；②設(shè)，，當(dāng)時，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，在中，則有，解得．．故選：．有公共邊的兩個直角三角形，稱為“雙生直角三角形”．下列給定的數(shù)組中，不能構(gòu)成“雙生直角三角形”邊長的是A．3，4，5，12，13 B．，4，，3，5 C．7，15，20，24，25 D．5，6，8，10，【解答】解：．，，能組成兩個直角三角形，公共邊的長度是5，即是“雙生直角三角形”，故本選項不符合題意；．，，，，不能組成兩個直角三角形，即不是“雙生直角三角形”，故本選項符合題意；．，，能組成兩個直角三角形，公共邊的長度是25，即是“雙生直角三角形”，故本選項不符合題意；．，，能組成兩個直角三角形，公共邊的長度是10，即是“雙生直角三角形”，故本選項不符合題意；故選：．若一個三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點在一個正方體上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個數(shù)為A．8 B．18 C．24 D．36【解答】解：不妨設(shè)立方體的邊長為，則在立方體的八個頂點之間線段長度僅有三種可能：邊長為，面對角線為，體對角線為．立方體有四條體對角線，先考慮其中的一條如，第三個頂點可以是、、、、、中之一，有6個不規(guī)則三角形．因此所求的不規(guī)則三角形的個數(shù)是．故選：．如果一個三角形一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么這個三角形稱為“有趣三角形”，這條中線稱為“有趣中線”．如圖，已知中，，若是“有趣三角形”，為“有趣中線”，且，則．【解答】解：由題意可得：，則，故在中，，在中，．故答案為：．如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”．（1）如圖，在中，，，求證：是“美麗三角形”；（2）在中，，，若是“美麗三角形”，求的長．【解答】（1）證明：過點作于，，，，由勾股定理得，，，即是“美麗三角形”；（2）解：當(dāng)邊上的中線等于時，如圖2，，當(dāng)邊上的中線等于時，，即，解得．綜上所述，的長是6或8．我們把邊長與面積都是整數(shù)的三角形稱“整數(shù)三角形”，例如邊長為3，4，5的三角形因為其面積等于6，所以它是一個“整數(shù)三角形”如圖（1），小明在研究時發(fā)現(xiàn)，直角三角形中存在大量的“整數(shù)三角形”；小穎在研究時發(fā)現(xiàn)，等腰三角形中也存在大量的”整數(shù)三角形”，（1）如圖（2），已知中，，，，是一個”整數(shù)三