江蘇省鹽城市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次模擬考試試題含解析

PAGE26-江蘇省鹽城市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次模擬考試試題（含解析）第I卷（必做題，共160分）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）1.已知集合M＝，N＝，則M與N的并集MN＝_______.【答案】(﹣1，2)【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合M，再利用并集運(yùn)算求解.【詳解】∵集合M＝，∴M＝(0，2)，又∵N＝，∴MN＝(﹣1，2).故答案為：(﹣1，2)【點(diǎn)睛】本題主要考查集合并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)復(fù)數(shù)(a＞0)，若，則正實(shí)數(shù)a的值為_______.【答案】1【解析】【分析】依據(jù)，得到，再利用求解.【詳解】∵，∴，又∵a＞0，∴a＝1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.某電視臺(tái)對(duì)一節(jié)目的寵愛程度進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)調(diào)查，共有12000人參與調(diào)查，寵愛、一般、不寵愛的人分別為6000人、5000人、1000人，為進(jìn)一步了解被調(diào)查人的詳細(xì)想法，現(xiàn)利用分層抽樣的方法抽取60人，則抽取不寵愛的人數(shù)為_______.【答案】5【解析】【分析】依據(jù)不寵愛的人在總體中的比例求解.【詳解】抽取不寵愛的人數(shù)為：.故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.某校志愿者小組有2名男生和1名女生，現(xiàn)從中任選2人參與活動(dòng)，則女生入選的概率是_______.【答案】【解析】【分析】先列出從中任選2人參與活動(dòng)的種數(shù)，再找出女生入選的狀況種數(shù)，代入公式求解.【詳解】2名男生用a，b表示1名女生用A表示，則從中任選2人參與活動(dòng)有共3種，其中女生入選的狀況有2種，故女生入選的概率是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最終輸出的S的值為________．【答案】8【解析】分析：先推斷是否成立，若成立，再計(jì)算，若不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果.詳解：由偽代碼可得，因?yàn)?，所以結(jié)束循環(huán)，輸出點(diǎn)睛：本題考查偽代碼，考查考生的讀圖實(shí)力，難度較小.6.若雙曲線(a＞0，b＞0)的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)離心率為2，得到，從而得到兩條漸近線方程即可.【詳解】∵，∴，故，所以，∴兩條漸近線方程為：，∴兩條漸近線所成的銳角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)三棱錐P—ABC的體積為V1，點(diǎn)M，N分別滿足，，記三棱錐A—BMN的體積為V2，則＝_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，，得到S△BMN與S△PBC的關(guān)系，再由點(diǎn)A到平面BMN與點(diǎn)A到平面PBC的距離相等求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以S△BMN＝S△PBC，又因?yàn)辄c(diǎn)A到平面BMN與點(diǎn)A到平面PBC的距離相等，故＝.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的體積，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則cosA＝_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，再由，然后利用余弦定理求解.【詳解】∵，∴，把代入得，，∴.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定理，余弦定理，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.9.已知數(shù)列、滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和＝_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)是等差數(shù)列，且，，利用“”法，求得，再由，求得，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，且，，∴，解得，∴，∴，故是的前n項(xiàng)和.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.10.若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小正值為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，得到求解.【詳解】因?yàn)槿艉瘮?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，kZ，則，kZ，所以的最小正值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.11.若存在實(shí)數(shù)x(0，4)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】(6，)【解析】【分析】依據(jù)存在x(0，4)，使不等式成立，轉(zhuǎn)化為存在x(0，4)，使成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.【詳解】∵x(0，4)，使不等式成立，存在x(0，4)，使成立∴，令，則，當(dāng)x(0，2)，，單調(diào)遞減，當(dāng)x(2，4)，，單調(diào)遞增，故，所以，故.故答案為：(6，)【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與不等式存在性問題，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12.在銳角△ABC中，已知AH是BC邊上的高，且滿足，則的取值范圍是_______.【答案】(，1)【解析】【分析】依據(jù)AH是BC邊上的高，得到AH⊥BC，再依據(jù)，得到CH＝BC，在Rt△ACH中，由余弦函數(shù)定義得到，在△ABC中，由余弦定理得到，兩者聯(lián)立，再依據(jù)△ABC是銳角三角形，有求解.最終取交集.【詳解】如圖所示：已知AH是BC邊上的高所以AH⊥BC，又因?yàn)?，所以CH＝BC，在Rt△ACH中，，在△ABC中，，所以，化簡(jiǎn)得，得，∵△ABC銳角三角形，∴，得，∴，即的取值范圍是(，1).故答案為：(，1)【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量與解三角形，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.13.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)都有零點(diǎn)，且它們的零點(diǎn)完全相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】(﹣2，0]【解析】【分析】設(shè)既是的零點(diǎn)，也是的零點(diǎn)，即，，從而，得到b＝0，得到，然后依據(jù)與函數(shù)都有零點(diǎn)，且零點(diǎn)完全相同求解.【詳解】假設(shè)既是的零點(diǎn)，也是的零點(diǎn)，則，，即，則b＝0，∴，令，解得，，∴，解得或，①當(dāng)a＝0時(shí)，符合題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，方程無解，即方程無解，∴，解得，綜上所述，﹣2＜a≤0.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.14.若圓C1：與圓C2：相交，點(diǎn)P為其在x軸下方的交點(diǎn)，且mn＝﹣8，則點(diǎn)P到直線x＋y﹣1＝0距離的最大值為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)圓C1：與圓C2：的特征，點(diǎn)P為其在x軸下方的交點(diǎn)，則，代入圓C1依據(jù)mn＝﹣8化簡(jiǎn)得到，然后利用點(diǎn)P的軌跡求解.【詳解】由題意可知，代入圓C1得，∵mn＝﹣8，∴，所以點(diǎn)P在圓上，其中，求得圓心O到直線x＋y﹣1＝0的距離是，故點(diǎn)P到直線x＋y﹣1＝0的距離的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.若＝(，)，＝(，)，設(shè).（1）求函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，求sinB的值.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為[，π]（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，利用平面對(duì)量的數(shù)量積和三角恒等變換得到，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）由（1）知，當(dāng)x[0，π]，對(duì)稱軸方程為，由，得到，再由，利用正弦定理得到，從而有求解.【詳解】（1）∵＝(，)，＝(，)，∴，，，，.由，kZ，解得，kZ，又∵x[0，π]，∴解得，∴函數(shù)在[0，π]的單調(diào)減區(qū)間為[，π]，（2）由（1）知，其對(duì)稱軸為，kZ，當(dāng)x[0，π]，對(duì)稱軸方程為，∵，，即，∴，，∴，，∴，即，∵，且B為銳角，sinB＞0，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量與三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.16.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，設(shè)O為AC1與A1C的交點(diǎn)，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn).求證：（1）OP∥平面ABB1A1；（2）平面ACC1⊥平面OCP.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)平面ACC1A1是平行四邊形，則O為A1C的中點(diǎn)，又P為BC的中點(diǎn)，依據(jù)三角形中位線得到OP∥A1B，再利用線面平行的判定定理證明.（2）依據(jù)AA1＝AC，得到平面ACC1A1是菱形，從而AC1⊥OC，再由A1B⊥AC1，OP∥A1B，得到AC1⊥OP，由線面垂直的判定定理得到AC1⊥平面OCP，然后用面面垂直的判定定理證明.【詳解】（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四邊形，∴O為A1C的中點(diǎn)，又∵P為BC的中點(diǎn)，∴OP∥A1B，∵A1B平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，∴OP∥平面ABB1A1，（2）∵平面ACC1A1是平行四邊形，且AA1＝AC，∴平面ACC1A1是菱形，∴AC1⊥A1C，即AC1⊥OC，∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，∴AC1⊥OP，又AC1⊥OC，OPOC＝O，∴AC1⊥平面OCP，∵AC1平面ACC1，∴平面ACC1⊥平面OCP.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的實(shí)力，屬于中檔題.17.如圖1是淋浴房示意圖，它的底座是由正方形截去一角得到，這一角是一個(gè)與正方形兩鄰邊相切的圓的圓?。ㄈ鐖D2）.現(xiàn)已知正方形的邊長(zhǎng)是1米，設(shè)該底座的面積為S平方米，周長(zhǎng)為l米（周長(zhǎng)是指圖2中實(shí)線部分），圓的半徑為r米.設(shè)計(jì)的志向要求是面積S盡可能大，周長(zhǎng)l盡可能小，但明顯S、l都是關(guān)于r的減函數(shù)，于是設(shè)，當(dāng)?shù)闹翟酱螅瑵M足度就越高.試問r為何值時(shí)，該淋浴房底座的滿足度最高？（解答時(shí)π以3代入運(yùn)算）【答案】當(dāng)時(shí)，該淋浴房底座的滿足度最高【解析】【分析】依據(jù)底座的面積與周長(zhǎng)的定義，分別用r表示，然后建立函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可.【詳解】，，所以，，，令，解得r(0，)(，1)＋0－遞增極大值遞減故時(shí)，取得最大值.答：當(dāng)時(shí)，該淋浴房底座的滿足度最高.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.18.如圖，A、B為橢圓C：短軸的上、下頂點(diǎn)，P為直線l：y＝2上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)M，連接PB交橢圓于點(diǎn)N，已知直線MA，MB的斜率之積恒為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN與x軸平行，求直線MN的方程；（3）求四邊形AMBN面積的最大值，并求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）四邊形AMBN面積的最大值為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意有A(0，1)，B(0，﹣1)，設(shè)M(x，y)，依據(jù)直線MA，MB的斜率之積恒為，即求解.（2）依據(jù)題意設(shè)M(m，n)，則N(﹣m，n)，，聯(lián)立求解，令求解.（3）設(shè)P(t，2)，t≠0，與橢圓聯(lián)立得，求得的坐標(biāo)，同理求得的坐標(biāo)，然后由S四邊形AMBN求解.【詳解】（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，設(shè)M(x，y)，則，因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)M(m，n)，則N(﹣m，n)，則，聯(lián)立解得，所以，故直線MN的方程為：；（3）設(shè)P(t，2)，t≠0，與橢圓聯(lián)立得解得或，，同理或所以S四邊形AMBN令，則S四邊形AMBN，，故在上遞減，故，即，即時(shí)，，即S四邊形AMBN的最大值為因此，四邊形AMBN面積的最大值為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系以及面積問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.19.已知數(shù)列滿足.（1）若數(shù)列的首項(xiàng)為，其中，且，，構(gòu)成公比小于0的等比數(shù)列，求的值；（2）若是公差為d(d＞0)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值；（3）若，，且數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)，令，再依據(jù)，，構(gòu)成公比小于0的等比數(shù)列，得到，聯(lián)立求解.（2）依據(jù)是公差為d(d＞0)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則由通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，得到，，再依據(jù)對(duì)隨意均成立，令聯(lián)立求解.（3）依據(jù)數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列單調(diào)遞減，則有，，所以時(shí)，，時(shí)，，兩者聯(lián)立求解.【詳解】（1）由題意知：，所以，解得：；（2）由題意知：，，所以對(duì)隨意均成立，其中d＞0，所以，解得，所以.此時(shí)，對(duì)隨意均成立，故；（3）由題意知：，，故時(shí)，，時(shí)，，則：，故，即n為奇數(shù)時(shí)，，又n為奇數(shù)時(shí)，，所以，即n為偶數(shù)時(shí)，，綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，還考查了特別與一般的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.20.設(shè)函數(shù)，，其中恒不為0.（1）設(shè)，求函數(shù)在x＝1處的切線方程；（2）若是函數(shù)與的公共極值點(diǎn)，求證：存在且唯一；（3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得在(0，)上恒成立？若存在，懇求出實(shí)數(shù)a，b滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在；a＝0，b≠0符合題意【解析】【分析】（1）依據(jù)，得到，求導(dǎo)，得到，，寫出切線方程.（2）依據(jù)是函數(shù)與的公共極值點(diǎn)，則有，解得，令，用導(dǎo)數(shù)法探討只有一個(gè)零點(diǎn)即可.（3）依據(jù)在上無零點(diǎn)，分當(dāng)a＝0，b≠0，，三種狀況探討求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，，，故在x＝1處的切線方程為：；（2），，由題意知，解得，令，x＞0，，時(shí)，；時(shí)，，故在遞減，遞增，又時(shí)，，故在(0，1)上無零點(diǎn)，，，故，又在遞增，因此，在(1，e)上存在唯一零點(diǎn)，∴存在且唯一；（3）由題意知：在上無零點(diǎn)當(dāng)a＝0時(shí)，則b≠0，，符合題意；又，則b(a＋b)＞0，故b≠0.當(dāng)a≠0時(shí)，要使在上無零點(diǎn)，明顯ab＞0在上恒成立，即在上恒成立，令，，，時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，，故，因此，時(shí)，，與題意不符，舍去；時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，，故，因此，時(shí)，，與題意不符，舍去；綜上，存在a＝0，b≠0符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸，分類探討的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.第II卷（附加題，共40分）【選做題】本題包括A，B，C三小題，請(qǐng)選定其中兩題作答，每小題10分共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.A.選修4—2：矩陣與變換21.直線l經(jīng)矩陣M＝(其中(0，))作用變換后得到直線l′：y＝2x，若直線l與l′垂直，求的值.【答案】【解析】【分析】在l上任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P經(jīng)矩陣M變換后得到點(diǎn)P′(x′，y′)，依據(jù)矩陣變換運(yùn)算得到x′，y′，代入直線l′：y＝2x，得到直線l方程，再由兩直線垂直求解.【詳解】在l上任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P經(jīng)矩陣M變換后得到點(diǎn)P′(x′，y′)故，又P′直線l′：y＝2x上，即y′＝2x′則即直線l：因?yàn)閘與l′垂直，故又，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣變換探討兩直線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.B.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng).【答案】【解析】【分析】消去參數(shù)t得到直線l的直角坐標(biāo)方程，依據(jù)得到曲線C的直角坐標(biāo)方程，再利用“r，d”法求弦長(zhǎng).【詳解】因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為，消去參數(shù)t得：直線l的直角坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為：，圓心為C(0，0)，半徑r＝，所以圓心C到直線l的距離所以直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.C.選修4—5：不等式選講23.若正數(shù)a，b，c滿足，求的最小值.【答案】【解析】【分析】依據(jù)正數(shù)a，b，c滿足，即有，再利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化為，用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，取等號(hào).所以最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.24.已知某高校綜合評(píng)價(jià)有兩步：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進(jìn)入其次步面試；若材料初審合格，則進(jìn)入其次步面試.只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄用資格，現(xiàn)有A，B，C三名學(xué)生報(bào)名參與該高校的綜合評(píng)價(jià)，假設(shè)A，B，C三位學(xué)生材料初審合格的概率分別是，，；面試合格的概率分別是，，.（1）求A，B兩位考生有且只有一位考生獲得錄用資格的概率；（2）記隨機(jī)變量X為A，B，C三位學(xué)生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄用資格的人數(shù)，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】（1）記“A，B兩位考生有且只有一位考生獲得錄用資格”為事務(wù)M，分別算出A，B考生獲得錄用資格的概率，再分兩類求解.（2）隨機(jī)變量X可能的取值