專題26特殊的平行四邊形-正方形（原卷版）

專題26特殊的平行四邊形正方形【考查題型】【知識(shí)要點(diǎn)】正方形的定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

正方形的性質(zhì)：1）正方形具有平行四邊形和菱形的所有性質(zhì)。2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。3）正方形對(duì)邊平行且相等。4）正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；

5）正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.正方形的判定：1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；3）一組鄰邊相等的矩形是正方形；4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.正方形的面積公式：邊長×邊長＝×對(duì)角線×對(duì)角線考查題型一利用正方形的性質(zhì)求線段長典例1．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形，形成一個(gè)“方勝”圖案，則點(diǎn)D，之間的距離為（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm變式11．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長度為（

）A． B． C． D．變式12．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長為（）A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6變式13．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．變式14．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過點(diǎn)作，垂足為，則的長為（

）A． B． C． D．變式15．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝________．變式16．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，，則___________；若的面積等于1，則的值是___________．變式17．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個(gè)邊長為的正方形活動(dòng)框架（邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）扭動(dòng)成四邊形，對(duì)角線是兩根橡皮筋，其拉伸長度達(dá)到時(shí)才會(huì)斷裂．若，則橡皮筋_____斷裂（填“會(huì)”或“不會(huì)”，參考數(shù)據(jù)：）．變式18．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為______．變式19．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．(1)求證；(2)已知平行四邊形ABCD的面積為，．求的長．考查題型二利用正方形的性質(zhì)求面積典例2．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，和交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（不與，重合），交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交直線于點(diǎn)，．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．變式21（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為6的正方形中，以為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是（

）A．9 B．6 C．3 D．12變式22．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形，則它們的公共部分的面積等于（

）A．1﹣ B．1﹣ C． D．變式23．（2021·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)．以C為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以E、F為圓心，1為半徑作圓弧、，則圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π變式24．（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．變式25．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，那么__．考查題型三與正方形有關(guān)的折疊問題典例3．（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一張長方形紙對(duì)折，再對(duì)折，然后沿圖中虛線剪下，剪下的圖形展開后可得到（

）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五邊形變式31．（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（

）A．2 B．2 C．6 D．5變式32．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，延長交線段于點(diǎn)P，若，則的長度為___________．變式33．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP//EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為________．變式34．（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片折疊（），使落在上，為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在一個(gè)平面上，E點(diǎn)不動(dòng)，將邊折起，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)G處，連接，若，，則的長為________．考查題型四添加一個(gè)條件使四邊形是正方形典例4．（2021·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：a.兩組對(duì)邊分別相等

b.一組對(duì)邊平行且相等c.一組鄰邊相等

d.一個(gè)角是直角順次添加的條件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c則正確的是：（

）A．僅① B．僅③ C．①② D．②③變式41．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件______，使矩形是正方形．考查題型五與正方形有關(guān)的證明典例5．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，．求證：四邊形是正方形．變式51．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的角平分線，，，垂足分別是E、F，連接，與相交千點(diǎn)H．（1）求證：；（2）滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？說明理由．變式52（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）問題解決：如圖1，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，與相交于點(diǎn)，，求的長．變式53．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的角平分線交于點(diǎn)D，．（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）若，且，求四邊形的面積．考查題型六正方形性質(zhì)與判定綜合典例6．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，平分，分別交，于點(diǎn)，，延長交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是_________．（填序號(hào)即可）．變式61．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接并延長交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號(hào)即可）．變式62．（2021·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形外取一點(diǎn)，連接，，，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，若，．下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到直線的距離為；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為______．變式63．（2021·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若正方形的邊長為2，則的周長是______．（2）下列結(jié)論：①；②若是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是______（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．變式64．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知