第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3大考點(diǎn)8種解題方法）（原卷版）

第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3大考點(diǎn)8種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問(wèn)題有意義．二、二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點(diǎn)（0，0），然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn)．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn)．④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可．連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來(lái)．畫拋物線y=ax2（a≠0）的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右或向左平移||個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．三、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱軸直線x=﹣，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x=﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x=﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左（右）平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小．②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱：左同右異）③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．五、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=﹣成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x=．六、二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=時(shí)，y=．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=時(shí)，y=．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．八、二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；②頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）；③交點(diǎn)式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一、二次函數(shù)的定義1.（2021?龍灣區(qū)模擬）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．2.（2020秋?合肥期末）若是二次函數(shù)，則．3.（2020秋?南丹縣期中）若是二次函數(shù)，且開口向上，則的值為．二次函數(shù)的圖象4.（2020秋?臨沭縣期末）二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是A． B． C． D．5.（2020秋?廬陽(yáng)區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．6.（2020秋?合川區(qū)校級(jí)期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．三、二次函數(shù)的性質(zhì)7.（2020秋?靈山縣期末）拋物線的對(duì)稱軸是A． B． C． D．8.（2020秋?臥龍區(qū)期末）已知拋物線的頂點(diǎn)在軸上，則的值為A．2 B．4 C． D．9.（2021?河北模擬）對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是A．該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在軸左側(cè) B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 C．函數(shù)圖象開口朝下 D．該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)位于軸負(fù)半軸10.（2020秋?番禺區(qū)期末）拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系11、（2021?寧波模擬）小甬從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12.（2021?曹縣一模）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：（1），（2），（3）為任意實(shí)數(shù)），其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)13.（2021春?龍華區(qū)月考）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)14.（2021?婁星區(qū)模擬）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)五、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征15.（2021?鄭州模擬）若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．16.（2021?于洪區(qū)一模）若點(diǎn)，，在拋物線的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．17.（2021?南平模擬）二次函數(shù)、是常數(shù)）的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：023下列判斷正確的是A． B． C． D．二次函數(shù)的最值18.（2021?道外區(qū)一模）二次函數(shù)的最小值為2，則的值為．19.（2020秋?中站區(qū)期末）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，則的最大值是．20.（2020秋?覃塘區(qū)期末）二次函數(shù)的最大值為．21.（2020秋?番禺區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值是，最小值是，則．22.（2020秋?瑤海區(qū)期末）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，，求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)．23.（2020秋?越城區(qū)期末）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是，且過(guò)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）判斷該二次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并解釋你的判斷．八、二次函數(shù)的三種形式24.（2021?賀蘭縣校級(jí)一模）用配方法將二次函數(shù)化成的形式是．25.（2021?天河區(qū)校級(jí)二模）將二次函數(shù)化成的形式應(yīng)為鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知拋物線，當(dāng)，時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)（）A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限 D．第一，二，三，四象限3．（2021·儀征市實(shí)驗(yàn)初中九年級(jí)月考）把拋物線向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線是（）A． B．C． D．4．（2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級(jí)二模）直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．設(shè)的面積為，則的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·山東青島市·九年級(jí)期末）將函數(shù)y＝（x+1）2﹣4的圖象先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，則得到的函數(shù)解析式為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣8 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x+3）2﹣86．（2021·廣州市第五中學(xué)九年級(jí)期中）點(diǎn)，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．（2021·福建省福州第一中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）拋物線（其中，是常數(shù)）過(guò)點(diǎn)A(2，6)，且物線的對(duì)稱軸與線段有交點(diǎn)，則的值不可能是（）A． B． C． D．148．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)沿向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形的面積最小值為（）A． B． C． D．9．（2021·山東濟(jì)南市·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題10．（2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校九年級(jí)二模）如果將拋物線y＝x2先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，那么所得新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是___．11．（2021·陜西渭南市·九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+bx，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，則b的取值范圍為______．12．（2021·廣州市黃埔華南師范大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是______．13．（2021·珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）已知點(diǎn)A（﹣2，y1），B（5，y2）為函數(shù)y＝x2＋a圖象上的兩點(diǎn)，比較：y1_____y2．14．（2021·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)九年級(jí)期末）二次函數(shù)y＝2x2+4x+1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____．當(dāng)x=1時(shí)，y=_____．15．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則關(guān)于的方程的解是_______．16．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級(jí)月考）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，且，與軸的正半軸的交點(diǎn)在的下方，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有_______．（填序號(hào)）17．（2021·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，點(diǎn)E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），以CE為邊向外作矩形CEFG，且CG＝CE，連接BF，點(diǎn)O是線段BF的中點(diǎn)，連接OE，則OE的最小值為_____．18．（2021·連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，對(duì)稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若點(diǎn)A(3，)、點(diǎn)B()、點(diǎn)C()在該函數(shù)圖象上，則：⑤若方程的兩根為，且，則其中正確的結(jié)論有__________．(只填序號(hào))19．（2021·珠海市紫荊中學(xué)九年級(jí)三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），，點(diǎn)在射線上，且，與相交于點(diǎn)，連接、、．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④的面積的最大值是；其中正確的結(jié)論是______．三、解答題20．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣x+1，當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，求函數(shù)y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，則y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；當(dāng)x＝1時(shí)，則y＝2×12﹣1+1＝2；所以函數(shù)y的最小值為2，最大值為4．彤彤的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．21．（2021·浙江衢州市·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A(2，3)，交y軸于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）若拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）已知點(diǎn)(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上且0＜m＜n＜1，試比較y1和y2的大