專題08旋轉(zhuǎn)模型(原卷版+解析)

專題08旋轉(zhuǎn)模型基本模型：例題精講例1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)①請(qǐng)說(shuō)明△ADC≌△CEB的理由；②請(qǐng)說(shuō)明DE=AD+BE的理由；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線上寫出這個(gè)等量關(guān)系：（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線上寫出這個(gè)等量關(guān)系：．例2．【初步探索】（1）如圖1：在四邊中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是____________________；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，已知在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，給出證明過(guò)程．例3．一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺、做了一個(gè)探究活動(dòng)，將的直角頂點(diǎn)放在的斜邊的中點(diǎn)處，設(shè)．（1）如圖1，兩個(gè)三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______．（2）將圖1中的繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時(shí)重疊部分的面積為______．（3）如果將繼續(xù)繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋到如圖3所示，猜想此時(shí)重疊部分的面積為多少？并加以驗(yàn)證．例4．【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，∠APB＝30°，則PA2+PB2＝PC2．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明．【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面積為5.5，求PC．課后訓(xùn)練1．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為___．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，試問(wèn)DE，AD，BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明．3．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC與△ADE是等邊三角形，且點(diǎn)B、D，E在同一直線上，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．拓展探究：如圖②，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，，且點(diǎn)B，D，E在同一直線上，于F，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段AF，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系．4．綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．5．如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC（1）試探索線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)N運(yùn)動(dòng)到DC邊的中點(diǎn)處時(shí)，求BM的長(zhǎng)．7．如圖所示，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，BE與AD交于點(diǎn)O．（1）求證：AD＝BE（2）如圖2，若AD與CE交于點(diǎn)N，AC與BE交于點(diǎn)M，連接MN，求證：△CMN為等邊三角形．（3）在（2）的條件下，如圖3，BG⊥AD于點(diǎn)G，EH⊥AD于點(diǎn)H，當(dāng)AG＝OH時(shí)，試探究線段BD、MN、AM之間的關(guān)系．8．已知四邊形ABCD是正方形，一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時(shí)，求證：BM+DN=MN(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系(3)如圖3，直線AN與BC交于P點(diǎn)，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長(zhǎng)．專題08旋轉(zhuǎn)模型基本模型：例題精講例1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)①請(qǐng)說(shuō)明△ADC≌△CEB的理由；②請(qǐng)說(shuō)明DE=AD+BE的理由；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線上寫出這個(gè)等量關(guān)系：（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接在橫線上寫出這個(gè)等量關(guān)系：．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）DE＝AD-BE；（3）DE＝BE-AD【詳解】證明：⑴①∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB，②∵△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+EB＝DE，（2）結(jié)論：DE＝AD-BE，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD＝BE，∴DE＝EC-CD＝AD-EB，（3）結(jié)論：DE＝BE-AD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵BE⊥MN，AD⊥MN，∴∠ADC＝∠DEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝EC，CD＝BE，∴DE＝CD-EC＝EB-AD．例2．【初步探索】（1）如圖1：在四邊中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是____________________；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，已知在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，給出證明過(guò)程．【答案】（1）∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）∠EAF＝∠BAE＋∠DAF；（3）∠EAF＝180°?∠DAB．【詳解】解：（1）∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵，∴，∵DG＝BE，，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵，DG＝BE，∴，且AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．故答案為：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF；（3）∠EAF＝180°?∠DAB．證明：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE＝∠FAG，∵∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠BAE）＝360°，∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠DAG）＝360°，即2∠FAE＋∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°?∠DAB．例3．一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺、做了一個(gè)探究活動(dòng)，將的直角頂點(diǎn)放在的斜邊的中點(diǎn)處，設(shè)．（1）如圖1，兩個(gè)三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______．（2）將圖1中的繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時(shí)重疊部分的面積為______．（3）如果將繼續(xù)繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋到如圖3所示，猜想此時(shí)重疊部分的面積為多少？并加以驗(yàn)證．【答案】（1），（2），（3），驗(yàn)證見解析．【詳解】解：（1）如圖（1）中，∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴=，∵，∴，∴重疊部分的面積為：（2）如圖（2）中，由題意可得，重疊部分是正方形，∴邊長(zhǎng)為：，∴面積為：（3）如圖（4），過(guò)點(diǎn)分別作，的垂線、，垂足分別為、，∵是斜邊的中點(diǎn)，，∴，，∴，∵，∵，，∴，在和中，，∴，∴陰影部分的面積等于正方形的面積，∵正方形的面積是，∴陰影部分的面積是．例4．【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，∠APB＝30°，則PA2+PB2＝PC2．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明．【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面積為5.5，求PC．【答案】（1）【問(wèn)題背景】見解析；（2）【遷移應(yīng)用】【詳解】（1）【問(wèn)題背景】將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAC，連接PD，如圖所示由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=PA，CD=PB，∠PAD=60゜，∠ADC=∠APB=30゜∵AD=PA，∠PAD=60゜，∴△PAD是等邊三角形，∴PD=PA，∠PDA=60゜∴∠PDC=∠PDA+∠ADC=60゜+30゜=90゜在Rt△PDC中，由勾股定理得：，∴（2）【遷移應(yīng)用】過(guò)B作BM⊥PB交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，如圖所示則∠PBM=∠ABC=90゜，∴∠PBC+∠CBM=∠CBM+∠MBA，∴∠PBC=∠MBA∵∠PBM=90゜，∠BPC=45゜，∴∠BMP=∠BPC=45゜，∴PB=MB在△PBC和△MBA中，，∴△PBC≌△MBA(SAS)∴∠BMA=∠BPC=45゜，PC=AM，∴∠AMP=∠BMP+∠BMA=45゜+45゜=90゜∵，∴課后訓(xùn)練1．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為___．【答案】5【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，四邊形為正方形，．又，．．．在和中，，，，，，，，，故答案為：5．2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，試問(wèn)DE，AD，BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系，不需要證明．【答案】(1)①見解析，②見解析；(2)見解析；(3)，理由見解析【解析】(1)解：①，，，，，，在和中，，；②，，，；(2)解：證明：，，，，在和中，，；，，；(3)解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，，，所滿足的等量關(guān)系是：．理由如下：，，，，在和中，，，，，．3．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC與△ADE是等邊三角形，且點(diǎn)B、D，E在同一直線上，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系．拓展探究：如圖②，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，，且點(diǎn)B，D，E在同一直線上，于F，連接CE，求的度數(shù)，并確定線段AF，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE，理由見解析；拓展探究：∠BEC＝90°，BF＝CE＋AF，理由見解析【詳解】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：∵△ACB和△ADE均為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵點(diǎn)B，D，E在同一直線上，∴∠ADB＝180－60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120－60＝60°，綜上，可得∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE．拓展探究：∵△ACB和△DAE均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADB＝180－45＝135°，∴∠AEC＝135°，∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝135－45＝90°；∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AF⊥DE，∴AF＝DF＝EF，∴DE＝DF＋EF＝2AF，∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF．4．綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長(zhǎng)線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點(diǎn)M'、C、N三點(diǎn)共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M(jìn)'N=CN-CM'，

∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．5．如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC（1）試探索線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）BD=DC+CE，見解析；（2）BD2+CD2=2AD2，見解析【詳解】解：（1）∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，∴BC=CD+BD=CD+CE；故答案為：BC=CD+CE．（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：連接CE，∵∠DAE=90°，AD=AE，∴DE=AD，即DE2=2AD2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，∴CD2+CE2=DE2，∴CD2+BD2=2AD2．6．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)N運(yùn)動(dòng)到DC邊的中點(diǎn)處時(shí)，求BM的長(zhǎng)．【答案】（1）BM+DN＝MN，見解析；（2）DN﹣BM＝MN，見解析；（3）【詳解】解：（1）BM+DN＝MN．理由如下：如圖2，把△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，∴∠ABE＝∠ADN＝90°，AE＝AN，BE＝DN，∴∠ABE+∠ABC＝180°，∴點(diǎn)E，點(diǎn)B，點(diǎn)C三點(diǎn)共線，∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，又∵∠NAM＝45°，在△AEM與△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵M(jìn)E＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．理由如下：在線段DN上截取DQ＝BM，如圖3在△ADQ與△ABM