《力學(xué)》第一至十五章詳細(xì)筆記

《力學(xué)》第一至十五章詳細(xì)筆記第一章：力學(xué)概述1.1力學(xué)的定義與分類(lèi)力學(xué)是物理學(xué)的一個(gè)分支，研究物體的運(yùn)動(dòng)和受力規(guī)律。它可以分為以下幾個(gè)主要類(lèi)別：經(jīng)典力學(xué)：研究宏觀物體的運(yùn)動(dòng)，包括牛頓力學(xué)、拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)。相對(duì)論力學(xué)：研究高速運(yùn)動(dòng)物體的力學(xué)，包括狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論。量子力學(xué)：研究微觀粒子的運(yùn)動(dòng)，涉及原子和亞原子粒子的行為。1.2力學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史力學(xué)的發(fā)展可以追溯到古希臘時(shí)期，但真正意義上的現(xiàn)代力學(xué)始于牛頓的時(shí)代。古希臘時(shí)期：阿基米德提出了浮力原理和杠桿原理。文藝復(fù)興時(shí)期：伽利略通過(guò)對(duì)自由落體的研究，奠定了實(shí)驗(yàn)科學(xué)的基礎(chǔ)。牛頓時(shí)代：艾薩克·牛頓提出了三大運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，建立了經(jīng)典力學(xué)的體系。19世紀(jì)：拉格朗日和哈密頓發(fā)展了分析力學(xué)，為現(xiàn)代力學(xué)奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。20世紀(jì)：愛(ài)因斯坦提出了相對(duì)論，量子力學(xué)的發(fā)展改變了對(duì)微觀世界的理解。1.3力學(xué)的基本概念與基本定律基本概念：質(zhì)點(diǎn)：具有質(zhì)量但忽略大小和形狀的理想化物體。剛體：由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的物體，各質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變。參考系：描述物體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，可以是固定的或隨物體運(yùn)動(dòng)的。基本定律：牛頓第一定律（慣性定律）：一個(gè)物體如果不受外力作用，將保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。牛頓第二定律（動(dòng)力學(xué)定律）：物體的加速度與作用在物體上的合外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與合外力的方向相同，即

F=maF=ma。牛頓第三定律（作用與反作用定律）：兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直線(xiàn)上。1.4力學(xué)的研究對(duì)象與方法研究對(duì)象：宏觀物體：如汽車(chē)、飛機(jī)、建筑物等。微觀粒子：如電子、質(zhì)子、中子等。研究方法：實(shí)驗(yàn)方法：通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察和測(cè)量物體的運(yùn)動(dòng)和受力情況。理論方法：建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出描述物體運(yùn)動(dòng)的方程。數(shù)值方法：利用計(jì)算機(jī)模擬復(fù)雜的物理過(guò)程。第二章：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1位置、位移與速度位置：物體在空間中的具體位置，通常用坐標(biāo)表示。直角坐標(biāo)系：用

(x,y,z)(x,y,z)

表示物體的位置。極坐標(biāo)系：用

(r,θ,?)(r,θ,?)

表示物體的位置。位移：物體從一個(gè)位置到另一個(gè)位置的變化，是一個(gè)矢量。位移公式：

Δr=r2?r1Δr=r2??r1?速度：物體位置隨時(shí)間的變化率，是一個(gè)矢量。平均速度：

vavg=ΔrΔtvavg?=ΔtΔr?瞬時(shí)速度：

v=lim?Δt→0ΔrΔt=drdtv=limΔt→0?ΔtΔr?=dtdr?2.2加速度加速度：物體速度隨時(shí)間的變化率，是一個(gè)矢量。平均加速度：

aavg=ΔvΔtaavg?=ΔtΔv?瞬時(shí)加速度：

a=lim?Δt→0ΔvΔt=dvdta=limΔt→0?ΔtΔv?=dtdv?加速度的分量：切向加速度：

at=dvdtat?=dtdv?，沿速度方向的加速度。法向加速度：

an=v2Ran?=Rv2?，指向圓心的加速度，適用于曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。2.3運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程：描述物體位置隨時(shí)間變化的方程。直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：

x(t)=x0+v0t+12at2x(t)=x0?+v0?t+21?at2拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：

x(t)=x0+v0xtx(t)=x0?+v0x?t，

y(t)=y0+v0yt?12gt2y(t)=y0?+v0y?t?21?gt2運(yùn)動(dòng)方程的求解：初始條件：

x(0)=x0x(0)=x0?，

v(0)=v0v(0)=v0?邊界條件：

x(tf)=xfx(tf?)=xf?，

v(tf)=vfv(tf?)=vf?2.4直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)與曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：物體沿直線(xiàn)路徑運(yùn)動(dòng)。勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：

v=常數(shù)v=常數(shù)，

x(t)=x0+vtx(t)=x0?+vt勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：

a=常數(shù)a=常數(shù)，

v(t)=v0+atv(t)=v0?+at，

x(t)=x0+v0t+12at2x(t)=x0?+v0?t+21?at2曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：物體沿曲線(xiàn)路徑運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)：

r=常數(shù)r=常數(shù)，

v=rωv=rω，

a=v2ra=rv2?拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：

x(t)=x0+v0xtx(t)=x0?+v0x?t，

y(t)=y0+v0yt?12gt2y(t)=y0?+v0y?t?21?gt22.5運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性伽利略相對(duì)性原理：物理定律在所有慣性參考系中都具有相同的形式。慣性參考系：在該參考系中，牛頓第一定律成立。非慣性參考系：在該參考系中，牛頓第一定律不成立，需要引入慣性力。洛倫茲變換：在狹義相對(duì)論中，不同慣性參考系之間的時(shí)空坐標(biāo)變換。時(shí)間變換：

t′=γ(t?vxc2)t′=γ(t?c2vx?)空間變換：

x′=γ(x?vt)x′=γ(x?vt)洛倫茲因子：

γ=11?v2c2γ=1?c2v2??1?第三章：牛頓運(yùn)動(dòng)定律3.1牛頓第一定律（慣性定律）牛頓第一定律：一個(gè)物體如果不受外力作用，將保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。慣性：物體保持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)。慣性參考系：在該參考系中，牛頓第一定律成立。慣性質(zhì)量：物體抵抗運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的能力，用mm表示。質(zhì)量的測(cè)量：通過(guò)牛頓第二定律

F=maF=ma

來(lái)測(cè)量。3.2牛頓第二定律（動(dòng)力學(xué)定律）牛頓第二定律：物體的加速度與作用在物體上的合外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，方向與合外力的方向相同，即F=maF=ma。合外力：作用在物體上的所有外力的矢量和。動(dòng)力學(xué)方程：

∑F=ma∑F=ma應(yīng)用實(shí)例：自由落體：

F=mgF=mg，

a=ga=g斜面運(yùn)動(dòng)：

F∥=mgsin?θF∥?=mgsinθ，

a=gsin?θa=gsinθ彈簧振子：

F=?kxF=?kx，

a=?kmxa=?mk?x3.3牛頓第三定律（作用與反作用定律）牛頓第三定律：兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直線(xiàn)上。作用力：物體A對(duì)物體B的作用力。反作用力：物體B對(duì)物體A的反作用力。應(yīng)用實(shí)例：火箭推進(jìn)：火箭噴射燃料產(chǎn)生的反作用力推動(dòng)火箭前進(jìn)。步行：腳對(duì)地面的作用力和地面對(duì)腳的反作用力。3.4力的合成與分解力的合成：將多個(gè)力合成為一個(gè)合力。矢量加法：

F合=F1+F2+?+FnF合?=F1?+F2?+?+Fn?力的分解：將一個(gè)力分解成多個(gè)分力。正交分解：

Fx=Fcos?θFx?=Fcosθ，

Fy=Fsin?θFy?=Fsinθ應(yīng)用實(shí)例：斜面上的物體：將重力分解為平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力。懸掛物體：將張力分解為水平分力和豎直分力。3.5慣性參考系與非慣性參考系慣性參考系：在該參考系中，牛頓第一定律成立。地球參考系：近似為慣性參考系，但在某些情況下需要考慮地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)。非慣性參考系：在該參考系中，牛頓第一定律不成立，需要引入慣性力。慣性力：為了使牛頓第二定律在非慣性參考系中成立，引入的虛擬力?？评飱W利力：在旋轉(zhuǎn)參考系中，由于參考系的旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的慣性力。應(yīng)用實(shí)例：旋轉(zhuǎn)木馬：在旋轉(zhuǎn)木馬上的人會(huì)感到向外的離心力。汽車(chē)轉(zhuǎn)彎：在轉(zhuǎn)彎時(shí)，車(chē)內(nèi)的人會(huì)感到向外的離心力。第四章：力與力矩4.1力的性質(zhì)與分類(lèi)力的性質(zhì)：矢量性：力是一個(gè)矢量，既有大小又有方向。作用點(diǎn)：力作用在物體上的具體位置。單位：國(guó)際單位制中，力的單位是牛頓（N）。力的分類(lèi)：接觸力：物體之間直接接觸產(chǎn)生的力，如摩擦力、彈力等。非接觸力：物體之間不直接接觸也能產(chǎn)生的力，如重力、電磁力等。保守力：做功與路徑無(wú)關(guān)的力，如重力、彈簧力等。非保守力：做功與路徑有關(guān)的力，如摩擦力。4.2力的表示方法力的表示：矢量表示：用帶有箭頭的線(xiàn)段表示力的大小和方向，箭頭指向力的作用方向。分量表示：在直角坐標(biāo)系中，力可以表示為

F=Fxi+Fyj+FzkF=Fx?i+Fy?j+Fz?k。力的圖示：力的作用點(diǎn)：在物體上標(biāo)明力的作用點(diǎn)。力的大?。河镁€(xiàn)段的長(zhǎng)度表示力的大小。力的方向：用箭頭表示力的方向。4.3力矩與力偶力矩：定義：力矩是力對(duì)物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)作用的物理量，用

ττ

表示。計(jì)算公式：

τ=r×Fτ=r×F，其中

rr

是力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離矢量，

FF

是力。單位：國(guó)際單位制中，力矩的單位是牛頓·米（N·m）。力偶：定義：力偶是由兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線(xiàn)不共線(xiàn)的平行力組成的力系。性質(zhì)：力偶只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，不能產(chǎn)生平動(dòng)效應(yīng)。計(jì)算公式：

τ=r×Fτ=r×F，其中

rr

是兩個(gè)力作用點(diǎn)之間的距離矢量，

FF

是其中一個(gè)力。4.4力的平衡條件靜態(tài)平衡：平衡條件：物體處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。力的平衡：

∑F=0∑F=0，即物體所受的所有外力的矢量和為零。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0，即物體所受的所有外力矩的矢量和為零。動(dòng)態(tài)平衡：平衡條件：物體處于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力的平衡：

∑F=0∑F=0。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0。應(yīng)用實(shí)例：橋梁設(shè)計(jì)：確保橋梁在各種外力作用下保持平衡。建筑結(jié)構(gòu)：確保建筑物在風(fēng)力、地震等外力作用下保持穩(wěn)定。4.5靜力學(xué)基本問(wèn)題靜力學(xué)問(wèn)題：平衡問(wèn)題：確定物體在各種外力作用下的平衡狀態(tài)。約束問(wèn)題：確定物體在約束條件下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。穩(wěn)定性問(wèn)題：確定物體在外界干擾下的穩(wěn)定性。解決方法：受力分析：分析物體所受的所有外力和外力矩。建立方程：根據(jù)平衡條件建立方程。求解方程：解方程求出未知力或未知力矩。應(yīng)用實(shí)例：吊車(chē)設(shè)計(jì)：確保吊車(chē)在吊起重物時(shí)保持平衡。機(jī)械設(shè)計(jì)：確保機(jī)械部件在工作時(shí)保持穩(wěn)定。第五章：能量與功5.1功的概念與計(jì)算功：定義：力對(duì)物體做的功等于力的大小、物體在力的方向上移動(dòng)的距離和二者夾角的余弦值的乘積。計(jì)算公式：

W=F?s=Fscos?θW=F?s=Fscosθ，其中

FF

是力，

ss

是位移，

θθ

是力和位移的夾角。單位：國(guó)際單位制中，功的單位是焦耳（J）。正功與負(fù)功：正功：當(dāng)力和位移方向相同或夾角小于90°時(shí)，功為正值。負(fù)功：當(dāng)力和位移方向相反或夾角大于90°時(shí)，功為負(fù)值。零功：當(dāng)力和位移方向垂直或夾角為90°時(shí)，功為零。5.2動(dòng)能與勢(shì)能動(dòng)能：定義：物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能量。計(jì)算公式：

K=12mv2K=21?mv2，其中

mm

是物體的質(zhì)量，

vv

是物體的速度。單位：國(guó)際單位制中，動(dòng)能的單位是焦耳（J）。勢(shì)能：重力勢(shì)能：物體由于高度而具有的能量。計(jì)算公式：

Ug=mghUg?=mgh，其中

mm

是物體的質(zhì)量，

gg

是重力加速度，

hh

是物體的高度。彈性勢(shì)能：物體由于形變而具有的能量。計(jì)算公式：

Ue=12kx2Ue?=21?kx2，其中

kk

是彈簧的勁度系數(shù)，

xx

是彈簧的形變量。5.3功能原理功能原理：定義：物體所受的合外力做的功等于物體動(dòng)能的增量。計(jì)算公式：

W合=ΔKW合?=ΔK，其中

W合W合?

是合外力做的功，

ΔKΔK

是動(dòng)能的增量。應(yīng)用實(shí)例：自由落體：物體在重力作用下自由下落，重力做的功等于動(dòng)能的增量。彈簧振子：彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中，彈性力做的功等于動(dòng)能和勢(shì)能的轉(zhuǎn)換。5.4保守力與非保守力保守力：定義：做功與路徑無(wú)關(guān)的力，如重力、彈簧力等。特點(diǎn)：存在勢(shì)能函數(shù)，力可以表示為勢(shì)能函數(shù)的梯度。計(jì)算公式：

F=??UF=??U，其中

UU

是勢(shì)能函數(shù)。非保守力：定義：做功與路徑有關(guān)的力，如摩擦力。特點(diǎn)：不存在勢(shì)能函數(shù)，力不能表示為勢(shì)能函數(shù)的梯度。應(yīng)用實(shí)例：滑塊下滑：滑塊在斜面上下滑時(shí)，重力是保守力，摩擦力是非保守力。汽車(chē)剎車(chē)：汽車(chē)剎車(chē)時(shí)，摩擦力是非保守力，消耗了動(dòng)能。5.5機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律：定義：在只有保守力作用的系統(tǒng)中，系統(tǒng)的總機(jī)械能（動(dòng)能和勢(shì)能之和）保持不變。計(jì)算公式：

E=K+UE=K+U，其中

EE

是總機(jī)械能，

KK

是動(dòng)能，

UU

是勢(shì)能。條件：系統(tǒng)內(nèi)只有保守力作用，沒(méi)有非保守力做功。應(yīng)用實(shí)例：擺動(dòng)：?jiǎn)螖[在擺動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能在不斷轉(zhuǎn)換，但總機(jī)械能保持不變。滾輪：滾輪在斜面上滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能在不斷轉(zhuǎn)換，但總機(jī)械能保持不變。第六章：動(dòng)量與沖量6.1動(dòng)量的概念與守恒定律動(dòng)量：定義：物體的質(zhì)量和速度的乘積，用

pp

表示。計(jì)算公式：

p=mvp=mv，其中

mm

是物體的質(zhì)量，

vv

是物體的速度。單位：國(guó)際單位制中，動(dòng)量的單位是千克·米/秒（kg·m/s）。動(dòng)量守恒定律：定義：在沒(méi)有外力作用的系統(tǒng)中，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。計(jì)算公式：

p初=p末p初?=p末?，其中

p初p初?

和

p末p末?

分別是系統(tǒng)初態(tài)和末態(tài)的總動(dòng)量。條件：系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有外力作用，或外力的合外力為零。應(yīng)用實(shí)例：碰撞：兩個(gè)物體在碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變?；鸺l(fā)射：火箭在發(fā)射過(guò)程中，火箭和燃料的總動(dòng)量保持不變。6.2沖量與動(dòng)量定理沖量：定義：力在一段時(shí)間內(nèi)的累積效應(yīng)，用

JJ

表示。計(jì)算公式：

J=∫F(t)dtJ=∫F(t)dt，其中

F(t)F(t)

是力隨時(shí)間的變化。單位：國(guó)際單位制中，沖量的單位是牛頓·秒（N·s）。動(dòng)量定理：定義：物體所受的合外力的沖量等于物體動(dòng)量的增量。計(jì)算公式：

J=ΔpJ=Δp，其中

JJ

是合外力的沖量，

ΔpΔp

是動(dòng)量的增量。應(yīng)用實(shí)例：打擊：錘子打擊釘子時(shí)，錘子的沖量等于釘子動(dòng)量的增量。碰撞：兩個(gè)物體在碰撞過(guò)程中，合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。6.3碰撞與反彈碰撞類(lèi)型：完全彈性碰撞：碰撞前后，系統(tǒng)的總動(dòng)能保持不變。計(jì)算公式：

K初=K末K初?=K末?，其中

K初K初?

和

K末K末?

分別是系統(tǒng)初態(tài)和末態(tài)的總動(dòng)能。完全非彈性碰撞：碰撞后，兩個(gè)物體黏在一起，系統(tǒng)的總動(dòng)能減少。計(jì)算公式：

p初=p末p初?=p末?，但

K初>K末K初?>K末?。部分彈性碰撞：碰撞前后，系統(tǒng)的總動(dòng)能部分減少。反彈：定義：物體在碰撞后返回原方向的運(yùn)動(dòng)?；謴?fù)系數(shù)：

e=v2f?v1fv1i?v2ie=v1i??v2i?v2f??v1f??，其中

v1iv1i?

和

v2iv2i?

分別是碰撞前兩個(gè)物體的速度，

v1fv1f?

和

v2fv2f?

分別是碰撞后兩個(gè)物體的速度。應(yīng)用實(shí)例：臺(tái)球：臺(tái)球在碰撞過(guò)程中，根據(jù)恢復(fù)系數(shù)的不同，可以分為完全彈性碰撞和部分彈性碰撞?；@球：籃球在地面反彈時(shí)，恢復(fù)系數(shù)決定了籃球反彈的高度。6.4中心碰撞與非中心碰撞中心碰撞：定義：兩個(gè)物體的質(zhì)心連線(xiàn)與碰撞點(diǎn)的連線(xiàn)重合。特點(diǎn)：碰撞前后，兩個(gè)物體的速度方向不變，只改變速度大小。計(jì)算公式：

m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2fm1?v1i?+m2?v2i?=m1?v1f?+m2?v2f?，其中

m1m1?

和

m2m2?

分別是兩個(gè)物體的質(zhì)量，

v1iv1i?

和

v2iv2i?

分別是碰撞前兩個(gè)物體的速度，

v1fv1f?

和

v2fv2f?

分別是碰撞后兩個(gè)物體的速度。非中心碰撞：定義：兩個(gè)物體的質(zhì)心連線(xiàn)與碰撞點(diǎn)的連線(xiàn)不重合。特點(diǎn)：碰撞前后，兩個(gè)物體的速度方向和大小都會(huì)改變。計(jì)算公式：

p初=p末p初?=p末?，

L初=L末L初?=L末?，其中

LL

是角動(dòng)量。應(yīng)用實(shí)例：汽車(chē)碰撞：汽車(chē)在碰撞過(guò)程中，由于碰撞點(diǎn)不在質(zhì)心連線(xiàn)上，會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。臺(tái)球桿擊球：臺(tái)球桿擊球時(shí)，由于擊球點(diǎn)不在球的質(zhì)心上，會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。第七章：剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)7.1剛體的概念與性質(zhì)剛體的定義：剛體：由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的物體，各質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變。剛體的特點(diǎn)：剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其形狀和大小保持不變。剛體的自由度：平面剛體：在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的剛體有三個(gè)自由度（兩個(gè)平動(dòng)自由度和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）。空間剛體：在三維空間中運(yùn)動(dòng)的剛體有六個(gè)自由度（三個(gè)平動(dòng)自由度和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）。7.2剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)：定義：剛體上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡平行。特點(diǎn)：剛體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。運(yùn)動(dòng)方程：

r(t)=r0+vt+12at2r(t)=r0?+vt+21?at2，其中

r0r0?

是初始位置，

vv

是速度，

aa

是加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)：定義：剛體繞某一固定軸或固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周。角速度：

ωω，表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，單位是弧度/秒（rad/s）。角加速度：

αα，表示角速度的變化率，單位是弧度/秒2（rad/s2）。運(yùn)動(dòng)方程：

θ(t)=θ0+ω0t+12αt2θ(t)=θ0?+ω0?t+21?αt2，其中

θ0θ0?

是初始角度，

ω0ω0?

是初始角速度。7.3角速度與角加速度角速度：定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)過(guò)的角度。計(jì)算公式：

ω=dθdtω=dtdθ?，其中

θθ

是角度。方向：角速度的方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面，遵循右手定則。角加速度：定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)角速度的變化率。計(jì)算公式：

α=dωdtα=dtdω?。方向：角加速度的方向與角速度的變化方向一致。線(xiàn)速度與角速度的關(guān)系：線(xiàn)速度：

v=ω×rv=ω×r，其中

rr

是質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離矢量。線(xiàn)加速度：

a=α×r+ω×(ω×r)a=α×r+ω×(ω×r)。7.4剛體的運(yùn)動(dòng)方程剛體的平動(dòng)方程：牛頓第二定律：

F=MaF=Ma，其中

MM

是剛體的總質(zhì)量，

aa

是剛體的質(zhì)心加速度。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

I=∑imiri2I=∑i?mi?ri2?，其中

mimi?

是第

ii

個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，

riri?

是第

ii

個(gè)質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離。轉(zhuǎn)動(dòng)定理：

τ=Iατ=Iα，其中

ττ

是合外力矩，

II

是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

αα

是角加速度。剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程：平動(dòng)方程：

F=MaF=Ma。轉(zhuǎn)動(dòng)方程：

τ=Iατ=Iα。7.5剛體的動(dòng)能與勢(shì)能剛體的動(dòng)能：平動(dòng)動(dòng)能：

K平=12Mv2K平?=21?Mv2，其中

MM

是剛體的總質(zhì)量，

vv

是質(zhì)心的速度。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：

K轉(zhuǎn)=12Iω2K轉(zhuǎn)?=21?Iω2，其中

II

是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

ωω

是角速度。總動(dòng)能：

K=K平+K轉(zhuǎn)K=K平?+K轉(zhuǎn)?。剛體的勢(shì)能：重力勢(shì)能：

Ug=MghUg?=Mgh，其中

MM

是剛體的總質(zhì)量，

gg

是重力加速度，

hh

是質(zhì)心的高度。彈性勢(shì)能：

Ue=12kx2Ue?=21?kx2，其中

kk

是彈簧的勁度系數(shù)，

xx

是彈簧的形變量。應(yīng)用實(shí)例：滾動(dòng)物體：滾動(dòng)物體的總動(dòng)能包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。擺動(dòng)物體：擺動(dòng)物體的總能量包括動(dòng)能和勢(shì)能。第八章：剛體動(dòng)力學(xué)8.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性大小，用

II

表示。計(jì)算公式：

I=∑imiri2I=∑i?mi?ri2?，其中

mimi?

是第

ii

個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，

riri?

是第

ii

個(gè)質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離。常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：細(xì)棒：繞中心軸

I=112ML2I=121?ML2，繞端點(diǎn)

I=13ML2I=31?ML2。圓盤(pán)：繞中心軸

I=12MR2I=21?MR2。圓環(huán)：繞中心軸

I=MR2I=MR2。球體：繞直徑

I=25MR2I=52?MR2。平行軸定理：定義：剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于繞通過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距平方的乘積。計(jì)算公式：

I=Icm+Md2I=Icm?+Md2，其中

IcmIcm?

是繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

dd

是兩軸的間距。8.2轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理：定義：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。計(jì)算公式：

τ=Iατ=Iα，其中

ττ

是合外力矩，

II

是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

αα

是角加速度。應(yīng)用實(shí)例：陀螺儀：陀螺儀的穩(wěn)定性和進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象可以用轉(zhuǎn)動(dòng)定理解釋。飛輪：飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響其儲(chǔ)存和釋放能量的能力。8.3剛體的平衡條件靜態(tài)平衡：平衡條件：剛體處于靜止?fàn)顟B(tài)或勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力的平衡：

∑F=0∑F=0，即剛體所受的所有外力的矢量和為零。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0，即剛體所受的所有外力矩的矢量和為零。動(dòng)態(tài)平衡：平衡條件：剛體處于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力的平衡：

∑F=0∑F=0。力矩的平衡：

∑τ=0∑τ=0。應(yīng)用實(shí)例：橋梁設(shè)計(jì)：確保橋梁在各種外力作用下保持平衡。機(jī)械設(shè)計(jì)：確保機(jī)械部件在工作時(shí)保持穩(wěn)定。8.4剛體的平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)的定義：平面運(yùn)動(dòng)：剛體在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方程：

r(t)=r0+vt+12at2r(t)=r0?+vt+21?at2，

θ(t)=θ0+ω0t+12αt2θ(t)=θ0?+ω0?t+21?αt2。平面運(yùn)動(dòng)的分析：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)：

F=MaF=Ma。轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：

τ=Iατ=Iα。應(yīng)用實(shí)例：滑塊-彈簧系統(tǒng)：滑塊在彈簧的作用下沿平面運(yùn)動(dòng)，分析其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。雙擺：雙擺在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，分析其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。8.5剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的定義：定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：剛體繞某一固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方程：

r(t)=r0+vt+12at2r(t)=r0?+vt+21?at2，

θ(t)=θ0+ω0t+12αt2θ(t)=θ0?+ω0?t+21?αt2。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的分析：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)：

F=MaF=Ma。轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：

τ=Iατ=Iα。應(yīng)用實(shí)例：陀螺儀：陀螺儀繞固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，分析其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。旋轉(zhuǎn)機(jī)械：旋轉(zhuǎn)機(jī)械部件繞固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，分析其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。第九章：振動(dòng)與波動(dòng)9.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義：簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體在回復(fù)力的作用下，沿直線(xiàn)或曲線(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)?；貜?fù)力：與位移成正比且方向相反的力，

F=?kxF=?kx，其中

kk

是勁度系數(shù)，

xx

是位移。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：

md2xdt2+kx=0mdt2d2x?+kx=0。解的形式：

x(t)=Acos?(ωt+?)x(t)=Acos(ωt+?)，其中

AA

是振幅，

ωω

是角頻率，

??

是初相位。角頻率：

ω=kmω=mk??。周期：

T=2πωT=ω2π?。頻率：

f=1T=ω2πf=T1?=2πω?。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量：總能量：

E=12kA2E=21?kA2。動(dòng)能：

K=12mv2K=21?mv2。勢(shì)能：

U=12kx2U=21?kx2。能量守恒：

E=K+UE=K+U。應(yīng)用實(shí)例：彈簧振子：彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，分析其運(yùn)動(dòng)方程和能量守恒。擺動(dòng)：?jiǎn)螖[的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，分析其運(yùn)動(dòng)方程和能量守恒。9.2阻尼振動(dòng)與受迫振動(dòng)阻尼振動(dòng)：定義：物體在回復(fù)力和阻力的作用下，沿直線(xiàn)或曲線(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)。阻尼力：與速度成正比且方向相反的力，

Fd=?bvFd?=?bv，其中

bb

是阻尼系數(shù)，

vv

是速度。運(yùn)動(dòng)方程：

md2xdt2+bdxdt+kx=0mdt2d2x?+bdtdx?+kx=0。解的形式：

x(t)=e?γt(Acos?(ωdt)+Bsin?(ωdt))x(t)=e?γt(Acos(ωd?t)+Bsin(ωd?t))，其中

γ=b2mγ=2mb?，

ωd=ω02?γ2ωd?=ω02??γ2?。受迫振動(dòng)：定義：物體在回復(fù)力、阻力和外力的作用下，沿直線(xiàn)或曲線(xiàn)的周期性運(yùn)動(dòng)。外力：

F(t)=F0cos?(ωt)F(t)=F0?cos(ωt)，其中

F0F0?

是外力的幅值，

ωω

是外力的角頻率。運(yùn)動(dòng)方程：

md2xdt2+bdxdt+kx=F0cos?(ωt)mdt2d2x?+bdtdx?+kx=F0?cos(ωt)。穩(wěn)態(tài)解：

x(t)=Xcos?(ωt??)x(t)=Xcos(ωt??)，其中

XX

是振幅，

??

是相位差。共振：定義：當(dāng)外力的頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象。條件：

ω≈ω0ω≈ω0?。應(yīng)用實(shí)例：汽車(chē)減震器：汽車(chē)減震器的阻尼振動(dòng)，分析其運(yùn)動(dòng)方程和穩(wěn)態(tài)解。橋梁振動(dòng)：橋梁在風(fēng)力作用下的受迫振動(dòng)，分析其運(yùn)動(dòng)方程和共振現(xiàn)象。9.3振動(dòng)的疊加振動(dòng)的疊加原理：定義：多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。疊加公式：

x(t)=A1cos?(ω1t+?1)+A2cos?(ω2t+?2)+?+Ancos?(ωnt+?n)x(t)=A1?cos(ω1?t+?1?)+A2?cos(ω2?t+?2?)+?+An?cos(ωn?t+?n?)。拍頻現(xiàn)象：定義：兩個(gè)頻率相近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加時(shí)，振幅隨時(shí)間緩慢變化的現(xiàn)象。條件：

ω1≈ω2ω1?≈ω2?。拍頻：

ω拍=∣ω1?ω2∣ω拍?=∣ω1??ω2?∣。應(yīng)用實(shí)例：聲波：兩個(gè)頻率相近的聲波疊加時(shí)，產(chǎn)生拍頻現(xiàn)象。電子電路：兩個(gè)頻率相近的電信號(hào)疊加時(shí)，產(chǎn)生拍頻現(xiàn)象。9.4波動(dòng)的基本概念波動(dòng)的定義：波動(dòng)：物質(zhì)或場(chǎng)在空間中的周期性傳播現(xiàn)象。波動(dòng)的類(lèi)型：機(jī)械波（如聲波、水波）和電磁波（如光波、無(wú)線(xiàn)電波）。波動(dòng)的基本參數(shù)：波長(zhǎng)：

λλ，相鄰兩個(gè)波峰或波谷之間的距離。頻率：

ff，單位時(shí)間內(nèi)波的周期數(shù)。波速：

vv，波在介質(zhì)中傳播的速度。波速公式：

v=λfv=λf。波動(dòng)方程：波動(dòng)方程：

?2y?t2=v2?2y?x2?t2?2y?=v2?x2?2y?，其中

yy

是波的位移，

tt

是時(shí)間，

xx

是空間位置。應(yīng)用實(shí)例：聲波：聲波在空氣中的傳播，分析其波動(dòng)方程和基本參數(shù)。水波：水波在水面的傳播，分析其波動(dòng)方程和基本參數(shù)。9.5波動(dòng)方程與波速波動(dòng)方程的解：一般解：

y(x,t)=f(x?vt)+g(x+vt)y(x,t)=f(x?vt)+g(x+vt)，其中

ff

和

gg

是任意函數(shù)。行波解：

y(x,t)=Acos?(kx?ωt+?)y(x,t)=Acos(kx?ωt+?)，其中

AA

是振幅，

kk

是波數(shù)，

ωω

是角頻率，

??

是初相位。駐波解：

y(x,t)=Acos?(kx)cos?(ωt+?)y(x,t)=Acos(kx)cos(ωt+?)。波速的計(jì)算：機(jī)械波：

v=Tμv=μT??，其中

TT

是張力，

μμ

是線(xiàn)密度。電磁波：

v=1μ0?0v=μ0??0??1?，其中

μ0μ0?

是真空磁導(dǎo)率，

?0?0?

是真空介電常數(shù)。應(yīng)用實(shí)例：弦振動(dòng)：弦上的波動(dòng)，分析其波動(dòng)方程和波速。電磁波：電磁波在真空中的傳播，分析其波動(dòng)方程和波速。第十章：流體力學(xué)基礎(chǔ)10.1流體的性質(zhì)與分類(lèi)流體的定義：流體：能夠流動(dòng)的物質(zhì)，包括液體和氣體。流體的特點(diǎn)：沒(méi)有固定的形狀，能夠適應(yīng)容器的形狀。流體的分類(lèi)：理想流體：無(wú)黏性、不可壓縮的流體，適用于理想化的理論分析。真實(shí)流體：具有黏性、可壓縮的流體，適用于實(shí)際工程應(yīng)用。流體的物理性質(zhì)：密度：

ρρ，單位體積流體的質(zhì)量，單位是kg/m3。壓力：

pp，單位面積上的力，單位是Pa（帕斯卡）。黏度：

μμ，流體內(nèi)部摩擦力的度量，單位是Pa·s（帕斯卡·秒）。10.2流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)的定義：流體靜力學(xué)：研究流體在靜止?fàn)顟B(tài)下的力學(xué)性質(zhì)和規(guī)律。流體靜力學(xué)的基本方程：靜力學(xué)基本方程：

dpdz=?ρgdzdp?=?ρg，其中

pp

是壓力，

zz

是高度，

ρρ

是密度，

gg

是重力加速度。靜壓強(qiáng)公式：

p=p0+ρghp=p0?+ρgh，其中

p0p0?

是參考點(diǎn)的壓力，

hh

是高度差。流體靜力學(xué)的應(yīng)用：液體壓力：液體在容器中的壓力分布。氣壓：大氣壓力隨高度的變化。浮力：阿基米德原理，

Fb=ρfVgFb?=ρf?Vg，其中

ρfρf?

是流體的密度，

VV

是物體的體積。10.3流體動(dòng)力學(xué)流體動(dòng)力學(xué)的定義：流體動(dòng)力學(xué)：研究流體在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的力學(xué)性質(zhì)和規(guī)律。流體動(dòng)力學(xué)的基本方程：連續(xù)性方程：

ρ1A1v1=ρ2A2v2ρ1?A1?v1?=ρ2?A2?v2?，其中

ρρ

是密度，

AA

是截面積，

vv

是流速。伯努利方程：

p1+12ρv12+ρgh1=p2+12ρv22+ρgh2p1?+21?ρv12?+ρgh1?=p2?+21?ρv22?+ρgh2?，其中

pp

是壓力，

vv

是流速，

hh

是高度。流體動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用：管道流動(dòng)：流體在管道中的流動(dòng)，分析流速和壓力的變化。噴嘴：流體通過(guò)噴嘴時(shí)的速度和壓力變化。飛行器：飛機(jī)和火箭在空氣中的運(yùn)動(dòng)，分析升力和阻力。10.4黏性流體與納維-斯托克斯方程黏性流體的定義：黏性流體：具有內(nèi)部摩擦力的流體，黏度

μμ

是其重要特性。納維-斯托克斯方程：納維-斯托克斯方程：描述黏性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程，

ρ(?v?t+v??v)=??p+μ?2v+fρ(?t?v?+v??v)=??p+μ?2v+f，其中

vv

是流速，

pp

是壓力，

ff

是外力。納維-斯托克斯方程的應(yīng)用：湍流：流體在高雷諾數(shù)下的復(fù)雜流動(dòng)。層流：流體在低雷諾數(shù)下的平穩(wěn)流動(dòng)。邊界層：流體在固體表面附近的流動(dòng)特性。雷諾數(shù)：定義：

Re=ρvLμRe=μρvL?，其中

ρρ

是密度，

vv

是流速，

LL

是特征長(zhǎng)度，

μμ

是黏度。意義：表征流體流動(dòng)的穩(wěn)定性和湍流傾向。第十一章：相對(duì)論力學(xué)11.1伽利略相對(duì)性原理伽利略相對(duì)性原理：定義：物理定律在所有慣性參考系中都具有相同的形式。慣性參考系：在該參考系中，牛頓第一定律成立。伽利略變換：定義：不同慣性參考系之間的坐標(biāo)變換，

x′=x?vtx′=x?vt，

y′=yy′=y，

z′=zz′=z，

t′=tt′=t，其中

vv

是參考系的相對(duì)速度。應(yīng)用實(shí)例：火車(chē)上的物理實(shí)驗(yàn)：在勻速行駛的火車(chē)上進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)，結(jié)果與地面參考系相同。11.2愛(ài)因斯坦相對(duì)性原理愛(ài)因斯坦相對(duì)性原理：定義：物理定律在所有慣性參考系中都具有相同的形式，光速在所有慣性參考系中都是常數(shù)。狹義相對(duì)論：適用于所有慣性參考系，不考慮重力。廣義相對(duì)論：適用于所有參考系，包括非慣性參考系，考慮重力。洛倫茲變換：定義：不同慣性參考系之間的坐標(biāo)變換，

x′=γ(x?vt)x′=γ(x?vt)，

y′=yy′=y，

z′=zz′=z，

t′=γ(t?vxc2)t′=γ(t?c2vx?)，其中

γ=11?v2c2γ=1?c2v2??1?

是洛倫茲因子，

cc

是光速。應(yīng)用實(shí)例：GPS衛(wèi)星定位：GPS衛(wèi)星需要考慮狹義相對(duì)論效應(yīng)，以確保精確的定位。11.3時(shí)間膨脹與長(zhǎng)度收縮時(shí)間膨脹：定義：在高速運(yùn)動(dòng)的參考系中，時(shí)間會(huì)變慢。公式：

Δt′=γΔtΔt′=γΔt，其中

Δt′Δt′

是運(yùn)動(dòng)參考系中的時(shí)間間隔，

ΔtΔt

是靜止參考系中的時(shí)間間隔。長(zhǎng)度收縮：定義：在高速運(yùn)動(dòng)的參考系中，物體的長(zhǎng)度會(huì)縮短。公式：

L′=LγL′=γL?，其中

L′L′

是運(yùn)動(dòng)參考系中的長(zhǎng)度，

LL

是靜止參考系中的長(zhǎng)度。應(yīng)用實(shí)例：μ子的壽命：高速運(yùn)動(dòng)的μ子壽命延長(zhǎng)，可以到達(dá)地面。高速列車(chē)：高速列車(chē)上的乘客會(huì)感覺(jué)時(shí)間變慢，長(zhǎng)度縮短。11.4相對(duì)論動(dòng)量與能量相對(duì)論動(dòng)量：定義：

p=γmvp=γmv，其中

mm

是物體的靜止質(zhì)量，

vv

是速度。特點(diǎn)：當(dāng)速度接近光速時(shí)，動(dòng)量會(huì)顯著增大。相對(duì)論能量：定義：

E=γmc2E=γmc2，其中

mm

是物體的靜止質(zhì)量，

cc

是光速。靜能：

E0=mc2E0?=mc2，物體靜止時(shí)的能量。動(dòng)能：

K=E?E0=(γ?1)mc2K=E?E0?=(γ?1)mc2。應(yīng)用實(shí)例：粒子加速器：高能粒子在加速器中的運(yùn)動(dòng)，需要考慮相對(duì)論效應(yīng)。核反應(yīng)：核反應(yīng)中的能量釋放，涉及相對(duì)論能量的轉(zhuǎn)換。11.5相對(duì)論力學(xué)方程相對(duì)論力學(xué)的基本方程：相對(duì)論動(dòng)量方程：

F=dpdt=ddt(γmv)F=dtdp?=dtd?(γmv)。相對(duì)論能量方程：

E2=(pc)2+(mc2)2E2=(pc)2+(mc2)2，其中

pp

是動(dòng)量，

mm

是靜止質(zhì)量，

cc

是光速。應(yīng)用實(shí)例：宇宙射線(xiàn)：宇宙射線(xiàn)中的高能粒子，需要使用相對(duì)論力學(xué)方程進(jìn)行分析。黑洞：黑洞周?chē)奈镔|(zhì)運(yùn)動(dòng)，需要考慮廣義相對(duì)論效應(yīng)。第十二章：非慣性參考系12.1非慣性參考系的定義非慣性參考系：定義：在該參考系中，牛頓第一定律不成立，需要引入慣性力。特點(diǎn)：參考系本身具有加速度。慣性力：定義：為了使牛頓第二定律在非慣性參考系中成立，引入的虛擬力。類(lèi)型：慣性力、科里奧利力、離心力。12.2慣性力慣性力：定義：由于參考系的加速度而產(chǎn)生的虛擬力，

F慣=?ma參考系F慣?=?ma參考系?，其中

mm

是物體的質(zhì)量，

a參考系a參考系?

是參考系的加速度。應(yīng)用實(shí)例：電梯中的物體：電梯加速上升時(shí)，物體受到向上的慣性力。汽車(chē)急剎車(chē)：汽車(chē)急剎車(chē)時(shí)，乘客向前傾斜，受到向后的慣性力。12.3科里奧利力科里奧利力：定義：在旋轉(zhuǎn)參考系中，由于參考系的旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的虛擬力，

F科=?2mω×v相對(duì)F科?=?2mω×v相對(duì)?，其中

mm

是物體的質(zhì)量，

ωω

是參考系的角速度，

v相對(duì)v相對(duì)?

是物體相對(duì)于參考系的速度。應(yīng)用實(shí)例：地球上的大氣運(yùn)動(dòng)：地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的科里奧利力影響大氣運(yùn)動(dòng)，形成風(fēng)向偏轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)木馬：人在旋轉(zhuǎn)木馬上移動(dòng)時(shí)，會(huì)感到側(cè)向的科里奧利力。12.4非慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)方程非慣性參考系中的牛頓第二定律：修正形式：

F外+F慣+F科=ma相對(duì)F外?+F慣?+F科?=ma相對(duì)?，其中

F外F外?

是外力，

F慣F慣?

是慣性力，

F科F科?

是科里奧利力，

a相對(duì)a相對(duì)?

是物體相對(duì)于參考系的加速度。應(yīng)用實(shí)例：旋轉(zhuǎn)平臺(tái)上的物體：物體在旋轉(zhuǎn)平臺(tái)上的運(yùn)動(dòng)，需要考慮慣性力和科里奧利力。旋轉(zhuǎn)機(jī)械：旋轉(zhuǎn)機(jī)械部件的運(yùn)動(dòng)，需要考慮慣性力和科里奧利力的影響。12.5旋轉(zhuǎn)參考系中的力學(xué)問(wèn)題旋轉(zhuǎn)參考系的特性：離心力：由于參考系的旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的虛擬力，

F離=?mω×(ω×r)F離?=?mω×(ω×r)，其中

mm

是物體的質(zhì)量，

ωω

是參考系的角速度，

rr

是物體的位置矢量。有效重力：在旋轉(zhuǎn)參考系中，物體受到的有效重力是重力和離心力的合成，

g有效=g?ω×(ω×r)g有效?=g?ω×(ω×r)。應(yīng)用實(shí)例：地球上的重力：地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力影響地表的重力分布。旋轉(zhuǎn)洗衣機(jī)：洗衣機(jī)內(nèi)的衣物在旋轉(zhuǎn)時(shí)受到離心力的作用，被甩到筒壁上。第十三章：分析力學(xué)基礎(chǔ)13.1拉格朗日方程拉格朗日方程的定義：拉格朗日方程：一種描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的方程，適用于廣義坐標(biāo)和廣義速度。拉格朗日函數(shù)：

L=T?VL=T?V，其中

TT

是系統(tǒng)的動(dòng)能，

VV

是系統(tǒng)的勢(shì)能。拉格朗日方程的形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：

ddt(?L?q˙i)??L?qi=Qidtd?(?q˙?i??L?)??qi??L?=Qi?，其中

qiqi?

是廣義坐標(biāo)，

q˙iq˙?i?

是廣義速度，

QiQi?

是廣義力。應(yīng)用實(shí)例：?jiǎn)螖[：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)拉格朗日方程描述，廣義坐標(biāo)為擺角

θθ。雙擺：雙擺的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)拉格朗日方程描述，廣義坐標(biāo)為兩個(gè)擺角

θ1θ1?

和

θ2θ2?。13.2哈密頓原理哈密頓原理的定義：哈密頓原理：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)路徑使得作用量

SS

取極值，

S=∫L?dtS=∫Ldt。作用量：定義：

S=∫L?dtS=∫Ldt，其中

LL

是拉格朗日函數(shù)，

tt

是時(shí)間。變分原理：

δS=0δS=0，即作用量的變分為零。哈密頓方程：哈密頓函數(shù)：

H=T+VH=T+V，其中

TT

是系統(tǒng)的動(dòng)能，

VV

是系統(tǒng)的勢(shì)能。哈密頓方程：

q˙i=?H?piq˙?i?=?pi??H?，

p˙i=??H?qip˙?i?=??qi??H?，其中

qiqi?

是廣義坐標(biāo)，

pipi?

是廣義動(dòng)量。應(yīng)用實(shí)例：諧振子：諧振子的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)哈密頓方程描述，廣義坐標(biāo)為位移

xx，廣義動(dòng)量為動(dòng)量

pp。行星運(yùn)動(dòng)：行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)哈密頓方程描述，廣義坐標(biāo)為位置矢量

rr，廣義動(dòng)量為動(dòng)量矢量

pp。13.3作用量與變分原理作用量的定義：定義：

S=∫L?dtS=∫Ldt，其中

LL

是拉格朗日函數(shù)，

tt

是時(shí)間。物理意義：作用量是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)路徑的積分，反映了系統(tǒng)的整體行為。變分原理：定義：

δS=0δS=0，即作用量的變分為零。數(shù)學(xué)形式：

δS=∫(?L?qiδqi+?L?q˙iδq˙i)dt=0δS=∫(?qi??L?δqi?+?q˙?i??L?δq˙?i?)dt=0。應(yīng)用實(shí)例：最短路徑：光線(xiàn)在介質(zhì)中的傳播路徑使得光學(xué)路徑長(zhǎng)度取極值。最小作用量原理：自然界中的許多物理過(guò)程都遵循最小作用量原理。13.4正則方程正則方程的定義：正則方程：通過(guò)引入廣義動(dòng)量

pipi?

和廣義坐標(biāo)

qiqi?，將拉格朗日方程轉(zhuǎn)化為一組一階微分方程。形式：

q˙i=?H?piq˙?i?=?pi??H?，

p˙i=??H?qip˙?i?=??qi??H?，其中

HH

是哈密頓函數(shù)。正則變換：定義：通過(guò)變換廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量，使得哈密頓方程的形式保持不變。生成函數(shù)：

F(q,Q,t)F(q,Q,t)，其中

qq

和

QQ

分別是舊廣義坐標(biāo)和新廣義坐標(biāo)。應(yīng)用實(shí)例：簡(jiǎn)諧振子：簡(jiǎn)諧振子的正則方程可以通過(guò)變換廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量簡(jiǎn)化。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的正則方程可以通過(guò)引入歐拉角和角動(dòng)量簡(jiǎn)化。13.5相空間與相軌跡相空間的定義：相空間：由廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量構(gòu)成的空間，描述系統(tǒng)的狀態(tài)。相點(diǎn)：相空間中的一個(gè)點(diǎn)，表示系統(tǒng)在某一時(shí)刻的狀態(tài)。相軌跡：相空間中相點(diǎn)隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡。相空間的應(yīng)用：穩(wěn)定性分析：通過(guò)相軌跡的形狀和性質(zhì)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性?；煦缦到y(tǒng)：通過(guò)相軌跡的復(fù)雜性，研究混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。應(yīng)用實(shí)例：雙擺：雙擺的相軌跡可以顯示系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。非線(xiàn)性振子：非線(xiàn)性振子的相軌跡可以顯示系統(tǒng)的周期性或混沌行為。第十四章：連續(xù)介質(zhì)力學(xué)14.1連續(xù)介質(zhì)的基本假設(shè)連續(xù)介質(zhì)的定義：連續(xù)介質(zhì)：假定物質(zhì)是連續(xù)分布的，不考慮分子結(jié)構(gòu)?；炯僭O(shè)：物質(zhì)是連續(xù)的、均勻的、各向同性的。連續(xù)介質(zhì)的性質(zhì)：密度：

ρρ，單位體積的質(zhì)量，單位是kg/m3。速度：

vv，單位時(shí)間內(nèi)的位移，單位是m/s。應(yīng)力：

σσ，單位面積上的力，單位是Pa（帕斯卡）。14.2應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力：定義：?jiǎn)挝幻娣e上的力，

σ=FAσ=AF?，其中

FF

是力，

AA

是面積。類(lèi)型：正應(yīng)力（法向應(yīng)力）和剪應(yīng)力（切向應(yīng)力）。應(yīng)變：定義：物體變形的程度，

?=ΔLL0?=L0?ΔL?，其中

ΔLΔL

是長(zhǎng)度變化，

L0L0?

是原始長(zhǎng)度。類(lèi)型：線(xiàn)應(yīng)變（縱向應(yīng)變）和剪應(yīng)變（橫向應(yīng)變）。胡克定律：定義：在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，

σ=E?σ=E?，其中

EE

是彈性模量。彈性模量：

EE，反映材料的彈性性質(zhì)，單位是Pa（帕斯卡）。14.3彈性力學(xué)基本方程平衡方程：定義：描述連續(xù)介質(zhì)在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力分布。形式：

??σ+f=0??σ+f=0，其中

ff