專題04 高一上期中考前必刷卷02（全解全析）2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中考試（人教A版2019必修第一冊）

第第頁專題04高一上期中考前必刷卷02注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019必修第一冊第一章~第三章。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】并集的概念及運算【分析】利用并集的運算即可求解.【詳解】.故選：B.2．使“”成立的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】判斷命題的充分不必要條件、分式不等式【分析】先解分式不等式，求得解集，依題意，只需使選項的范圍是該解集的真子集即得.【詳解】由，得，解得，則選項中的的范圍組成的集合是的真子集，由選項知，選項均不滿足，選項B滿足.故使“”成立的一個充分不必要條件可以是“”.故選：B.3．已知，若的解集為，則函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【知識點】函數(shù)對稱性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識別【分析】根據(jù)已知函數(shù)的解集，再結(jié)合函數(shù)關(guān)于y軸對稱得出圖象.【詳解】由的解集為，可知函數(shù)的大致圖象為選項D中的圖象，又函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱,可得出圖象為C選項.故選:C．4．已知函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求函數(shù)值【分析】根據(jù)題意分別令、和，運算求解即可.【詳解】因為，令，可得；令，可得；兩式相加可得，令，可得；則，即.故選：D.5．在上定義運算“”：，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】根據(jù)規(guī)定的新定義運算法則化簡不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正確答案【詳解】根據(jù)給出在上定義運算，由得，解之得，故該不等式的解集是．故選：B6．定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，當時，.不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】由奇函數(shù)的定義可得，根據(jù)已知條件確定函數(shù)在不同區(qū)間的符號，通過不等式性質(zhì)解不等式可得所求解集.【詳解】由奇函數(shù)的定義可得，當時，則，，當時，則，，由或，根據(jù)分析可得解集為.故選：C7．已知函數(shù)滿足：對任意，當時，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】利用增函數(shù)的定義并結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即可.【詳解】對任意，當時都有成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.8．已知為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】把化簡為為，然后利用基本不等式即可求出最小值【詳解】因為，則，由于，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知命題：，，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍可能是（）A． B．C． D．【答案】BCD【知識點】含有一個量詞的命題的否定的應(yīng)用【分析】先根據(jù)命題是假命題得到對應(yīng)的真命題，然后利用判別式完成計算，從而確定出的可能范圍.【詳解】因為命題是假命題，所以可知“,”為真命題，所以，所以，又因為“”可以推出“”，“”可以推出“”，故選：BCD.10．下列說法中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BCD【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定選項即可.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，可知，不等式兩側(cè)同乘以，有，故B正確；對于C，利用作差法知，由，，知，即，故C正確；對于D，由，知，由不等式同向可加性的性質(zhì)知D正確.故選：BCD11．已知函數(shù)的定義域為，若，且在上單調(diào)遞增，，則（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．【答案】ABD【知識點】比較函數(shù)值的大小關(guān)系、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求函數(shù)值【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合賦值法計算判斷ABC；結(jié)合選項C的結(jié)論，分段探討的取值情況判斷D.【詳解】對于A，令，得，則，由在上單調(diào)遞增，得不恒為1，因此，A正確；對于B，令，得，則，而，因此，B正確；對于C，，取，則，即有，因此函數(shù)是偶函數(shù)，又時，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，C錯誤；對于D，，令，則，當時，；當時，，，，因此，當時，，，所以，D正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設(shè)全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合的真子集個數(shù)的最大值與最小值的差為.【答案】【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、交并補混合運算【分析】根據(jù)陰影部分進行分類討論，由此求得正確答案.【詳解】陰影部分表示，若，真子集有個.若，真子集有個.所以真子集個數(shù)的最大值與最小值的差為.故答案為：13．函數(shù)，，若，使成立，則的取值范圍是．【答案】【知識點】根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及二次函數(shù)單調(diào)性分別求得兩函數(shù)值域，再根據(jù)題意得出兩值域的包含關(guān)系即可得出的取值范圍.【詳解】由以及可得；再由以及可得；若，使成立可得，即，解得；又，因此的取值范圍是.故答案為：14．記為兩數(shù)的最大值，當正數(shù)變化時，的最小值為．【答案】4【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意分析可得，結(jié)合基本不等式運算求解，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可知：，且，則，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當，即時，等號成立，且，當且僅當，即時，等號成立，綜上所述：當時，可得，即，此時，所以的最小值為4.故答案為：4.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知集合.（1）若中沒有元素，求實數(shù)的取值集合；（2）若中只有一個元素，求實數(shù)的取值集合.【答案】（1）；（2）.【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)【分析】（1）分和兩種情況討論，當時，由一元二次方程中根的判別式建立不等式解之可得答案.（2）分和兩種情況討論，當時，由一元二次方程中根的判別式建立方程解之可求得實數(shù)的取值集合.【詳解】（1）對于方程，若，則，不合題意，故，此時方程是關(guān)于的一元二次方程.集合中沒有元素，則，即.所以實數(shù)的取值集合為.（2）對于方程，若，則，符合題意；若，方程是關(guān)于的一元二次方程.中只有一個元素，即，即.綜上，實數(shù)的取值集合為.16．（15分）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)判斷并證明的單調(diào)性；【答案】(1)(2)為增函數(shù)，證明見解析【知識點】由奇偶性求參數(shù)、由奇偶性求函數(shù)解析式、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性及已知條件代入即可求出未知參量，從而得出.（2）先下結(jié)論，再根據(jù)單調(diào)性的定義法判斷的單調(diào)性.【詳解】（1）由題函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，又由，得，解得，所以，則定義域為，且，所以.（2）在區(qū)間上為增函數(shù).證明如下：設(shè)，則，由，得，即，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.17．（15分）中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為．(1)當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低?(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求a的取值范圍．【答案】(1)長度為4米時，報價最低(2)【知識點】基本不等式的恒成立問題、基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）首先由題意抽象出甲工程隊的總造價的函數(shù)，再利用基本不等式求最值，結(jié)合等號成立的條件，即可求解；（2）由（1）可知，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求最值的問題.【詳解】（1）設(shè)甲工程隊的總造價為元，依題意，左右兩面墻的長度均為（），則屋子前面新建墻體長為，則即，當且僅當，即時，等號成立，故當左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為元；（2）由題意可知，當對任意的恒成立，即，所以，即，，當，，即時，的最小值為12，即，所以的取值范圍是.18．（17分）定義在上的函數(shù)滿足對任意的，都有，且當時，．(1)證明：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)證明：在上是增函數(shù)；(3)若，對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點】函數(shù)不等式恒成立問題、函數(shù)奇偶性的定義與判斷、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）令可得，再令，結(jié)合奇函數(shù)定義，即可證明；（2）設(shè)任意且，作差，結(jié)合條件賦值法可證明，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可得證；（3）可轉(zhuǎn)化為即，結(jié)合性質(zhì)所證明性質(zhì)求出，再主元變換解決關(guān)于的函數(shù)恒成立問題，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）令，得，，，令，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)；（2）設(shè)任意且，由題意，，又由（1）是奇函數(shù)，得，，，已知當時，，從而有，故，即，在上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在上也單調(diào)遞增，故在上是增函數(shù)；（3）對任意恒成立，即，由（2）得，在上是增函數(shù)，所以當時，，又（1）可知，函數(shù)是奇函數(shù)，則，即.所以對任意恒成立，設(shè)，，要使恒成立，則，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．19．（17分）若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上單調(diào)，且函數(shù)值在上的取值范圍是（m是常數(shù)），則稱函數(shù)具有性質(zhì)M．(1)當時，函數(shù)是否具有性質(zhì)M？若具有，求出區(qū)間；若不具有，說明理由；(2)若定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)M，求m的取值范圍．（本題中函數(shù)的單調(diào)性不必給出證明）【答案】(1)在區(qū)間上具有性質(zhì)M(2)．【知識點】函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域與單調(diào)性，根據(jù)題意，解得即可;（2）分為和兩