浙江省杭州市學軍中學2025屆高三數學下學期4月月考試題含解析

PAGE26-浙江省杭州市學軍中學2025屆高三數學下學期4月月考試題（含解析）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合A，再利用集合的基本運算求解.【詳解】因為集合，，所以故選：B【點睛】本題主要考查集合的基本運算，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.2.若復數滿意（其中i為虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】設依據復數滿意，得到，再利用復數相等求解.【詳解】設，.因為復數滿意，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查復數的運算及幾何意義，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.3.已知直線，，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先得出兩直線平行的充要條件，依據小范圍可推導出大范圍，可得到答案.【詳解】直線，，的充要條件是，當a=2時，化簡后發(fā)覺兩直線是重合的，故舍去，最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點睛】推斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤推斷命題p與命題q所表示的范圍，再依據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，推斷命題p與命題q的關系．4.的部分圖像大致為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先推斷函數的奇偶性，然后利用特別點的函數值的符號進行解除即可．【詳解】由題函數的定義域為，則是偶函數，解除C，解除B，D，

故選A．【點睛】本題考查函數圖象的推斷和識別，結合函數奇偶性和特別值的符號是否一樣是解決本題的關鍵．5.已知隨機變量有三個不同的取值，其分布列如下表，則的最大值為（）4PmA. B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分布列的性質求出m，然后求得期望的表達式，利用函數的導數求解最值.【詳解】因為，所以，所以，所以，令，解得，當時，，當時，，所以當，取得最大值為：.故選：D【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列以及導數與函數的最值，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.6.將函數的圖象沿著x軸向左平移個單位后得到函數的圖象，則下列直線方程可為的對稱軸的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡函數為，再利用圖象變換得到，然后驗證即可.【詳解】因為，則的圖象沿著x軸向左平移個單位后得到函數，因為，故為的一條對稱軸.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數的圖形變換以及三角函數的對稱性，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.7.已知在矩形中，，沿直線BD將△ABD折成，使得點在平面上射影在內（不含邊界），設二面角的大小為，直線,與平面中所成的角分別為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意畫出圖形，由兩種特別位置得到點A′在平面BCD上的射影的狀況，由線段的長度關系可得三個角的正弦的大小，則答案可求．詳解】如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴BA′⊥A′D，當A′點在底面上的射影O落在BC上時，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，可得DC⊥平面A′BC，則DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，設BA′=1，則BC=，∴A′C=1，說明O為BC的中點；當A′點在底面上的射影E落在BD上時，可知A′E⊥BD，設BA′=1，則，∴A′E=，BE=．要使點A′在平面BCD上的射影F在△BCD內（不含邊界），則點A′的射影F落在線段OE上（不含端點）．可知∠A′EF為二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直線A′D與平面BCD所成的角為∠A′DF=α，直線A′C與平面BCD所成的角為∠A′CF=β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且，而A′C的最小值為1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，則α＜β＜θ．故選D．【點睛】本題考查二面角的平面角，考查空間想象實力和思維實力，考查了正弦函數單調性的應用，是中檔題．8.已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，實半軸長為半徑的圓與雙曲線的某一條漸近線交于兩點，若（其中為原點），則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設雙曲線的一條漸近線方程為yx，H為PQ的中點，可得FH⊥PQ，由，可知H為OQ的三等分點，用兩種方式表示OH，即可得到雙曲線的離心率.【詳解】解：設雙曲線的一條漸近線方程為yx，H為PQ的中點，可得FH⊥PQ，由F（c，0）到漸近線的距離為FH=db，∴PH=，又∴OH=即，∴故選D【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質——離心率的求解，其中依據條件轉化為圓錐曲線的離心率的方程，得到a,c的關系式是解得的關鍵，對于雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式；②只須要依據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范圍)．9.已知函數，設方程的四個不等實根從小到大依次為，則下列推斷中肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】方程的四個實根從小到大依次為函數與函數的圖象有四個不同的交點，且交點的橫坐標從左到右為，作函數與函數的圖象如下，由圖可知，，故，，易知，即，即，即，即，又，，故，故選C.【方法點睛】已知函數零點(方程根)的個數，求參數取值范圍的三種常用的方法：(1)干脆法，干脆依據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分別參數法，先將參數分別，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．一是轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為的交點個數的圖象的交點個數問題.10.已知數列{an}滿意：a1=0，（n∈N*），前n項和為Sn(參考數據：ln2≈0.693，ln3≈1.099)，則下列選項中錯誤的是（）A.是單調遞增數列，是單調遞減數列 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設，則有，，構建，求導分析可知導函數恒大于零，即數列都是單調數列，分別判定，即得單調性，數列與數列的單調性一樣，可判定A選項正確；B、C選項利用分析法證明，可知B正確，C錯誤；D選項利用數學歸納法證分兩邊證，即可證得.【詳解】由題可知，a1=0，，設，則有，即令，則，這里將視為上的前后兩點，因函數單調遞增，所以，所以數列都是單調數列又因為同理可知，，所以單調遞增，單調遞減因為數列與數列的單調性一樣，所以單調遞增，單調遞減，故A選項正確；因為，則，欲證，即由，上式化為，明顯時，，當時，，故成立；所以原不等式成立故B選項正確；欲證，只需證，即即，明顯成立故，所以故C選項錯誤；欲證，因單調性一樣則只需證，只需證因為，若，則；又因為，若，則；由數學歸納法有，則成立故D選項正確。故答案為：C【點睛】本題考查二階線性數列的綜合問題，涉及單調數列的證明，還考查了分析法證明與數學歸納法的證明，屬于難題.二、填空題11.已知實數x，y滿意，則的最大值是_______，最小值是_______．【答案】(1).12(2).【解析】【分析】由實數x，y滿意，畫出可行域，將目標函數，轉化為，平移直線，當直線在y軸上截距取得最大值，目標函數取得最大值，當直線在y軸上截距取得最小值，目標函數取得最小值.【詳解】由實數x，y滿意，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標函數，轉化為，平移直線，當直線經過點時，直線的在y軸上截距取得最大值，此時，目標函數取得最大值，最大值為12；當直線經過點，直線的在y軸上截距取得最小值，此時，目標函數取得最小值-1.故答案為：（1）12；（2）-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.12.若二項式的綻開式中各項系數之和為32，則_______，綻開式中的系數為_______．【答案】(1).3(2).270【解析】【分析】依據二項式的綻開式中各項系數之和為32，解得，然后再利用通項公式求得綻開式中的系數.【詳解】令得，，因為二項式的綻開式中各項系數之和為32，所以，解得，所以，其通項公式：，令，解得，所以綻開式中的系數為.故答案為：3，270【點睛】本題主要考查二項綻開式的系數及項的系數，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.13.如圖為某幾何體的三視圖，若該幾何體的體積為，則該幾何體的最長的棱長為_______．該幾何體的表面積為_______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由三視圖可該幾何體是一個四棱錐，其中一個側面為等腰三角形，且垂直于底面，底面為直角梯形，依據幾何體的體積為，求得幾何體的高，然后求得各棱長和各面的面積.【詳解】由三視圖可知：該幾何體是一個四棱錐如圖所示：其中平面PAB平面ABCD，為等腰三角形，底面為直角梯形，因為該幾何體的體積為，所以，所以，，，所以該幾何體的最長的棱長為，，所以該幾何體的表面積為.故答案為：（1）；（2）【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體以及幾何體體積和表面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的實力，屬于中檔題.14.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且b=1，則B=____；△ABC的面積為____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用正弦定理化簡已知條件，求得的值，由此求得的大小.推斷出，由此利用三角形的面積公式，求得三角形的面積.【詳解】依題意，由正弦定理得，解得，而，而，所以，則，所以，所以.故答案為：（1）；（2）【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎題.15.已知實數x，y滿意，且．則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】依據，且，構造，再利用“1”的代換，轉化為，利用基本不等式求解.【詳解】因為，且，所以，，當且僅當，即取等號.所以的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，還考查了轉化問題和運算求解的實力，屬于中檔題.16.已知，函數的最小值為，則的取值范圍是：______.【答案】【解析】【分析】計算，得到，，探討，，三種狀況，計算得到答案.【詳解】，解得.，其中，.當時，，故，即，化簡得到，故或；當時，，解得或.當時，，故，即，化簡得到，故或.綜上所述：.故答案為：.【點睛】本題考查了依據函數最值求參數，意在考查學生計算實力和綜合應用實力.17.若平面對量是兩個單位向量，且，空間向量滿意，，，則對隨意的實數，，的最小值是_________．【答案】3【解析】【分析】將平方，結合，，，化簡整理得到，再利用二次式的特點求解.【詳解】因為是兩個單位向量，且，，，，所以，，，，當且僅當取等號.所以的最小值是3.故答案為：3【點睛】本題主要考查平面對量的數量積及其運算性質以及二次式的最值問題，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.三、解答題18.已知中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且滿意．（I）求角A的大小;（II）若，的面積為，D為邊BC的中點，求AD的長度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（I）依據，由正弦定理得到，再利用兩角和與差的三角函數得到，從而得到求解.（II）依據，的面積為，利用正弦定理得到，再利用余弦定理解得，，然后在中求解.【詳解】（I）因為，所以，所以，因為，，.（II）因為，的面積為，所以，由余弦定理得：，所以，所以，所以，所以AD的長度為．【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.19.如圖，菱形ABCD中，，，O為線段CD的中點，將沿BO折到的位置，使得，E為的中點．（1）求證:;（2）求直線AE與平面所成角的正弦值【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據ABCD為菱形，，得到為等邊三角形，由O為線段CD的中點，得到，再由，得到，從而平面BOD，得到，又，從而平面即可得證.（2）由（1）知兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和的坐標，代入公式求解.【詳解】（1）因為ABCD為菱形，，所以為等邊三角形，又O為線段CD的中點，所以，即折疊后有，因為，所以，而，所以，所以，所以平面BOD，又平面BOD,所以，又，所以，，所以平面，所以.（2）由（1）知兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系：則，設平面的一個法向量為，則，所以，令，得，又因為，所以，所以直線AE與平面所成角的正弦值.【點睛】本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉化以及線面角的求法，還考查了轉化化歸的思想和邏輯推理，運算求解的實力，屬于中檔題.20.已知數列的前n項和為，且滿意，．（1）求的通項公式（2）數列滿意，，求的通項公式．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據數列通項與前n項和的關系，當時，由，得，兩式相減得，再利用等比數列的定義求解.（2）由（1）知：，然后利用累加法求解.【詳解】（1）因為時，由，得，兩式相減得，當時，，有，所以數列是等比數列，所以.（2）因為，由（1）知：，所以，，當n為偶數時：當n為奇數時：綜上：.【點睛】本題主要考查數列通項與前n項和的關系，等比數列的定義，累加法求通項以及裂項法的應用，還考查了運算求解的實力，屬于難題.21.橢圓的右焦點為F到直線的距離為，拋物線的焦點與橢圓E的焦點F重合，過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點，交拋物線于C，D兩點，且．（1）求橢圓E及拋物線G的方程;（2）過點F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點，交拋物線于M，N兩點，如圖所示，請問是否存在實常數，使為常數，若存在，求出的值;若不存在，說明理由．【答案】（1）橢圓方程為，拋物線G的方程為；（2）存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）設橢圓于拋物線的公共焦點，依據右焦點F到直線的距離為，得到，解得，再