專題01全等模型-倍長中線與截長補短(原卷版)_第1頁
專題01全等模型-倍長中線與截長補短(原卷版)_第2頁
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專題01全等模型倍長中線與截長補短全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位,也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容,本專題就全等三角形中的重要模型(倍長中線模型、截長補短模型)進行梳理及對應試題分析,方便掌握。模型1.倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一,在利用中線解決幾何問題時,常常采用“倍長中線法”添加輔助線.所謂倍長中線法,就是將三角形的中線延長一倍,以便構(gòu)造出全等三角形,從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法.(注:一般都是原題已經(jīng)有中線時用,不太會有自己畫中線的時候)?!境R娔P图白C法】1、基本型:如圖1,在三角形ABC中,AD為BC邊上的中線.證明思路:延長AD至點E,使得AD=DE.若連結(jié)BE,則;若連結(jié)EC,則;2、中點型:如圖2,為的中點.證明思路:若延長至點,使得,連結(jié),則;若延長至點,使得,連結(jié),則.3、中點+平行線型:如圖3,,點為線段的中點.證明思路:延長交于點(或交延長線于點),則.例1.(2023·成都市·八年級課時練習)【閱讀理解】課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:如圖,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:如圖,延長AD到點E,使DE=AD,連結(jié)BE.請根據(jù)小明的方法思考:(1)由已知和作圖能得到的理由是(

).A.SSS

B.SAS

C.AAS

D.ASA(2)AD的取值范圍是(

).A.

B.

C.

D.(3)【感悟】解題時,條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣,可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中.【問題解決】如圖,AD是△ABC的中線,BE交AC于點E,交AD于F,且AE=EF.求證:AC=BF.例2.(2022·河南南陽·中考模擬)【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第69頁的部分內(nèi)容:如圖,在中,D是邊BC的中點,過點C畫直線CE,使,交AD的延長線于點E,求證:證明∵(已知)∴,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).在與中,∵,(已證),(已知),∴,∴(全等三角形的對應邊相等).(1)【方法應用】如圖①,在中,,,則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是______.(2)【猜想證明】如圖②,在四邊形ABCD中,,點E是BC的中點,若AE是的平分線,試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(3)【拓展延伸】如圖③,已知,點E是BC的中點,點D在線段AE上,,若,,求出線段DF的長.例3.(2022·貴州畢節(jié)·二模)課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:(1)如圖1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD到點E,使DE=AD,請根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程.(2)如圖2,AD是△ABC的中線,BE交AC干E,交AD于F,且AE=EF.請判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.例4.(2022·山東·安丘市一模)閱讀材料:如圖1,在中,D,E分別是邊AB,AC的中點,小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半”時,通過延長DE到點F,使,連接CF,證明,再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證.類比遷移:(1)如圖2,AD是的中線,E是AC上的一點,BE交AD于點F,且,求證:.小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明.證明:如圖2,延長AD至點M,使,連接MC,……請根據(jù)小亮的思路完成證明過程.方法運用:(2)如圖3,在等邊中,D是射線BC上一動點(點D在點C的右側(cè)),連接AD.把線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE,F(xiàn)是線段BE的中點,連接DF、CF.請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.模型2.截長補短模型【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程,截長補短法(往往需證2次全等)。截長:指在長線段中截取一段等于已知線段;補短:指將短線段延長,延長部分等于已知線段。【常見模型及證法】(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段,再證剩下的那一段等于另一短線段。例:如圖,求證BE+DC=AD方法:=1\*GB3①在AD上取一點F,使得AF=BE,證DF=DC;=2\*GB3②在AD上取一點F,使DF=DC,證AF=BE(2)補短:將短線段延長,證與長線段相等例:如圖,求證BE+DC=AD方法:=1\*GB3①延長DC至點M處,使CM=BE,證DM=AD;=2\*GB3②延長DC至點M處,使DM=AD,證CM=BE例1.(2022秋·山東八年級課時練習)如圖所示,平分平分;(1)求與的數(shù)量關(guān)系,并說明你的理由.(2)若把條件去掉,則(1)中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?并說明你的理由.例2.(2022秋·重慶市·八年級專題練習)如圖,在中,,平分.(1)如圖1,若,求證:;(2)如圖2,若,求的度數(shù);(3)如圖3,若,求證:.例3.(2023·廣西·九年級專題練習)在四邊形ABDE中,C是BD邊的中點.(1)如圖(1),若AC平分∠BAE,∠ACE=90°,則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為;(直接寫出答案);(2)如圖(2),AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120°,則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論并證明.例4.(2022秋·綿陽市·八年級期末)(1)閱讀理解:問題:如圖1,在四邊形中,對角線平分,.求證:.思考:“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題.方法1:在上截取,連接,得到全等三角形,進而解決問題;方法2:延長到點,使得,連接,得到全等三角形,進而解決問題.結(jié)合圖1,在方法1和方法2中任選一種,添加輔助線并完成證明.(2)問題解決:如圖2,在(1)的條件下,連接,當時,探究線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)問題拓展:如圖3,在四邊形中,,,過點D作,垂足為點E,請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系.課后專項訓練:1.(2022·四川成都·八年級期中)如圖中,點為的中點,,,,則的面積是______.2.(2023·江蘇·八年級假期作業(yè))如圖,與有一條公共邊AC,且AB=AD,∠ACB=∠ACD=x,則∠BAD=________.(用含有x的代數(shù)式表示)3.(2022·北京·中考真題)在中,,D為內(nèi)一點,連接,,延長到點,使得(1)如圖1,延長到點,使得,連接,,若,求證:;(2)連接,交的延長線于點,連接,依題意補全圖2,若,用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系,并證明.4.(2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習)我們規(guī)定:有兩組邊相等,且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形.如圖,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,回答下列問題:(1)求證:△OAC和△OBD是兄弟三角形.(2)“取BD的中點P,連接OP,試說明AC=2OP.”聰明的小王同學根據(jù)所要求的結(jié)論,想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法,解決了這個問題,按照這個思路回答下列問題.①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO,并證明BE=OD;②求證:AC=2OP.5.(2022·全國·八年級專題練習)如圖1,在中,是邊的中線,交延長線于點,.(1)求證;(2)如圖2,平分交于點,交于點,若,,求的值.6.(2022·浙江臺州·八年級階段練習)八年級一班數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動,請你和他們一起活動吧.(1)【閱讀理解】如圖1,在中,若,.求邊上的中線的取值范圍.小聰同學是這樣思考的:延長至E,使,連接.利用全等將邊轉(zhuǎn)化到,在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍.在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是______;中線的取值范圍是______.(2)【理解與應用】如圖2,在中,點D是的中點,點M在邊上,點N在邊上,若.求證:.(3)【問題解決】如圖3,在中,點D是的中點,,,其中,連接,探索與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.7.(2022·山東臨沂·八年級期末)(1)問題解決:如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=α,∠BCD=180°﹣α,BD平分∠ABC.①如圖1,若α=90°,根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得AD=CD,這個性質(zhì)是;②在圖2中,求證:AD=CD;(2)拓展探究:根據(jù)(1)的解題經(jīng)驗,請解決如下問題:如圖3,在等腰△ABC中,∠BAC=100°,BD平分∠ABC,求證BD+AD=BC.8.(2022·北京·九年級專題練習)如圖,在三角形中,,,是邊的高線,將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接交于點F.(1)依題意補全圖形,寫出____________°(2)求和的度數(shù);(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.9.(2022·吉林·公主嶺市范家屯鎮(zhèn)第二中學校九年級期末)我們定義:如圖1,在中,把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接.當時,我們稱是的“旋補三角形”,邊上的中線叫做的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.特例感知:(1)在圖2,圖3中,是的“旋補三角形”,是的“旋補中線”.①如圖2,當為等邊三角形時,與的數(shù)量關(guān)系為________;②如圖3,當時,則長為___________.猜想論證:(2)在圖1中,當為任意三角形時,猜想與的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.10.(2022·湖北孝感·八年級期中)(1)感知:如圖1,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知DB,DC數(shù)量關(guān)系為:.(2)探究:如圖2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,(1)中的結(jié)論是否成立?請作出判斷并給予證明.(3)應用:如圖3,在四邊形ABCD中,DB=DC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,DE⊥AB于點E,試判斷AB,AC,BE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.11.(2022·遼寧大連·八年級期末)已知點D是△ABC外一點,連接AD,BD,CD,.(1)【特例體驗】如圖1,AB=BC,α=60°,則∠ADB的度數(shù)為;(2)【類比探究】如圖2,AB=BC,求證:∠ADB=∠BDC;(3)【拓展遷移】如圖3,α=60°,∠ACB+∠BCD=180°,CE⊥BD于點E,AC=kDE,直接寫出的值(用k的代數(shù)式表示).12.(2022秋·重慶八年級課時練習)在中,BE,CD為的角平分線,BE,CD交于點F.(1)求證:;(2)已知.①如圖1,若,,求CE的長;②如圖2,若,求的大?。?3.(2022秋·遼寧鞍山·八年級校考期中)如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱,E是線段BD與直線AP的交點.(1)若∠DAE=15°,求證:△ABD是等腰直角三角形;(2)連CE,求證:BE=AE+CE.14.(2022秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在中,是上一點,連接,已知,,是的中線.求證:.(提示:延長至,使,連接)15.(2023春·成都市·七年級專題練習)(1)如圖1,在A

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