專題10.7相交線平行線與平移章末重難點突破（舉一反三）（滬科版）

專題10.7相交線、平行線與平移章末重難點突破【滬科版】【考點1相交線中的規(guī)律問題】【例1】（2021秋?市南區(qū)期末）平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最少是m個，最多是n個，則m+n的值為（）A．18 B．20 C．22 D．24【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩兩相交直線交點的個數(shù)所呈現(xiàn)的規(guī)律得出，m、n的值即可．【解答】解：平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最少是1個，即m＝1，平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最多是1+2+3+4+5+6＝21（個），即n＝21，所以m+n＝22，故選：C．【變式11】（2020秋?奉化區(qū)校級期末）觀察如圖，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字：兩條直線相交，最多有1個交點；三條直線相交，最多有3個交點；4條直線相交，最多有6個交點……像這樣，20條直線相交，交點最多的個數(shù)是（）A．100個 B．135個 C．190個 D．200個【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，5條直線相交最多有10個交點，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=12n（n﹣【解答】解：2條直線相交最多有1個交點，1=12×13條直線相交最多有3個交點，3＝1+2=12×24條直線相交最多有6個交點，6＝1+2+3=12×35條直線相交最多有10個交點，10＝1+2+3+4=12×4…n條直線相交最多有交點的個數(shù)是：12n（n﹣120條直線相交最多有交點的個數(shù)是：12n（n﹣1）=12×20×故選：C．【變式12】（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）（1）直線l1與l2是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有一個交點，如果在這個平面內(nèi)，再畫第三條直線l3，則這三條直線最多有3個交點；（2）如果在（1）的基礎(chǔ)上在這個平面內(nèi)再畫第四條直線l4，則這四條直線最多可有6個交點．（3）由（1）（2）我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，n（n＞1）條直線最多有n(n【分析】要探求相交直線的交點的最多個數(shù)，則應(yīng)盡量讓每兩條直線產(chǎn)生不同的交點．根據(jù)兩條直線相交有一個交點，畫第三條直線時，應(yīng)盡量和前面兩條直線再產(chǎn)生2個，即有1+2＝3個交點．依此類推即可找到規(guī)律．【解答】解：（1）三條直線相交交點最多為：1+2＝3；（2）四條直線相交交點最多為：1+2+3＝6；（3）五條直線相交交點最多為：1+2+3+4＝10；六條直線相交交點最多為：1+2+3+4+5＝15；…；n條直線相交交點最多為：1+2+3+…+n﹣1=n故答案為：3，6，n(【變式13】（2021春?自貢期末）同一平面內(nèi)1條直線把平面分成兩個部分（或區(qū)域）；2條直線最多可將平面分成幾個部分？3條直線最多可將平面分成幾個部分？4條直線最多可將平面分成幾個部分？請分別畫出圖來．由此可知n條直線最多可將平面分成幾個部分？【分析】根據(jù)直線兩兩相交，每三條不交于同一點，可把平面分成最多部分，根據(jù)兩條直線最多分成的部分比一條直線分成部分增加2，三條直線最多分成部分比兩條直線最多分成部分增加三，以此類推，可得答案．【解答】解：2條直線最多可將平面分成4個部分，如圖；三條直線最多分成可將平面分成7個部分，如圖；四條直線最多分成可將平面分成11個部分，如圖；n條直線最多分成可將平面分成2+2+3+4+…+n=n【考點2相交線與平行線中的概念判斷】【例2】（2021秋?渝中區(qū)校級期末）下列命題是真命題的有（）（1）過兩點有且只有一條線段；（2）兩點之間直線最短；（3）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（5）平移前后連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共線）且相等．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平移的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）過兩點有且只有一條線段，是真命題；（2）兩點之間線段最短，原命題是假命題；（3）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，原命題是假命題；（4）在同一平面上，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是假命題；（5）平移前后連接各組對應(yīng)點的線段平行（或共線）且相等，是真命題；故選：C．【變式21】（2021秋?南崗區(qū)校級月考）下列語句中：①有公共頂點且相等的角是對頂角；②直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；③互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直；④經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)對頂角、點到直線的距離、鄰補角、垂線解決此題．【解答】解：①具有公共頂點，兩邊互為反向延長線的兩個角為對頂角，故①不正確．②直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，故②不正確．③互為鄰補角的兩個角的和為180°，那么互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直，故③正確．④同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故④不正確．綜上：正確的有③，共1個．故選：A．【變式22】（2021春?饒平縣校級月考）下列說法：①若a與c相交，b與c相交，則a與b相交；②若a║b，b║c，那么a║c；③經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．④兩條直線的位置關(guān)系有平行與相交．其中錯誤的說法有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【分析】利用同一個平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系解答．【解答】解：①若a與c相交，b與c相交，則a與b不一定相交，可能平行，錯誤；②若a║b，b║c，那么a║c，正確；③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；故正確．④在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、兩種；故錯誤，故選：B．【變式23】（2021秋?豐澤區(qū)期末）下列說法：①平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行；②兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；③如果直線a∥b，b∥c，那么a∥c；④直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短；⑤兩平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】依據(jù)平行公理，垂線段最短以及平行線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解答】解：①平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行，原說法正確；②兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，原說法錯誤；③如果直線a∥b，b∥c，那么a∥c，原說法正確；④直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，原說法正確；⑤兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直，原說法正確．其中正確的是①③④⑤，共4個．故選：C．【考點3運用方程思想求角】【例3】（2021春?武昌區(qū)期中）如圖，直線MD、CN相交于點O，OA是∠MOC內(nèi)的一條射線，OB是∠NOD內(nèi)的一條射線，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)對頂角的定義可得∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=12∠COD可得∠（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，利用角的和差運算即可解得x，進(jìn)而可得∠BON的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD=12∠COD∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．【變式31】（2021春?饒平縣校級期末）如圖，AB、CD交于點O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（題中所說的角均是小于平角的角）．（1）求∠AOE的度數(shù)；（2）請寫出∠AOC在圖中的所有補角；（3）從點O向直線AB的右側(cè)引出一條射線OP，當(dāng)∠COP＝∠AOE+∠DOP時，求∠BOP的度數(shù)．【分析】（1）設(shè)∠DOE＝x，則∠AOE＝4x，列方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)補角的定義即可得到結(jié)論；（3）如圖，當(dāng)OP在CD的上方時，當(dāng)OP在CD的下方時，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)∠DOE＝x，則∠AOE＝4x，∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，∴90°﹣4x＝x﹣10°，∴x＝20°，∴∠AOE＝80°；（2）∠AOC在圖中的所有補角是∠AOD，∠BOC，∠BOE；（3）∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°，∴∠AOD＝100°，∴∠AOC＝80°，如圖，當(dāng)OP在CD的上方時，設(shè)∠AOP＝x，∴∠DOP＝100°﹣x，∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，∴80°+x＝80°+100°﹣x，∴x＝50°，∴∠AOP＝∠DOP＝50°，∵∠BOD＝∠AOC＝80°，∴∠BOP＝80°+50°＝130°；當(dāng)OP在CD的下方時，設(shè)∠DOP＝x，∴∠BOP＝80°﹣x，∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，∴100°+x＝80°﹣x，∴x＝50°，∴∠BOP＝30°，綜上所述，∠BOP的度數(shù)為130°或30°．【變式32】（2020春?石城縣期中）平面內(nèi)兩條直線EF、CD相交于點O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如圖1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度數(shù)；（2）在圖1中，若∠AOE＝x°，請求出∠BOD的度數(shù)（用含有x的式子表示），并寫出∠AOE和∠BOD的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，當(dāng)OA，OB在直線EF的同側(cè)時，∠AOE和∠BOD的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生改變？若不變，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若發(fā)生變化，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義和角平分線的定義解答即可；（2）根據(jù)垂線的定義、鄰補角的定義和角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)（1）（2）解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；（2）∵∠AOE＝x°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOD∴∠AOE＝2∠BOD；（3）不變，∠AOE＝2∠BOD．【變式33】（2020秋?南崗區(qū)期中）如圖，直線AB、CD相交于點O，過點O作OE⊥CD．（1）如圖1，求證：∠BOE﹣∠AOC＝90°；（2）如圖2，將射線OB沿著直線CD翻折得到射線OF，即∠BOD＝∠FOD，求證：OE平分∠AOF；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點O作OG⊥AB，當(dāng)∠FOG：∠AOE＝2：3時，求∠COG的度數(shù)．【分析】（1）由垂直的定義及角度的和差計算可得；（2）證明OE平分∠AOF，即證明∠AOE＝∠EOF，通過題目中角度的和差運算可得；（3）設(shè)出∠FOG的度數(shù)，表示出∠AOE的度數(shù)，找到等量關(guān)系，列出等式，求出未知數(shù)的值，即可．【解答】解：（1）如圖，∵AB，CD相交于點O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．（2）如圖，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠EOF+∠FOD＝90°，∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，∵∠BOD＝∠FOD，∴∠FOB＝2∠FOD，∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．（3）如圖，∵∠FOG：∠AOE＝2：3，∴設(shè)∠FOG＝2α，則∠AOE＝3α，∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，∴∠EOG＝∠BOD＝α，∴∠FOD＝∠BOD＝α，∵A，O，B三點在一條直線上，∴3α+α+2α+α＝180°，解得α＝22.5°，∴∠COG＝112.5°．【考點4運用分類討論思想求角】【例4】（2020秋?永嘉縣校級期末）直線AB與直線CD相交于點O，OE平分∠BOD．（1）如圖①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度數(shù)；（2）如圖②，射線OF在∠AOD內(nèi)部．①若OF⊥OE，判斷OF是否為∠AOD的平分線，并說明理由；②若OF平分∠AOE，∠AOF=53∠DOF，求∠【分析】（1）根據(jù)∠BOC＝130°，OE平分∠BOD即可求∠AOE的度數(shù)；（2）①根據(jù)OF⊥OE，OE平分∠BOD，即可判斷OF是∠AOD的平分線；②根據(jù)OF平分∠AOE，∠AOF=53∠DOF，即可求∠【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，∴∠AOD＝∠BOC＝150°，∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝25°∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．答：∠AOE的度數(shù)為155°（2）①OF是∠AOD的平分線，理由如下：∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°∴∠BOE+∠AOF＝90°∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE∴∠DOE+∠AOF＝90°∠DOE+∠DOF＝90°∴∠AOF＝∠DOF∴OF是∠AOD的平分線；②∵∠AOF=53∠設(shè)∠DOF＝3x，則∠AOF＝∠5x，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝5x∴∠DOE＝2x∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝4x5x+3x+4x＝180°∴x＝15°．∴∠BOD＝4x＝60°．答：∠BOD的度數(shù)為60°．【變式41】（2021秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，點O在直線EF上，點A、B與點C、D分別在直線EF兩側(cè)，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．（1）如圖1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，OE平分∠AOD，過點O作射線OG⊥OB，求∠EOG的度數(shù)；（3）如圖3，若在∠BOC內(nèi)部作一條射線OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，試判斷∠AOE與∠DOE的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是360°可得∠AOC的度數(shù)；（2）分兩種情況：當(dāng)OG在EF下方時；當(dāng)OG在EF上方時，計算即可；（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，設(shè)∠DOE＝5α，則∠FOH＝α，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用α表達(dá)出∠COH∠BOC的度數(shù)，求出∠AOE與∠DOE的度數(shù)．【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．（2）當(dāng)OG在EF下方時，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，∴∠AOE∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．當(dāng)OG在EF上方時，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，∴∠AOE∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；（3）設(shè)∠DOE＝5α，則∠FOH＝α，∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，∴∠BOC＝275°﹣15α，∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，∴∠AOE＝10α﹣105°，∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．【變式42】（2020秋?門頭溝區(qū)期末）已知，點O在直線AB上，在直線AB外取一點C，畫射線OC，OD平分∠BOC．射線OE在直線AB上方，且OE⊥OD于O．（1）如圖1，如果點C在直線AB上方，且∠BOC＝30°，①依題意補全圖1；②求∠AOE的度數(shù)（0°＜∠AOE＜180°）；（2）如果點C在直線AB外，且∠BOC＝α，請直接寫出∠AOE的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示，且0°＜∠AOE＜180°）【分析】（1）①依據(jù)OD平分∠BOC，射線OE在直線AB上方，且OE⊥OD于O，進(jìn)行畫圖即可．②依據(jù)角平分線的定義以及垂線的的定義，即可得出∠AOE的度數(shù)；（2）分兩種情況討論：點C在直線AB上方，點C在直線AB下方，分別依據(jù)角平分線的定義以及垂線的的定義，進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）①如圖所示：②∵∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，∴∠BOD=12∠BOC＝∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，又∵點O在直線AB上，∴∠AOE＝180°﹣90°﹣15°＝75°；（2）分兩種情況：①當(dāng)點C在直線AB上方時，如圖1，同理可得，∠BOD=12α，∠DOE∴∠AOE＝180°﹣90°-12α=②當(dāng)點C在直線AB下方時，如圖2，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=12∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝90°-12又∵點O在直線AB上，∴∠AOE＝180°﹣（90°-12α）＝90°+綜上所述，∠AOE的度數(shù)為90°-12α或90°【變式43】（2020秋?金湖縣期末）【問題情境】蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七上第178頁第13題有這樣的一個問題：“如圖1，OC是∠AOB內(nèi)一條射線，OD、OE分別平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度數(shù)”，小明在做題中發(fā)現(xiàn)：解決這個問題時∠AOC的度數(shù)不知道也可以求出∠DOE的度數(shù)．也就是說這個題目可以簡化為：如圖1，OC是∠AOB內(nèi)一條射線，OD、OE分別平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度數(shù)．（1）請你先完成這個簡化后的問題的解答；【變式探究】小明在完成以上問題解答后，作如下變式探究：（2）如圖1，若∠BOC＝m°，則∠DOE＝m2【變式拓展】小明繼續(xù)探究：（3）已知直線AM、BN相交于點O，若OC是∠AOB外一條射線，且不與OM、ON重合，OD、OE分別平分∠AOB、∠AOC，當(dāng)∠BOC＝m°時，求∠DOE的度數(shù)（自己在備用圖中畫出示意圖求解）．【分析】（1）首先假設(shè)∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根據(jù)OD，OE兩條角平分線，推出∠DOE即可；（2）首先假設(shè)∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根據(jù)OD，OE兩條角平分線，用m°表示∠DOE即可；（3）分三種情況討論，第一種：OC在AM上，第二種：OC在AM下側(cè)，∠MON之間，第三種：OC在∠AON之間，即可得到∠DOE，【解答】解：（1）設(shè)∠AOC＝a°，則∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB-=12（a°+90°）-12a（2）設(shè)∠AOC＝a°，則∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB-=12（a°+m°）-12故答案為：m2（3）①當(dāng)OC在AM上，即OC在∠BOM之間，設(shè)∠AOC＝a°，則∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE=12∠AOB-=12（a°+m°）-12②當(dāng)OC在直線AM下方，且OC在∠MON之間時，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD=12∠AOC+12∠AOB=12∠③當(dāng)OC在直線AM下方，且OC在∠AON之間時，由②得，∠BOC＝m°，∠DOE=12∠AOC+12∠AOB=綜上所述，∠DOE=m°2或180°【考點5填寫推理過程】【例5】（2021秋?皇姑區(qū)期末）填空，完成下列說理過程：如圖，直線EF和CD相交于點O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOE＝40°．求∠BOD的度數(shù)．解：∵∠AOE＝40°（已知）∴∠AOF＝180°﹣∠AOE（鄰補角定義）＝180°﹣40°＝140°∵OC平分∠AOF（已知）∴∠AOC=12∠AOF＝70°（∵∠AOB＝90°（已知）∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC（平角的定義）＝180°﹣90°﹣70°＝20°【分析】由鄰補角的定義可得∠AOF＝140°，再由角平分線的定義得∠AOC＝70°，再由一平角等于180°即可求解．【解答】解：∵∠AOE＝40°（已知）∴∠AOF＝180°﹣∠AOE（鄰補角定義）＝180°﹣40°＝140°∵OC平分∠AOF（已知）∴∠AOC=12∠AOF＝∵∠AOB＝90°（已知）∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC（平角的定義）＝180°﹣90°﹣70°＝20°．故答案為：∠AOE；40；140；70；角平分線的定義；平角的定義；70；20．【變式51】（2020秋?皇姑區(qū)期末）已知直線AB和CD相交于點O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度數(shù)．解：∵∠COE＝90°，∠COF＝34°（已知）．∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣34°＝56°．∵OF平分∠AOE（已知）．∴∠AOE＝2∠EOF（角平分線定義）．∵點O是直線AB上一點（已知）．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝68°（平角定義）．∵點O是直線CD上一點（已知），∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣90°﹣68°＝22°（平角定義）．【分析】由于∠COE是直角，∠COF＝34°，由此即可求出∠EOF＝90°﹣34°＝56°，由于OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF＝56°，由于∠COF＝34°，由此即可求出∠AOC＝56°﹣34°＝22°，進(jìn)而求解．【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∵點O是直線AB上一點，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝68°，∵點O是直線CD上一點，∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣90°﹣68°＝22°．故答案為：∠EOF，EOF，68°，68°，22°．【變式52】（2021春?普陀區(qū)校級月考）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請說明AE∥GF的理由．解：因為∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補角的定義），所以∠BAG＝∠AGC（同角的補角相等）．因為EA平分∠BAG，所以∠1=12∠BAG（因為FG平分∠AGC，所以∠2=12∠AGC得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥GF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【分析】根據(jù)鄰補角的定義及題意得出∠BAG＝∠AGC，再根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因為∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（鄰補角的定義），所以∠BAG＝∠AGC（同角的補角相等），因為EA平分∠BAG，所以∠1=12∠因為FG平分∠AGC，所以∠2=12∠得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥GF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；鄰補角的定義；同角的補角相等；∠BAG；角平分線的定義；∠AGC；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【變式53】（2021秋?泉州期末）填空：（將下面的推理過程及依據(jù)補充完整）如圖，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，那么EF平分∠DEB嗎？解：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠1＝∠2（角平分線的定義），∵AC∥DE（已知），∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3（等量代換），∵CD∥EF（已知），∴∠4＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠2＝∠5（兩直線平行，同位角相等），∴∠4＝∠5（等量代換）．∴EF平分∠DEB．【分析】利用角平分線的定義、平行線的性質(zhì)等知識點，逐個分析得結(jié)論．【解答】解：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠1＝∠2（角平分線的定義），∵AC∥DE（已知），∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3（等量代換），∵CD∥EF（已知），∴∠4＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠2＝∠5（兩直線平行，同位角相等），∴∠4＝∠5（等量代換）．故答案為：角平分線的定義；3；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同位角相等．【考點6平行線的判定與性質(zhì)綜合證明題】【例6】（2021春?鎮(zhèn)江期中）已知：如圖所示，∠BAC和∠ACD的平分線交于E，AE交CD于點F，∠1+∠2＝90°．（1）求證：AB∥CD；（2）試探究∠2與∠3的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根據(jù)∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD＝180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵∠BAC和∠ACD的平分線交于E，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠1，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2+∠3＝90°．【變式61】（2021秋?建寧縣期末）如圖，一條直線分別與直線BE、直線CE、直線BF、直線CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求證：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．【分析】（1）由∠1＝∠2直接可得結(jié)論；（2）根據(jù)BF∥EC，∠B＝∠C，可得∠B＝∠BFD，從而AB∥CD，即得∠A＝∠D．【解答】證明：（1）∵∠1＝∠2（已知），∴BF∥EC（同位角相等，兩直線平行）；（2）∵BF∥EC（已證），∴∠C＝∠BFD（兩直線平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠A＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．【變式62】（2021秋?九龍縣期末）如圖，已知點A在EF上，點P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求證：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求證：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，結(jié)合對頂角相等可得∠E＝∠BQM，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可證明結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義可得∠PGC＝90°，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得∠EAC+∠C＝180°，結(jié)合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等兩直線平行可得AB∥FP，進(jìn)而可證明結(jié)論；（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補可判定AB∥FP，結(jié)合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）證明：∵FP⊥AC，∴∠PGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠EAC+∠C＝180°，∵∠2+∠C＝90°，∴∠BAC＝∠PGC＝90°，∴AB∥FP，∴∠1＝∠B；（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．【變式63】（2021秋?安居區(qū)期末）如圖，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD與BC平行嗎？請說明理由．（2）AB與EF的位置關(guān)系如何？為什么？（3）若BE平分∠ABC．試說明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．【分析】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°結(jié)合鄰補角互補，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，兩直線平行”可得出AD∥BC；（2）根據(jù)角平分線的定義及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可得出AB∥EF；（3）①由AB∥EF，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得出∠ABE＝∠E，結(jié)合角平分線的定義可得出∠ABC＝2∠E；②由AD∥BC，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再結(jié)合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC，∴AD∥BC．（2）AB∥EF，理由如下：∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∴∠BAF=12∠BAD＝∠∴AB∥EF．（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠E．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．②∠E+∠F＝90°，理由如下：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°．∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∴2∠E+2∠F＝180°，∴∠E+∠F＝90°．【考點7平行線中的輔助線構(gòu)造】【例7】（2021秋?西鄉(xiāng)縣期末）（1）【問題】如圖1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度數(shù)；（2）【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．【分析】（1）過點P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，進(jìn)而可求解；（2）過P點作PN∥AB，則PN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，結(jié)合PN∥CD可求解；（3）過點G作AB的平行線GH．由平行線的性質(zhì)可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，結(jié)合角平分線的定義，利用角的和差可求解．【解答】解：（1）如圖1，過點P作PQ∥AB，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴CD∥PQ．∴∠CFP+∠FPQ＝180°∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，又∵PQ∥AB，∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，理由：如圖2，過P點作PN∥AB，則PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如圖3，過點G作AB的平行線GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，∴∠HGE＝∠AEG=12∠AEP，∠HGF＝∠CFG=1同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF=12（∠P+∠AEP）=12（α∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE=12（α+∠AEP）=12α+12∠【變式71】（2021秋?濟(jì)陽區(qū)期末）如圖，AB∥CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一個動點P，滿足0°＜∠EPF＜180°．（1）試問：∠AEP，∠CFP，∠EPF滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點P是平行線AB，CD之間一動點，因此需對點P的位置進(jìn)行分類討論．①如圖1，當(dāng)點P在EF的左側(cè)時，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖2，當(dāng)點P在EF的右側(cè)時，直接寫出∠AEP，∠CFP，∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系為∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．（2）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB，∠PFD，且點P在EF左側(cè)．①若∠EPF＝100°，則∠EQF的度數(shù)為130°；②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）①過點P作PH∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可求解；②過點P作PH∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合角平分線的定義可求解；②設(shè)：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，則可求∠P，∠Q，即可求解．【解答】解：（1）①如圖1，當(dāng)點P在EF的左側(cè)時，過點P作PH∥AB，則PH∥CD，∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，當(dāng)點P在EF的右側(cè)時，過點P作PM∥AB，則PM∥CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案為：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①∠EPF＝100°，則∠EQF＝130°，由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，故答案為130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°．理由：如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，設(shè)：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，則∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠Q＝α+β，即：∠EPF+2∠EQF＝360°．【變式72】（2021秋?農(nóng)安縣期末）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠【分析】（1）過點P作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度數(shù)；（2）過點P作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，又∠FPA＝∠DPF﹣APD，即可得出∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；（3）PD交AN于點O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN+12∠PAB＝∠APD得出∠PAN+12∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA=12∠PAB，由對頂角相等得出∠NOD=12∠PAB，由角平分線的性質(zhì)得出∠ODN=12∠PDC，即∠AND＝180°-12（∠PAB+∠PDC），由（2【解答】解：（1）如圖1，過點P作EF∥AB，∵∠A＝50°，∴∠APE＝∠A＝50°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD＝180°，∵∠D＝150°，∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；（2）如圖2，過點P作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，∵∠FPA＝∠DPF﹣APD，∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°，∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，故答案為：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；（3）如圖3，PD交AN于點O，∵AP⊥PD，∴∠APO＝90°，∵∠PAN+12∠PAB＝∠∴∠PAN+12∠PAB＝∵∠POA+∠PAN＝90°，∴∠POA=12∠∵∠POA＝∠NOD，∴∠NOD=12∠∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=12∠∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN＝180°-12（∠PAB+∠由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，∴∠AND＝180°-12（∠PAB+∠＝180°-12（180°+∠＝180°-12（180°＝45°．【變式73】（2021秋?南崗區(qū)校級期中）已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．【分析】（1）過點C作CM∥AB，可得∠ABC＝∠BCM，再由平行線的性質(zhì)得∠CDE＝∠DCM，則可求得∠ABC＝∠BCD+∠CDE；（2）過點C作CN∥AB，可證得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，結(jié)合垂線，從而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；（3）延長HG交EF于點Q，過點G作GP∥EF，不難證得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分線的定義得∠ABH=12∠ABC，∠EFG=12∠CFD，可得∠FGQ=12（∠【解答】（1）證明：過點C作CM∥AB，如圖1，∴∠ABC＝∠BCM，∵AB∥ED，∴∠CDE＝∠DCM，∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：過點C作CN∥AB，如圖2，∴∠ABC＝∠BCN，∵AB∥ED，∴CN∥EF，∴∠F＝∠FCN，∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，∴∠ABC＝∠BCF+∠F，∵CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ABC＝90°+∠F，即∠ABC﹣∠F＝90°；（3）延長HG交EF于點Q，過點G作GP∥EF，如圖3，∴∠BGD＝∠CGQ，∵AB∥DE，∴∠ABH＝∠EQG，∵GP∥EF，∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，∴∠PGQ＝∠ABH，∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，∵BH平分∠ABC，F(xiàn)G平分∠CFD，∴∠ABH=12∠ABC，∠EFG=1∴∠FGQ=12∠ABC-12∠CFD=1由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，∴∠FGQ=12×90即∠BGD﹣∠CGF＝45°．【考點8與平行線有關(guān)的實際問題】【例8】（2021秋?羅湖區(qū)期末）請解答下列各題：（1）閱讀并回答：科學(xué)實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．如圖1，一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射．此時∠1＝∠2，∠3＝∠4．①由條件可知：∠1＝∠3，依據(jù)是兩直線平行，同位角相等，∠2＝∠4，依據(jù)是等量代換．②反射光線BC與EF平行，依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．（2）解決問題：如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若b射出的光線n平行于m，且∠1＝42°，則∠2＝84°；∠3＝90°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)逐一求解可得；（2）根據(jù)入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根據(jù)平行線性質(zhì)即可求出∠2，求出∠5，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠3即可．【解答】解：（1）①由條件可知：∠1＝∠3，依據(jù)是：兩直線平行，同位角相等；∠2＝∠4，依據(jù)是：等量代換；②反射光線BC與EF平行，依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行；故答案為：①兩直線平行，同位角相等；等量代換．②同位角相等，兩直線平行．（2）如圖，∵∠1＝42°，∴∠4＝∠1＝42°，∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°，∵m∥n，∴∠2+∠6＝180°，∴∠2＝84°，∴∠5＝∠7=180°-∠2∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°．故答案為：84°，90°．【變式81】（2021秋?嵩縣期末）圖1展示了光線反射定律：EF是鏡面AB的垂線，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與垂線EF所夾的銳角θ1＝θ2．（1）在圖1中，證明：∠1＝∠2．（2）圖2中，AB，BC是平面鏡，入射光線m經(jīng)過兩次反射后得到反射光線n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判斷直線m與直線n的位置關(guān)系，并說明理由．（3）圖3是潛望鏡工作原理示意圖，AB，CD是平行放置的兩面平面鏡．請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系解答即可；（2）求出∠5+∠6＝180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平均的定義得到∠5＝∠6，根據(jù)平行線的判定得出即可．【解答】（1）證明：∵∠AFE＝∠BFE＝90°，∵θ1＝θ2．∴∠1＝∠2；（2）解：直線m∥直線n，理由：如圖2，∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∴∠5+∠6＝180°，∴直線m∥直線n；（3）解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∴m∥n．【變式82】（2020秋?開江縣期末）當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等．例如：在圖①、圖②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．設(shè)鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α．（1）如圖①，若α＝90°，判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關(guān)系，并說明理由．（2）如圖②，若90°＜α＜180°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH＝β．探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖③，若α＝130°，設(shè)鏡子CD與BC的夾角∠BCD為鈍角，入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光線EF從鏡面AB開始反射，經(jīng)過n（n為正整數(shù)，且n≤3）次反射，當(dāng)?shù)趎次反射光線與入射光線EF平行時，請直接寫出∠BCD的度數(shù)（可用含x的代數(shù)式表示）．【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，進(jìn)而可得EF∥GH；（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α與β的數(shù)量關(guān)系；（3）分兩種情況畫圖討論：①當(dāng)n＝3時，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等，及△GCH內(nèi)角和，可得γ＝90°+m．②當(dāng)n＝2時，如果在BC邊反射后與EF平行，則α＝90°，與題意不符；則只能在CD邊反射后與EF平行，根據(jù)三角形外角定義，可得∠G＝γ﹣50°，由EF∥HK，且由（1）的結(jié)論可得，γ＝140°．【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∵α＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴EF//GH；（2）β＝2α﹣180°．理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，∴∠2＝∠MEB，∴∠MEG＝2∠2，∵∠3＝∠4，∠4＝∠MGB∴∠3＝∠MGB，∴∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；（3）90°+m或140°．理由如下：①當(dāng)n＝3時，如下圖所示：∵∠BEG＝∠1＝x，∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣x，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2x，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣x），∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，則∠GHK＝120°，則∠GHC＝30°，由△GCH內(nèi)角和，得γ＝90°+x．②當(dāng)n＝2時，如果在BC邊反射后與EF平行，則α＝90°，與題意不符；則只能在CD邊反射后與EF平行，如下圖所示：根據(jù)三角形外角定義，得∠G＝γ﹣＝50°，由EF∥HK，且由（1）的結(jié)論可得，∠G＝γ﹣50°＝90°，則γ＝140°．綜上所述：γ的度數(shù)為：90°+x或140°．【變式83】（2021春?廣寧縣期末）“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）如圖2，①若燈B射線先轉(zhuǎn)動30s，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，設(shè)燈A轉(zhuǎn)動t秒（0＜t＜90），則∠MAM'＝（2t）°，∠PBP'＝（30+t）°；（用含t的式子表示）②在①的條件下，若AM′∥BP'，則t＝30秒．（3）如圖3，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）①根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可求出；②若AM′∥BP'，則∠M′AB＝∠P′BA，又QP∥MN，所以∠PBA＝∠MAB，所以∠M′AM＝∠PBP′，進(jìn)而求解；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，根據(jù)∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×13故答案為：60°；（2）①設(shè)燈A轉(zhuǎn)動t秒（0＜t＜90），則∠MAM'＝（2t）°，∠PBP'＝（30+t）°，故答案為：（2t）°，（30+t）°；②若AM′∥BP'，則∠M′AB＝∠P′BA，又∵QP∥MN，∴∠PBA＝∠MAB，∴∠PBA﹣∠M′AB＝∠MAB﹣∠P′BA，∴∠M′AM＝∠PBP′，∴2t＝30+t，∴t＝30；（3）不發(fā)生變化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD．【考點9平行線中的旋轉(zhuǎn)問題】【例9】（2021秋?三水區(qū)期末）將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，設(shè)∠ACE＝x．（1）填空：∠BCE＝90°﹣x，∠ACD＝90°﹣x；（用含x的代數(shù)式表示）（2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE的度數(shù)；（3）若三角板ABC不動，三角板DCE繞頂點C轉(zhuǎn)動一周，當(dāng)∠BCE等于多少度時CD∥AB？【分析】（1）根據(jù)題意直接得出即可；（2）先得出∠BCD＝180°﹣x，再根據(jù)∠BCD＝5∠ACE解得x的值即可；（3）分情況討論求值即可．【解答】解：（1）由題知，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣x，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣x，故答案為：90°﹣x，90°﹣x；（2）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD＝90°+（90°﹣x）＝180°﹣x，∵∠BCD＝5∠ACE，∴180°﹣x＝5x，解得x＝30°，即∠ACE＝30°；（3）若CD∥AB分以下兩種情況：①如圖①，此時∠BCD+∠B＝180°，∵∠B＝60°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°+∠BCE，∴（90°+∠BCE）+60°＝180°，∴∠BCE＝30°；②如備用圖所示，此時∠BCD＝∠B＝60°，∵∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BCE＝90°+60°＝150°，綜上，當(dāng)∠BCE等于30或150度時CD∥AB．【變式91】（2021秋?太倉市期末）如圖所示，已知直線AB∥直線CD，直線EF分別交直線AB、CD于點A，C．且∠BAC＝60°，現(xiàn)將射線AB繞點A以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時計旋轉(zhuǎn)得到射線AM．同時射線CE繞點C以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時針旋轉(zhuǎn)得到射線CN，當(dāng)射線CN旋轉(zhuǎn)至與射線CA重合時，則射線CN、射線AM均停止轉(zhuǎn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（秒）．（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線AM與射線CN相交，設(shè)交點為P．①當(dāng)t＝20（秒）時，則∠CPA＝40°；②若∠CPA＝70°，求此時t的值；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）①當(dāng)t＝20（秒）時，∠ECP＝60°，∠BAP＝40°，可得∠CAP＝20°，即得∠CPA＝∠ECP﹣∠CAP＝40°；②根據(jù)∠BAM＝2t°，∠ECN＝3t°，且AB∥CD，∠BAC＝60°，可得（60°﹣2t°）+（180°﹣3t°）+70°＝180°，即可解得t＝26；（2）分兩種情況：分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)，找到相等的角列方程，即可解得答案．【解答】解：（1）①如圖：當(dāng)t＝20（秒）時，∠ECP＝20×3°＝60°，∠BAP＝20×2°＝40°，∵∠BAC＝60°，∴∠CAP＝∠BAC﹣∠BAP＝20°，∴∠CPA＝∠ECP﹣∠CAP＝40°，故答案為：40°；②如圖：根據(jù)題意知：∠BAM＝2t°，∠ECN＝3t°，∵AB∥CD，∠BAC＝60°，∴∠CAP＝60°﹣2t°，∠ACP＝180°﹣3t°，∵∠CPA＝70°，∴（60°﹣2t°）+（180°﹣3t°）+70°＝180°，解得t＝26，∴t的值是26；（2）存在AM∥CN，分兩種情況：（Ⅰ）如圖：∵AM∥CN，∴∠ECN＝∠CAM，∴3t°＝60°﹣2t°，解得t＝12，（Ⅱ）如圖：∵AM∥CN，∴∠ACN＝∠CAM，∴180°﹣3t°＝2t°﹣60°，解得t＝48，綜上所述，t的值為12或48．【變式92】（2021春?醴陵市期末）錢塘江汛期來臨前，防汛指揮部準(zhǔn)備在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是3度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN．（1）當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動t秒時（0＜t＜60），用t的代數(shù)式表示燈A射線轉(zhuǎn)動的角度大??；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？【分析】（1）根據(jù)燈A轉(zhuǎn)動的速度是3度/秒，A燈轉(zhuǎn)動t秒，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜60時，②當(dāng)60＜t＜120時，③當(dāng)120＜t＜150時，3t﹣360＝t+30，根據(jù)平行線的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）解：∵燈A轉(zhuǎn)動的速度是3度/秒，A燈轉(zhuǎn)動t秒，∴燈A射線轉(zhuǎn)動的角度大小為3t（0＜t＜60）；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜60時，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴3t＝（30+t）×1，解得t＝15；②當(dāng)60＜t＜120時，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD+∠CAN＝180°；∴3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，解得t＝82.5；③當(dāng)120＜t＜150時，3t﹣360＝t+30，解得t＝195＞150（不合題意），綜上所述，當(dāng)t＝15秒或82.5秒時，兩燈的光束互相平行．【變式93】（2021春?萊山區(qū)期末）我區(qū)正在打造某河流夜間景觀帶，計劃在河兩岸設(shè)置兩座可以旋轉(zhuǎn)的射燈．如圖1，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是2度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒，假定河兩岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）∠BAN＝60度．（2）燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN需要90秒；（3）若燈B射線BD（交MN于點D）先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線AC（交PQ于點C）才開始轉(zhuǎn)動．設(shè)AC轉(zhuǎn)動時間為t秒，當(dāng)AC到達(dá)AN之前時，如圖2所示．①∠PBD＝t+30度，∠MAC＝2t度（用含有t的代數(shù)式表示）；②求當(dāng)AC轉(zhuǎn)動幾秒時，兩燈的光束射線AC∥BD？（4）在BD到達(dá)BQ之前，是否還存在某一時刻，使兩燈的光束射線AC∥BD？若存在，直接寫出轉(zhuǎn)動時間，若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）求出燈A射線轉(zhuǎn)動180°所需時間即可；（3）①用速度乘以每條光線轉(zhuǎn)動的時間即可得答案；②設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，當(dāng)AC到達(dá)AN之前，即0＜t＜90時，兩燈的光束互相平行，根據(jù)2t＝1?（30+t），即可解得t＝30；（4）當(dāng)90＜t＜150時，根據(jù)1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×13故答案為：60；（2）燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN，旋轉(zhuǎn)了180°，∴所需時間為180÷2＝90（秒），故答案為：90；（3）①∵燈B射線BD（交MN于點D）先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線AC（交PQ于點C）才開始轉(zhuǎn)動．設(shè)AC轉(zhuǎn)動時間為t秒，∴∠PBD＝（t+30）°，∠MAC＝2t°，故答案為：t+30，2t；②設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，當(dāng)AC到達(dá)AN之前，即0＜t＜90時，兩燈的光束互相平行，理由如下：如圖：∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1?（30+t），解得t＝30（秒）；（4）BD到達(dá)BQ之前，即90＜t＜150時，還存在某一時刻，使兩燈的光束射線AC∥BD，如圖：∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110（秒）．【考點10與平行線有關(guān)的綜合題】【例10】（2021秋?豐澤區(qū)期末）已知AB∥CD，點M在直線AB上，點N、Q在直線CD上，點P在直線AB、CD之間，連接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如圖①．（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度數(shù)（用含α，β的式子表示）；（2）過點Q作QE∥PN交PM的延長線于點E，過E作EF平分∠PEQ交PQ于點F，如圖②，請你判斷EF與PQ的位置關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接EN，如圖③，若∠NEF=12∠PMA，求證：NE平分∠【分析】（1）過點P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，即可求得∠MPQ＝α+β，再根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，進(jìn)而可得EF與PQ的位置關(guān)系；（3）結(jié)合（2）和已知條件根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE=12∠PMA，可得∠NQE+2∠QNE＝180°，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠QNE＝∠NEQ，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PNE＝∠【解答】解：（1）過點P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，∵PQ平分∠MPN，∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；（2）如圖②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，∵∠NEF=12∠∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE=12∠即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，∴∠NQE+2∠QNE＝180°，∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，∴∠QNE＝∠NEQ，∵QE∥PN，∴∠PNE＝∠QEN，∴∠PNE＝∠QNE，∴NE平分∠PNQ．【變式101】（2020秋?仁壽縣期末）如圖①．已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于點B，過點B作BD⊥AM于點D，設(shè)∠BCN＝α．（1）若α＝30°，求∠ABD的度數(shù)；（2）如圖②，若點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，使得BE平分∠ABD、BF平