2025屆山西省晉中市平遙中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2025屆山西省晉中市平遙中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.2．雙曲線：的實軸長為（）A. B.C.4 D.23．已知是邊長為6的等邊所在平面外一點，，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.4．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.1135．給出如下四個命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準(zhǔn)線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④6．用1，2，3，4這4個數(shù)字可寫出（）個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.647．設(shè)平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.8．盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共個，從中隨機取出個，若是肉餡包子的概率為，不是豆沙餡包子的概率為，則素餡包子的個數(shù)為（）A. B.C. D.9．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.10．2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.11．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.12．直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_________.14．若，，都為正實數(shù)，，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______15．已知點，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為________16．盒子中放有大小和質(zhì)地相同的2個白球、1個黑球，從中隨機摸取2個球，恰好都是白球的概率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左頂點、上頂點和右焦點分別為，且的面積為，橢圓上的動點到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左頂點作兩條互相垂直的直線交橢圓于不同的兩點（異于點）.①證明：動直線恒過軸上一定點；②設(shè)線段中點為，坐標(biāo)原點為，求的面積的最大值.18．（12分）已知拋物線過點，是拋物線的焦點，直線交拋物線于另一點，為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線的方程和焦點的坐標(biāo)；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點使，若存在請求出點坐標(biāo)，若不存在請說明理由.19．（12分）如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點為線段的中點，且（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則三棱錐F-ABC的體積為多少？20．（12分）已知拋物線上的點到焦點的距離為6（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為拋物線的焦點，直線與拋物線交于，兩點，求的面積21．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點（異于橢圓的右頂點），交軸于點，直線與直線相交于點.求證：直線的斜率為定值.22．（10分）已知首項為1的數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求出橢圓的右焦點，從而可求拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，橢圓右焦點坐標(biāo)為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，本題屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的實軸長為2a，而雙曲線中，，所以其實軸長為故選：A3、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計算方法來計算，即可計算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時是時，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.4、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.5、A【解析】對選項①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯誤，對選項②，求出橢圓離心率即可判斷②錯誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯誤?！驹斀狻繉τ冖龠x項，，，故①錯誤；對于②選項，由題知，所以，所以離心率，故②錯誤；對于③選項，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故③正確；對于④選項，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點在軸上，故漸近線方程是，故④錯誤.故選：A6、A【解析】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列，共可寫出個三位數(shù).故選：A7、D【解析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【詳解】由題意可知，即，因為所有的基本事件共有種，其中滿足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D8、C【解析】計算出肉餡包子和豆沙餡包子的個數(shù)，即可求得素餡包子的個數(shù).【詳解】由題意可知，肉餡包子的個數(shù)為，從中隨機取出個，不是豆沙餡包子的概率為，則該包子是豆沙餡包子的概率為，所以，豆沙餡包子的個數(shù)為，因此，素餡包子的個數(shù)為.故選：C.9、D【解析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項公式；【詳解】解：因為①，當(dāng)時，，當(dāng)時②，①②得，所以，當(dāng)時也成立，所以；故選：D10、A【解析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A11、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B12、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如下圖：因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，所以且，所以，又因為的傾斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.14、##【解析】利用等比中項及條件可得，進而可得，再利用基本不等式即得.【詳解】∵，，都為正實數(shù)，，，成等比數(shù)列，∴，又，∴，即，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故答案為：.15、【解析】求得的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點，則問題得解.【詳解】線段中點坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.線段中點坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標(biāo)為.故答案為：.【點睛】本題考查直線方程的求解，直線交點坐標(biāo)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)題意得到，計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）①證明見解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立曲線分別求出點和的坐標(biāo)，求直線方程判斷定點即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意得，，，又，三個式子聯(lián)立解得，，，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】①證明：設(shè)兩條直線分別為和，根據(jù)題意和得斜率存在且不等于；因為，所以設(shè)直線：，直線：；由，解得，所以，同理，.當(dāng)時，，所以直線的方程為：，整理得，此時直線過定點；當(dāng)時，直線的方程為：，此時直線過定點，故直線恒過定點.②根據(jù)題意得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的面積的最大值為：.【點睛】解決直線與橢圓綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題18、（1）拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為（2）存在，且【解析】（1）根據(jù)點坐標(biāo)求得，進而求得拋物線的方程和焦點的坐標(biāo).（2）設(shè)，根據(jù)列方程，化簡求得的坐標(biāo).【小問1詳解】將代入得，所以拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為.【小問2詳解】存在，理由如下：直線的方程為，或，即.拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)，，即，所以.即存在點使.19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）先證線面垂直，再證面面垂直即可解決；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面所成銳二面角的余弦值，列方程解得的長度，即可求得三棱錐F-ABC的體積.【小問1詳解】在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，又所以，即又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，即平面又平面，則平面平面【小問2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系因為，，所以，令則，，，所以，設(shè)為平面的一個法向量，由，得解得，取，則，又是平面的一個法向量.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，即解之得，又，故即20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)焦半徑公式可求，從而可求拋物線的方程.（2）求出的長度后可求的面積.【小問1詳解】因為，所以，故拋物線方程為：.【小問2詳解】設(shè)，且，由可得，故或，故，故，故，而到直線的距離為，故的面積為21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓，可表示出坐標(biāo)，繼而得出直線的方程，令可得的坐標(biāo)，即可求出直線的斜率并得出定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則①，②，又③，由①②③解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明