新人教A版必修一 基本不等式 學案

2019-2020學年新人教A版必修一基本不等式學案

1.基本不等式:錯誤!W錯誤！

(1)基本不等式成立的條件：4>0,b>0.

(2)等號成立的條件:當且僅當a=b時取等號.

2.幾個重要的不等式

(1)a2-\-b2^2ah(a,/?GR).

(2)錯誤！十錯誤！》2(。，b同號).

(3)abW錯誤!2(4,/>€R).

hr

(4)—5一2錯誤!2(a,6eR).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設a>0,b>0,則mb的算術平均數(shù)為錯誤！，幾何平均數(shù)為錯誤！，基本不等式可敘述為兩

個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

己知尤>0,y>0,貝I」

(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值2W。(簡記：積定和最小)

(2)如果和x+v是定值仄那么當且僅當x=y時,孫有最大值錯誤！。(簡記:和定積最大)

佚口識拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立問題

(1)恒成立問題:若f(X)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式_/(X)>A在區(qū)間D上恒成立<=VU)min〉

A(xeD)；

若式X)在區(qū)間。上存在最大值，則不等式y(tǒng)(x)(B在區(qū)間D上恒成立Of(x)max<B(xGD).

(2)能成立問題：若/(X)在區(qū)間。上存在最大值，則在區(qū)間。上存在實數(shù)x使不等式

成立0f(X)max>A(XWC)；

若犬X)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)X使不等式/(x)<B成立㈡ZU)min〈8

(xWD).

(3)恰成立問題:不等式/(x)〉A恰在區(qū)間D上成立/(X)〉4的解集為D；

不等式兀0<8恰在區(qū)間。上成立/(x)〈3的解集為D.

F基礎自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“或"X")

(1)函數(shù)y=x+錯誤!的最小值是2。(X)

(2)函數(shù)段)=cosx+錯誤!,xC錯誤!的最小值等于4.(X)

(3)“Q0且)>0"是“錯誤！+錯誤！22"的充要條件.(X)

(4)若a〉0,則/+錯誤!的最小值為2錯誤!.(X)

(5)不等式a2+b2^2ab與等》錯誤!有相同的成立條件.(X)

(6)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.(J)

題組二教材改編

2.設x>0,y〉0,且x+y=18,則孫的最大值為()

A.80B.77C.81D.82

答案C

解析Vx)0,)>0,，錯誤！N錯誤!，

即母W錯誤!2=81,

當且僅當x=y=9時，(xy)max=81。

3.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是n^。

答案25

解析設矩形的一邊為xm,

則另一邊為錯誤！X(20—2r)=(10-x)m,

(10-x)W錯誤!2=25,

當且僅當X=10—X,即X=5時，)，max=25.

題組三易錯自糾

4.“X〉0”是“x+錯誤！22成立”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案C

解析當x>0時,x+錯誤！>2錯誤！=2。

因為x,錯誤！同號,所以若x+錯誤！22,則x>0,錯誤!>0,所以“x>0”是“x+錯誤！22

成立”的充要條件，故選C。

5.設公0,則函數(shù)產(chǎn)x+錯誤！一錯誤!的最小值為()

A.0B.錯誤！

C.1D.錯誤！

答案A

解析y=x+錯誤！一錯誤！=錯誤！+錯誤!一2

22錯誤！-2=0,當且僅當x+錯誤！=錯誤！，即尸錯誤！時等號成立.

?,?函數(shù)的最小值為0。故選A.

6.若正數(shù)x,y滿足3x+y=5孫則4x+3y的最小值是()

A.2B.3

C.4D.5

答案D

解析由3x+y=5盯，得怨？=錯誤！+錯誤！=5,

所以4x+3y=(4x+3y)?錯誤!錯誤！

=錯誤!錯誤！

(4+9+2錯誤！)=5,

當且僅當錯誤！=錯誤！，即y=2r時，"="成立，

故4x+3y的最小值為5.故選D。

題型分類深度剖析

------------------------------------------真題典題深度剖析重點難點多維探究-----------------

多維

題型一利用基本不等式求最值的究

命題點1通過配湊法利用基本不等式

典例(1)已知0G<1廁x(4—3x)取得最大值時x的值為.

答案錯誤！

解析x(4-3x)=錯誤!—(3x)(4-3x)W錯誤!?錯誤!?=錯誤！，

當且僅當3x=4—3x,即％=錯誤！時，取等號.

(2)函數(shù)y=錯誤！(x>l)的最小值為.

答案2小+2

解析y=錯誤！=錯誤！

=錯誤！

(%—1)+了_]+222"\/5+2。

3

當且僅當》一1=七,即》=錯誤！+1時，等號成立.

x-\

命題點2通過常數(shù)代換法利用基本不等式

典例(2017?河北衡水中學調(diào)研)若例0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),則的最小值為

0

A.8B.6

C.4D.2

答案C

解析由1ga+lg6=lg（a+b）,得lg（ab）=lg（a+6）,即岫=a+b,則有1+/=l，所以a

+〃=錯誤?。╝+6）=2+錯誤！+錯誤！22+2錯誤！=4,當且僅當a=b=2時等號成立,

所以〃+匕的最小值為4,故選C。

思維升華（1）應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等

（2）在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，

然后再利用基本不等式.

（3）條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)"1”代換的

方法構造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求最值.

跟蹤訓練（1）若對任意不等式x+錯誤！恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

答案錯誤！

解析因為函數(shù)<x）=x+錯誤！-1在［1,+8）上是增加的，所以函數(shù)g（x）=x+i+錯誤!

—2在［0,+8）上是增加的，所以函數(shù)g（x）在［1,+8）上的最小值為g（1）=錯誤！，因

此對任意不等式x+錯誤！一1》■恒成立，所以〃<8。）?^=錯誤！，故實數(shù)a的取值

范圍是錯誤！。

（2）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=3,則錯誤！+錯誤！的最小值為.

答案錯誤！

解析?+錯誤!=錯誤！+錯誤!=錯誤!+錯誤！+錯誤！22錯誤!+錯誤！=錯誤！，當且僅

當錯誤！=錯誤！，即》=錯誤!y時等號成立，所以錯誤！+錯誤！的最小值為錯誤!.

題型二基本不等式的實際應用-師生共研

典例（2017?淄博質(zhì)檢）某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投

入成本為C（x）,當年產(chǎn)量不足80千件時，C（尤）=錯誤!f+10x（萬元）.當年產(chǎn)量不小于

80千件時，C（x）=51x+錯誤！-1450（萬元）.每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析,

該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.

（1）寫出年利潤L（%）（萬元）關于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；

（2）當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

解（1）因為每件商品售價為0。05萬元，則x千件商品銷售額為0。05X1000x萬元，依題

意得當0<x<80時，

L（x）=lOOOxXO.05一錯誤！一250

=—yv+40x—250；

當x280時，

L(x)=1OOOxXOo05一錯誤！一250

=1200一錯誤!.

'.L(x)=錯誤！

⑵當0〈x<80時，L(x)=一錯誤!(x-60)2+950.

對稱軸為x=60,

即當x=60時,L(x)max=950萬元；

當x280時，L(X)=1200一錯誤！

W1200—2410000=1000(萬元)，

當且僅當X=100時，L(X)max=10。。萬元，

綜上所述，當年產(chǎn)量為100千件時，年獲利潤最大.

思維升華(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.

跟蹤訓練(2017?江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，

一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是

答案30

解析一年的總運費為6X錯誤!=錯誤!(萬元).

一年的總存儲費用為4x萬元.

總運費與總存儲費用的和為錯誤!萬元.

因為錯誤！+4x22錯誤！=240,

當且僅當錯誤！=4x,即x=30時取得等號，

所以當x=30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小.

多維

題型三基本不等式的綜合應用

探究

命題點1基本不等式與其他知識交匯的最值問題

典例(1)(2018屆山東、湖北重點中學調(diào)研)已知函數(shù)式x)=lgx,若a泌>0,有1刎|=I

f(b)\,則錯誤！(i是虛數(shù)單位)的取值范圍為()

A.(1,+°°)B.[1,+°°)

C.(2,+8)D.[2,+8)

答案C

解析因為次x)=lgx,由，(°)|=型)|,可得。>1〉h)0,所以1g“=-1g6,得曲=因

所以錯誤！=錯誤！=a+b=a+錯誤!〉2,故選C.

2

(2)已知圓G：(x+2a)2+y2=4和圓C2：^+(y-h)=l只有一條公切線，若WR且MW0,

則錯誤！+錯誤!的最小值為()

A.2B.4C.8D.9

答案D

解析由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圓的標準方程分別為(x+2a)2+/=4,F+(y—b)2-1,

圓心分別為(一2m0),(0力),半徑分別為2和1,故有錯誤!=1,...4/+〃=],.?.錯誤!+

錯誤！=錯誤!(4〃2+/)=5+錯誤！+錯誤！25+4=9,當且僅當錯誤！=錯誤！時，等號成立，

+錯誤！的最小值為9.

命題點2求參數(shù)值或取值范圍

典例(1)已知a>0,m0,若不等式錯誤！+錯誤！》錯誤!恒成立，則〃?的最大值為()

A.9B.12C.18D.24

答案B

解析由錯誤！+錯誤！，錯誤！，

得mW(a+3b)錯誤！=錯誤！+錯誤！+6。

又錯誤！+錯誤！+622錯誤！+6=12

錯誤!，

機的最大值為12.

(2)己知函數(shù)/(X)=錯誤!(adR),若對于任意的xGN+五x)23恒成立，則。的取值范圍是

答案錯誤！

解析對任意x￡N+,段)23恒成立，

f+cix+11

即一恒成立，即知?！芬诲e誤！+3。

設g(x)=x+錯誤！，xWN+,則g(2)=6,g(3)=錯誤！.

：g(2)>g(3),；.g(X)min=錯誤!,

...一錯誤！+3W一錯誤！，

???”》一錯誤！，故。的取值范圍是錯誤!.

思維升華(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用

基本不等式求解.

(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.

(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的

值或范圍.

跟蹤訓練(1)(2018屆遼寧名校聯(lián)考)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,

且2sinCeosB=2sinA+sinB,c=3ab,則ab的最小值為.

答可

解析在△ABC中，由A+B+C=7t,

可知sinA=sin［兀一(B+C)］=sin(B+C),

/.2sinCeosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,

化簡得一2sinBcosC=sin8,

VsinB>Q,cosC=一錯誤！，

c=3岫,由余弦定理得c2=a2+〃-2abeosC,

即9a2/=a2+/+a02：3ab,當且僅當&=匕時等號成立.

而》錯誤!，則ab的最小值為錯誤!.

(2)(2018屆江西新余第一中學模擬)函數(shù)y="r">(),的圖像恒過定點A,若點4在

直線,nx+〃y—1=0上，且肛〃為正數(shù)，則錯誤！+錯誤！的最小值為.

答案4

解析?.?函數(shù)>=儲=(加0,aWl)的圖像恒過定點A,(1,1)」.?點A在直線

—1=0_L(/M,n>0),

.,.m+n=l(m,〃>0)，，錯誤！+錯誤！=(〃?+〃)錯誤！=2+錯誤！+錯誤！32+2錯誤！=4,

當且僅當〃?=”=錯誤！時取等號，.?.錯誤！+錯誤！的最小值為4.

■現(xiàn)場糾錯>

利用基本不等式求最值

典例⑴已知X〉0,y>0,且錯誤！+錯誤！=1,則x+y的最小值是.

(2)函數(shù)y=l一左一錯誤!(x<0)的值域為.

錯解展示

12

(1)Vx>0,y)0,1=：+:22錯誤！，

xy

錯誤！》2錯誤!,.”十/2錯誤！=4錯誤！，

.*.x+y的最小值為4錯誤！。

3

(2)?.?2x+1》2錯誤！，.?.〉=l-2x一錯誤!W1—2錯誤!.

，函數(shù)y=1-2x一錯誤!(x〈0)的值域為(—8,1-2錯誤?。?

錯誤答案(1)4錯誤！(2)(—8,1—2錯誤?。?/p>

現(xiàn)場糾錯

解析(l)Vx>0,y>0,

，x+y=(x+y)錯誤！

=3+錯誤！+錯誤！》3+2錯誤!(當且僅當y=錯誤!x時取等號)，

...當x=錯誤！+1,y=2+錯誤！時，(x+y)min=3+2錯誤！.

(2)；x<0,；.y=l-2x一錯誤！=1+(一功+錯誤！力+2錯誤！=1+2錯誤！，當且僅當x

=—錯誤！時取等號，故函數(shù)y=l—2x—錯誤!(x(0)的值域為[1+2錯誤！，+?>).

答案(1)3+2錯誤!(2)[1+2錯誤!,+8)

糾錯心得利用基本不等式求最值時要注意條件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要

驗證等號成立的條件.

課時作業(yè)

X基礎保分練

1.(2017?孝感調(diào)研)ua)b>0”是"Hx錯誤!''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案A

解析由a〉b)0,可知片+廬火時，充分性成立，由錯誤!，可知6GR,故必要性

不成立，故選A.

2.下列不等式一定成立的是0

A.1g錯誤!>lgx(x>0)

B.sinx+錯誤！》2(xWE,kGZ)

C.x2+1N2Ix|(xCR)

D.^7>1(XGR)

答案c

解析當X〉0時，錯誤！22欠錯誤！=x,

所以1g錯誤！》lgx(x〉0),當且僅當尤=錯誤！時，等號成立,故選項A不正確；

運用基本不等式時需保證“一正”“二定”“三相等”，

而當時，sinx的正負不定，

故選項B不正確；

由基本不等式可知，選項C正確；

當x=0時，有錯誤！=1,故選項D不正確.

3.(2018?青島質(zhì)檢)已知a>0,b>0,a+b=2,則y=錯誤！+錯誤!的最小值是()

A.錯誤！B.4Co錯誤！D.5

答案C

解析依題意，得錯誤！+錯誤！=錯誤!錯誤!?(〃+與

=錯誤!錯誤！》錯誤!錯誤！=錯誤！，

當且僅當錯誤！即。=錯誤！，6=錯誤！時取等號，

即錯誤！+錯誤!的最小值是錯誤!.

4.(2017?安慶二模)已知加0,b>0,a+b=錯誤！+錯誤！，則錯誤！+錯誤！的最小值為

()

A.4B.2錯誤！C.8D.16

答案B

解析由“〉0力>0,a+b=5+R錯誤!，得必=1,則錯誤!+錯誤！>2錯誤！=2錯誤!.當且

僅當錯誤！=錯誤！，即〃=錯誤!力=錯誤！時等號成立.故選B.

5.若實數(shù)a,。滿足錯誤！+錯誤！=錯誤！，則他的最小值為()

Aoy[2B.2C.2錯誤！D.4

答案C

解析由錯誤！+錯誤！=錯誤!知,a>0,b>0,所以錯誤！=錯誤！+錯誤！22錯誤!，即必22

錯誤！，當且僅當錯誤！

即片錯誤！，6=2錯誤!時取“=”，所以曲的最小值為2錯誤！。

6.(2018?平頂山一模)若對任意X〉0,錯誤！Wa恒成立，則a的取值范圍是()

A.a》錯誤!B.而錯誤！

C.錯誤！D.aW錯誤！

答案A

解析因為對任意公0,錯誤!Wa恒成立，

所以對任意xG(0,+8),心錯誤!max,

而對任意xW(0,+°o),

百七7=錯誤!W錯誤!=錯誤!，

當且僅當欠=錯誤!，即x=l時等號成立,錯誤!.

7.已知2"+，=2(a,〃WR),則a+2b的最大值為.

答案0

解析2"+4"=2"+22&=222錯誤！，2"⑵Wl=2°,a+2b^0,當a=2b時等號成立，所以

a+2匕的最大值為0。

8.(2017.襄陽一調(diào))已知x>—1,y〉0且滿足x+2y=1,則錯誤！+錯誤!的最小值為.

答案錯誤！

解析,?'%)—1,y)0且滿足x+2y=l,

...x+l>0,且(x+l)+2y=2,

???錯誤!+錯誤！=錯誤！[(x+l)+2y]錯誤！

=錯誤！+錯誤!錯誤！

N錯誤！+錯誤！X2錯誤!=錯誤!，

當且僅當錯誤！即錯誤！時取等號，

故錯誤！+錯誤!的最小值為錯誤！。

9.已知x,且滿足/+與，+4y2=6,則z=d+4y2的取值范圍為.

答案[4,12]

解析=6—(x2+4y2),而ZxyW錯誤！，

6—Q2+4)2)W錯誤!，

，f+49》4(當且僅當x=2y時取等號).

又：(x+2y)2=6+2刈20,

即2xy^—6,.'.z=x2+4y2—6—2xy^：12

(當且僅當x=-2y時取等號).

綜上可知，4W/+4y2^12.

10.(2017?成都診斷)某工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運費與工廠和倉庫之

間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比,當工廠和倉庫之間的距離為4千

米時,運費為20萬元，倉儲費為5萬元，當工廠和倉庫之間的距離為千米時，運費

與倉儲費之和最小，最小為萬元.

答案220

解析設工廠和倉庫之間的距離為x千米，運費為％萬元，倉儲費為以萬元，

則yi=*ix(&W0),”=錯誤!(飽W0),

?.?工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費為5萬元，...由=5,依=20,

運費與倉儲費之和為錯誤!萬元，

?；5x+錯誤！22錯誤！=20,當且僅當5工=錯誤！，即x=2時，運費與倉儲費之和最小，為

20萬元.

11.已知X〉0,y〉0,且2x+5y=20。

(1)求w=lgx+lgy的最大值；

(2)求:+錯誤!的最小值.

解(l)Vx)0,yX),

...由基本不等式，得2x+5y22錯誤!.

?.?2x+5y=20,；.2錯誤！W20,xyWIO,

當且僅當2x=5y時，等號成立.

因此有錯誤!解得錯誤！

此時孫有最大值10.

，“=lgx+lgy=lg(肛)Wig10=1.

，當x=5,y=2時，“=lgx+1gy有最大值1.

(2)Vx)0,y〉0,

，錯誤！+錯誤！=錯誤!?錯誤！

=錯誤!錯誤！》錯誤!錯誤！=錯誤!，

當且僅當苫=錯誤！時，等號成立.

由錯誤!解得錯誤！

錯誤！+錯誤！的最小值為錯誤！。

12.某工廠有100名工人接受了生產(chǎn)1000臺某產(chǎn)品的總任務，每臺產(chǎn)品由9個甲型裝置和

3個乙型裝置配套組成，每個工人每小時能加工完成1個甲型裝置或3個乙型裝置.現(xiàn)將工

人分成兩組分別加工甲型和乙型裝置.設加工甲型裝置的工人有x人，他們加工完甲型裝置

所需時間為“小時，其余工人加工完乙型裝置所需時間為攵小時.設式x)=有+大

⑴求/(x)的解析式，并寫出其定義域；

(2)當x等于多少時/(X)取得最小值？

解(1)因為A=錯誤！，

攵=錯誤！=錯誤！，

所以負x)=八+/2=錯誤！+錯誤！，

定義域為｛x|l〈xW99j6N+).

(2求>)=錯誤！+錯誤！

=10[x+(100—x)]錯誤！

=10錯誤!,

因為lWx<99,xGN+,

所以錯誤!>0,錯誤！〉0,

所以錯誤！+錯誤！

22錯誤！=6,

當且僅當錯誤！=錯誤！，即當x=75時取等號.

即當x=75時，