高等數(shù)學(xué)一版自考課程代碼00020三章導(dǎo)數(shù)與微分

第三 導(dǎo)數(shù)與微第01 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定3.1例1.如圖3-1，當(dāng)點(diǎn)B沿曲線y=f（x）趨向于點(diǎn)A是曲線y=f（x）是過A,B趨向于直線L，則稱L為曲線y=f（x）在點(diǎn)A就是切線L 講義編號(hào)NODE50473700030100000101：]例2.變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度.設(shè)運(yùn)動(dòng)物體走過的距離S與行走時(shí)間t之間的關(guān)系為S=S（t）,t0時(shí)刻到t講義編號(hào)NODE50473700030100000102：3.1.11.定義3.1y=f（x）在x0第三 導(dǎo)數(shù)與微第01 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定3.1例1.如圖3-1，當(dāng)點(diǎn)B沿曲線y=f（x）趨向于點(diǎn)A是曲線y=f（x）是過A,B趨向于直線L，則稱L為曲線y=f（x）在點(diǎn)A就是切線L 講義編號(hào)NODE50473700030100000101：]例2.變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度.設(shè)運(yùn)動(dòng)物體走過的距離S與行走時(shí)間t之間的關(guān)系為S=S（t）,t0時(shí)刻到t講義編號(hào)NODE50473700030100000102：3.1.11.定義3.1y=f（x）在x0及其附近有定義，如果極限v存在，則稱函數(shù)f（x）表示的是函數(shù)f（x）上自變量改變1位時(shí)，函數(shù)值平均改變了幾個(gè)單位，所以其值稱為f（x）也就是導(dǎo)數(shù)值f’（x）,稱為函數(shù)f（x）在x0處的瞬時(shí)變化率，|（3）講義編號(hào)NODE50473700030100000103：]解：設(shè)v所以函數(shù)f（x）=C在x處可導(dǎo)，且講義編號(hào)NODE50473700030100000104：解：設(shè)x講義編號(hào)NODE50473700030100000105：例5.用定義求函數(shù)解：設(shè)x所以函數(shù)在x講義編號(hào)NODE50473700030100000106：（3）講義編號(hào)NODE50473700030100000103：]解：設(shè)v所以函數(shù)f（x）=C在x處可導(dǎo)，且講義編號(hào)NODE50473700030100000104：解：設(shè)x講義編號(hào)NODE50473700030100000105：例5.用定義求函數(shù)解：設(shè)x所以函數(shù)在x講義編號(hào)NODE50473700030100000106：]所以函數(shù)f（x）=lnx在x（x>0）講義編號(hào)NODE50473700030100000107：]解：設(shè)x所以函數(shù)f（x）=sinx在x講義編號(hào)NODE50473700030100000108：針對(duì)本講義提問] 答案講義編號(hào)NODE50473700030100000109：第02 單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)2.所以函數(shù)f（x）=lnx在x（x>0）講義編號(hào)NODE50473700030100000107：]解：設(shè)x所以函數(shù)f（x）=sinx在x講義編號(hào)NODE50473700030100000108：針對(duì)本講義提問] 答案講義編號(hào)NODE50473700030100000109：第02 單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)2.處右可導(dǎo)，極限的值稱為函數(shù)f（x）在x=x0存在，則稱函數(shù)f（x）在存在，則稱函數(shù)f（x）在定理3.1y=f（x）在x0及其附近有定義，則f（x）在x0說它在區(qū)間（a，b）稱為f（x）在區(qū)間（a，b）當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且在x=a處右可導(dǎo)，在x=b間[a，b]也稱為f（x）在區(qū)間[a，b]講義編號(hào)NODE50473700030200000101：例9.在x=1，故函數(shù)（）在=1講義編號(hào)NODE50473700030200000102：針對(duì)本講義提問] 答案講義編號(hào)NODE50473700030200000103：3.說它在區(qū)間（a，b）稱為f（x）在區(qū)間（a，b）當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且在x=a處右可導(dǎo)，在x=b間[a，b]也稱為f（x）在區(qū)間[a，b]講義編號(hào)NODE50473700030200000101：例9.在x=1，故函數(shù)（）在=1講義編號(hào)NODE50473700030200000102：針對(duì)本講義提問] 答案講義編號(hào)NODE50473700030200000103：3.過切點(diǎn)且與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的直線稱為曲線在該點(diǎn)的法線，當(dāng)f’（x）≠0時(shí)，曲線y=f（x） 講義編號(hào)NODE50473700030200000104：講義編號(hào)NODE50473700030200000105：]解：因?yàn)榍€y=f（x）與y=lnx在x=1所以講義編號(hào)NODE50473700030200000106：例13.此時(shí)，曲線解得所以，切線方程是y=6+4（x-講義編號(hào)NODE50473700030200000107：4.所以f（x）=|x|在x=0講義編號(hào)NODE50473700030200000108：例14.，在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)，則α的取值范圍是講義編號(hào)NODE50473700030200000105：]解：因?yàn)榍€y=f（x）與y=lnx在x=1所以講義編號(hào)NODE50473700030200000106：例13.此時(shí)，曲線解得所以，切線方程是y=6+4（x-講義編號(hào)NODE50473700030200000107：4.所以f（x）=|x|在x=0講義編號(hào)NODE50473700030200000108：例14.，在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)，則α的取值范圍是答案講義編號(hào)NODE50473700030200000109：例15.，在x=0處可導(dǎo)，求a，b解：因?yàn)閒（x）在x=0處可導(dǎo)，所以f（x）在x=0所以講義編號(hào)NODE50473700030200000110：第033.1.2如圖3-2，邊長為x講義編號(hào)NODE50473700030300000101：]則稱函數(shù)f（x）及其附近有定義，如果函數(shù)值f（x）與自變量改變量的高階無窮小量）稱為f（x） 講義編號(hào)NODE50473700030300000102：例16.設(shè)函數(shù)y=f（x）在 處可導(dǎo)dy是h△y-dy是hdy是比h△y-dy是比h則當(dāng)h→0時(shí)，必有答案講義編號(hào)NODE50473700030300000103：2.定理3.3函數(shù)f（x）處可微的充要條件是函數(shù)f（x）所以講義編號(hào)NODE50473700030200000110：第033.1.2如圖3-2，邊長為x講義編號(hào)NODE50473700030300000101：]則稱函數(shù)f（x）及其附近有定義，如果函數(shù)值f（x）與自變量改變量的高階無窮小量）稱為f（x） 講義編號(hào)NODE50473700030300000102：例16.設(shè)函數(shù)y=f（x）在 處可導(dǎo)dy是h△y-dy是hdy是比h△y-dy是比h則當(dāng)h→0時(shí)，必有答案講義編號(hào)NODE50473700030300000103：2.定理3.3函數(shù)f（x）處可微的充要條件是函數(shù)f（x）講義編號(hào)NODE50473700030300000104：]幾何意義：（如圖）是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí)，dy很小時(shí)，在點(diǎn)M的附近，切線段MP可近似代替曲線MN曲線y=f（x）即函數(shù)f（x）處的微分值是曲線y=f（x）講義編號(hào)NODE50473700030300000105：]1.求f（x）在點(diǎn)=0講義編號(hào)NODE50473700030300000106：例17.的近似值，就是在該點(diǎn)附近用切線近似表示曲線講義編號(hào)NODE50473700030300000107：講義編號(hào)NODE50473700030300000104：]幾何意義：（如圖）是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí)，dy很小時(shí)，在點(diǎn)M的附近，切線段MP可近似代替曲線MN曲線y=f（x）即函數(shù)f（x）處的微分值是曲線y=f（x）講義編號(hào)NODE50473700030300000105：]1.求f（x）在點(diǎn)=0講義編號(hào)NODE50473700030300000106：例17.的近似值，就是在該點(diǎn)附近用切線近似表示曲線講義編號(hào)NODE50473700030300000107：例18.講義編號(hào)NODE50473700030300000108：]，求t=2解：v=S’=2t+4,t=2時(shí)，v（2）=8,所以，此時(shí)的瞬時(shí)速度是講義編號(hào)NODE50473700030300000109：例20.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)x，求生產(chǎn)第100所以，總收入的變化率是講義編號(hào)NODE50473700030300000110：第04 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（一3.2講義編號(hào)NODE50473700030400000101：3.2.1定理3.4若函數(shù)f（x），g（x）講義編號(hào)NODE50473700030400000102：例18.講義編號(hào)NODE50473700030300000108：]，求t=2解：v=S’=2t+4,t=2時(shí)，v（2）=8,所以，此時(shí)的瞬時(shí)速度是講義編號(hào)NODE50473700030300000109：例20.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)x，求生產(chǎn)第100所以，總收入的變化率是講義編號(hào)NODE50473700030300000110：第04 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（一3.2講義編號(hào)NODE50473700030400000101：3.2.1定理3.4若函數(shù)f（x），g（x）講義編號(hào)NODE50473700030400000102：]例1講義編號(hào)NODE50473700030400000103：例2.講義編號(hào)NODE50473700030400000104：例3.講義編號(hào)NODE50473700030400000105：]講義編號(hào)NODE50473700030400000106：講義編號(hào)NODE50473700030400000103：例2.講義編號(hào)NODE50473700030400000104：例3.講義編號(hào)NODE50473700030400000105：]講義編號(hào)NODE50473700030400000106：例5.（1）講義編號(hào)NODE50473700030400000107：（2） 講義編號(hào)NODE50473700030400000108：3.2.21.定理3.5的復(fù)合，若g（x）處可導(dǎo)，f（u）關(guān)于x講義編號(hào)NODE50473700030400000109：]講義編號(hào)NODE50473700030400000110：講義編號(hào)NODE50473700030400000111：例5.（1）講義編號(hào)NODE50473700030400000107：（2） 講義編號(hào)NODE50473700030400000108：3.2.21.定理3.5的復(fù)合，若g（x）處可導(dǎo)，f（u）關(guān)于x講義編號(hào)NODE50473700030400000109：]講義編號(hào)NODE50473700030400000110：講義編號(hào)NODE50473700030400000111：講義編號(hào)NODE50473700030400000112：講義編號(hào)NODE50473700030400000113：（5）講義編號(hào)NODE50473700030400000114：例7.，其中f（x）所以選講義編號(hào)NODE50473700030400000115：例8.（A）﹣2 講義編號(hào)NODE50473700030400000112：講義編號(hào)NODE50473700030400000113：（5）講義編號(hào)NODE50473700030400000114：例7.，其中f（x）所以選講義編號(hào)NODE50473700030400000115：例8.（A）﹣2 ，選講義編號(hào)NODE50473700030400000116：第05 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（二2.已知函數(shù)y=f（u），若函數(shù)u=g（x）f（g（x））有意義，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則及微分計(jì)算公式，可知y=f（g（x））上面的討論說明，對(duì)于函數(shù)y=f（u），無論變量u講義編號(hào)NODE50473700030500000101：例9.講義編號(hào)NODE50473700030500000102：3.2.3定理3.6設(shè)函數(shù)f，g存在且不為零，則g（y）講義編號(hào)NODE50473700030500000103：]解：（1）講義編號(hào)NODE50473700030500000104：例11.，選講義編號(hào)NODE50473700030400000116：第05 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（二2.已知函數(shù)y=f（u），若函數(shù)u=g（x）f（g（x））有意義，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則及微分計(jì)算公式，可知y=f（g（x））上面的討論說明，對(duì)于函數(shù)y=f（u），無論變量u講義編號(hào)NODE50473700030500000101：例9.講義編號(hào)NODE50473700030500000102：3.2.3定理3.6設(shè)函數(shù)f，g存在且不為零，則g（y）講義編號(hào)NODE50473700030500000103：]解：（1）講義編號(hào)NODE50473700030500000104：例11.講義編號(hào)NODE50473700030500000105：3.2.42.講義編號(hào)NODE50473700030500000106：]4.5.講義編號(hào)NODE50473700030500000107：]講義編號(hào)NODE50473700030500000108：]講義編號(hào)NODE50473700030500000109：講義編號(hào)NODE50473700030500000105：3.2.42.講義編號(hào)NODE50473700030500000106：]4.5.講義編號(hào)NODE50473700030500000107：]講義編號(hào)NODE50473700030500000108：]講義編號(hào)NODE50473700030500000109：講義編號(hào)NODE50473700030500000110：講義編號(hào)NODE50473700030500000111：]講義編號(hào)NODE50473700030500000112：]講義編號(hào)NODE50473700030500000110：講義編號(hào)NODE50473700030500000111：]講義編號(hào)NODE50473700030500000112：]講義編號(hào)NODE50473700030500000113：第06 隱函數(shù)求導(dǎo)1.當(dāng)y解不出來的時(shí)候，我們可以把y講義編號(hào)NODE50473700030600000101：例1.已知函數(shù)y=y（x）兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，y講義編號(hào)NODE50473700030600000102：例2.已知函數(shù)y=y（x）確定，求y=y（x）在x=0兩邊關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y將x=0將x=0，y（0）=1，得講義編號(hào)NODE50473700030600000103：例3.已知函數(shù)y=y（x）確定，求曲線y=y（x）在點(diǎn)（0，y（0））將x=0將x=0，y（0）=0兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y，解得講義編號(hào)NODE50473700030500000113：第06 隱函數(shù)求導(dǎo)1.當(dāng)y解不出來的時(shí)候，我們可以把y講義編號(hào)NODE50473700030600000101：例1.已知函數(shù)y=y（x）兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，y講義編號(hào)NODE50473700030600000102：例2.已知函數(shù)y=y（x）確定，求y=y（x）在x=0兩邊關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y將x=0將x=0，y（0）=1，得講義編號(hào)NODE50473700030600000103：例3.已知函數(shù)y=y（x）確定，求曲線y=y（x）在點(diǎn)（0，y（0））將x=0將x=0，y（0）=0兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y，解得所以曲線y=y（x）在點(diǎn)（0，y（0））處的切線方程為y=﹣x，法線方程為講義編號(hào)NODE50473700030600000104：例4.求笛卡兒葉形線（如圖3-4所示在點(diǎn)（2，4）解：這個(gè)方程在點(diǎn)（2，4）附近確定了y是x兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y將x=2，y=4代入上式，得于是笛卡兒葉形線在點(diǎn)（2，4）講義編號(hào)NODE50473700030600000105：第07 對(duì)數(shù)求導(dǎo)講義編號(hào)NODE50473700030700000101：例上式兩邊對(duì)x講義編號(hào)NODE50473700030700000102：例6.解：這個(gè)方程在點(diǎn)（2，4）附近確定了y是x兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y將x=2，y=4代入上式，得于是笛卡兒葉形線在點(diǎn)（2，4）講義編號(hào)NODE50473700030600000105：第07 對(duì)數(shù)求導(dǎo)講義編號(hào)NODE50473700030700000101：例上式兩邊對(duì)x講義編號(hào)NODE50473700030700000102：例6.兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y講義編號(hào)NODE50473700030700000103：例7.兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y講義編號(hào)NODE50473700030700000104：例8.（1）兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y（2）lny=ln（x-1）+2ln（x-2）+3ln（x-兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y講義編號(hào)NODE50473700030700000105：第08 高階導(dǎo)3.3.21.我們知道，當(dāng)運(yùn)動(dòng)物體移動(dòng)的距離S與移動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式S=S（t）已知時(shí)，導(dǎo)數(shù)S′（t）該物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速 ，.該物體在t中的每一點(diǎn)x兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y講義編號(hào)NODE50473700030700000103：例7.兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y講義編號(hào)NODE50473700030700000104：例8.（1）兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y（2）lny=ln（x-1）+2ln（x-2）+3ln（x-兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y講義編號(hào)NODE50473700030700000105：第08 高階導(dǎo)3.3.21.我們知道，當(dāng)運(yùn)動(dòng)物體移動(dòng)的距離S與移動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式S=S（t）已知時(shí)，導(dǎo)數(shù)S′（t）該物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速 ，.該物體在t中的每一點(diǎn)x的n講義編號(hào)NODE50473700030800000101：]例9.講義編號(hào)NODE50473700030800000102：例10.講義編號(hào)NO