（2021-2023年）三年高考數(shù)學(xué)真題分類（共9個專題）

三年(2021?2023)年高考真題分類匯編

專

題1

集合與常用邏輯用語....................................................1

專

題2

函數(shù)的基本概念與基本初等函數(shù)1............................................................................................................4

專

題3

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用..........................................................16

專

題4

立體幾何.............................................................35

專題5

平面解析幾何..........................................................67

題

專6

三角函數(shù)及解三角形...................................................

題

專799

數(shù)列.................................................................

題

專8116

題

專9計數(shù)原理、概率及統(tǒng)計................................................131

平面向量、不等式及復(fù)數(shù)..............................................146

專題1集合與常用邏輯用語

1.（2023?上海）已知尸={1,2},Q={2,3},若知="|X￡P(guān)，x^Q},則M=（）

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}

【解析】P={1,2},e={2,3},M={X|XGP,X^Q],

???A/={1}.

故選：A.

2.（2023?新高考II）設(shè)集合4={0,-a}tB={\,a—2,2a-2},若AqB,貝ija=（）

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【解析】依題意，a-2=0或為-2=0,

當a-2=0時，解得a=2,

此時A={0,-2},B={\,0,2},不符合題意；

當2々一2=0時，解得〃

此時4={0,-1},B={\,-1,0）,符合題意.

故選：B.

2

3.（2021?上海）已知集合A={x|x>—1,XG/?},B={x\x-x-2..0txeR],則下列關(guān)系

中，正確的是（）

A.AcBB.翔AqRBC.4B=0D.=R

【解析】已知集合A={x|x>-1,xeR},3={x|%2一工一2..0,xe/?）?

解得8={x|x..2或工，-1,XG/?},

a4={%|用，一1,xe/?!,<SKB={x|-1<x<2}；

則A[B=R,B={x\x..2}t

故選：D.

4.(2022?浙江)設(shè)集合A={1,2},B={2,4,6},貝|生,8=()

A.{2}B.{1,2)C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}

【解析】?A={1,2},3={2,4,6},

A、，B={1,2,4,6),

故選：D.

5.(2023?新高考I)己知集合加={-2,-1,0,1,2},2V={x|x2-x-6..0},則Mf,N=(

)

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2)C.{-2}D.{2}

【解析】x2-X-6..0,(x-3)(x+2)..O,二了..3或x,-2,

N=S，-2JJL3,+oo),則Mf[N={-2}.

故選：C.

6.(2022?上海)若集合A=[-l,2),B=Z,則A「'B=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1}

【解析】A=[-l,2),B=Z,

AfB={-1,0,1},

故選：B.

7.(2022?新高考I)若集合”={x[&<4},N={x|3x..l},則〃C汽=()

A.{x|0?x<2}B.{x|g,,x<2}C.{x|3?x<16}D.{x|x<16}

【解析】由石<4,得Q,x<16,M={x|?<4}={x|0,,x<16},

由3x..l,得x..g,.?.N={x|3xfia}={x|xg},

:.M[)N={x[(^ik<16)P|{xkg}={x|g?x<16}.

故選：D.

8.(2022?新高考H)已知集合4={-1，1,2,4},B={x||x-l|?1},則AfB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【解析】解得：晦出2,

集合3={x|(W2}

A,B={1,2}.

故選：B.

9.(2021?新高考I)設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則Af8=()

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

【解析】?集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},

ACB=[2,3).

故選：C.

10.(2021?浙江)設(shè)集合A={x|x..l},B={x\-\<x<2},則叫B=()

A.{x|x>-l}B.{x|x.l}C.{x|-1<x<1}D.{x|1?x<2]

【解析】因為集合A={x|x..l},B={x\-l<x<2],

所以哨3={x|l,,x<2}.

故選：D.

11.(2021?上海)已知A={x|2%，1},3={-1,0,1},則AB=.

【解析】因為A={x|2遇4}={x|xg},B={-1,0,1),

所以=0}.

故答案為：{-1,0}.

12.(2021?新高考II)若全集U={1,2,3,4,5,6),集合A={1,3,6},B={2,3,41,

則人「即3=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3)

【解析】因為全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4),

所以,B={1，5,6},

故始28={1,6}.

故選：B.

專題2函數(shù)的基本概念與基本初等函數(shù)I

L(2。23?上海)已知函數(shù),={；：，

,則函數(shù),f(x)的值域為

【解析】當用,0時，/(x)=1>

當x>0時，/(x)=2'>l,

所以函數(shù)/(X)的值域為[1，+00).

故答案為：[1,y).

2.(2022?上海)設(shè)函數(shù)f(x)滿足/(x)=/(」一)對任意xe[0,+8)都成立，其值域是&■,

1+X

已知對任何滿足上述條件的f(x)都有{y|y=/(x),嶗ka}=Af,則a的取值范圍為

【解析】法一：令x=」-,解得x=e二1(負值舍去)，

x+12

當王￡[0,石]時,x=-!—G[——-,1],

22七+12

當,￡(石11+8)時,M=—^￡(0,耳，,

2x}+12

且當司￡(苴一^,+00)時，總存在“2=一二，使得/(與)=/(尤2)，

2Xj4-12

故,yIy=/a),o5x'Jv小211=&，

若"亞2、易得/(丹」)任3y=f(x)，噴ka],

所以a…或二1,

2

即實數(shù)〃的取值范圍為[告L+oo);

法二：原命題等價于任意a>0,/'(x+a)=/(---),

\+x+a

所以---京！h=>x,一(1+a)恒成立，

\+x+aa

即2-(l+a),,0恒成立，又a>0，

a

所以〃…苴二1,

2

即實數(shù)。的取值范圍為

故答案為：[印M).

3.(2021?浙江)已知函數(shù)/.(x)=x2+1,g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

4

B.y=/(x)-,(x)-l

c.y=/(x)g(x)D.丫=返

-fM

【解析】由圖可知，圖象關(guān)于原點對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù),

因為/(x)=/+'為偶函數(shù)，g(x)=sinx為奇函數(shù),

4

函數(shù)y=f(x)+g(x)-4=%2+sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項A錯誤;

4

函數(shù)y==/一sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項3錯誤;

4

11jr

函數(shù)y=f(x)g{x)=(x2+—)sinx，則/=2xsinx+(x2+—)cosx>0對xe(O,—)恒成立,

444

則函數(shù)y=f(x)g(x)在(0,馬上單調(diào)遞增，故選項C錯誤.

4

故選：D.

4.(2023?新高考I)設(shè)函數(shù)/(x)=2#e在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-00,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+8)

【解析】設(shè)』…一…對稱軸為X、,拋物線開口向上,

y=2'是f的增函數(shù)，

要使f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

則f=/—?在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,

即@..1,即a.2,

2

故實數(shù)a的取值范圍是［2,+00).

故選：D.

5.(2021?新高考I)函數(shù)/。)=|2了-1|-2/%的最小值為.

【解析】法一、函數(shù)/(犬)=|2%-1|-2/必的定義域為(0,+00).

當0cx，時，/(x)=|2x-11-2lnx=-2x+1-2/nx,

此時函數(shù)f(x)在(0,'上為減函數(shù)，

當x>-時，f(x)=|2x-11-21nx=2x-l-2lnx,

則r(x)=2二=2(XT),

XX

當1)時，/-(%)<0,/(X)單調(diào)遞減，

當X€(1,+OO)時，f'(X)>0,f(X)單調(diào)遞增，

f(x)在(0,xo)上是連續(xù)函數(shù)，

.,.當XW(0,l)時,/(X)單調(diào)遞減，當X€(l,+8)時,/(X)單調(diào)遞增.

.?.當x=l時f(x)取得最小值為f(1)=2x1-1-27/11=1.

故答案為：1.

法二、令g(x)=|2x-11,h(x)=21nx,

分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：

由圖可知，(1)=1,

則數(shù)/(x)H2x-l|一2"x的最小值為1.

故答案為：1.

6.(2023?新高考H)若f(x)=(x+a)/〃變口為偶函數(shù)，則”=()

2x+l

A.-1B.0C.-D.1

2

【解析】由空口>0,得或

2x+122

由/(x)是偶函數(shù)，

/(-X)=/(X),

得(-x+a)ln-^~~-=(x+a)ln——,

—2x+12x+1

.、，2x+1,2x—1?.,2x—1.,2x—\

即Bn(-x+a)ln-------=(-x+a)ln{--------)=(x-a)ln--------=(x+a)ln--------，

2x-\2x+l2x+l2x+l

:.x-a=x+a,得一a=a,

得a=0.

故選：B.

7.(2021?上海)以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)()

3

A.y=—3xB.y=xC.y=log3xD.y=3'

【解析】y=-3x在R上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，A符合題意；

因為y=/在R上是增函數(shù)，B不符合題意；

y=log3x,y=3”為非奇非偶函數(shù)，C不符合題意；

故選：A.

8.(2021?新高考H)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x):.

①/(%々)=/(為)/區(qū))；②當xe(0,位)時，f'(x)>0；③/(x)是奇函數(shù)?

22

【解析】/(x)=f時，=(%1%2)=x,%/=f(xl)f(x2)；當xe(0,+oo)時，f'(x)=2x>0；

/<x)=2x是奇函數(shù).

故答案為：f(x)=x2.

另解：基函數(shù)f(x)=x"(a>0)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，

綜上所述，取/(x)=9即可.

15.(2021?新高考I)已知函數(shù)/(新=比(。2-2-*)是偶函數(shù),則。=.

【解析】函數(shù)/(x)=/(a.2,一2-*)是偶函數(shù)，

、二/為/?上的奇函數(shù)，

故y=a,2'-2r也為R上的奇函數(shù)，

所以

y|A=；0=a-2°-2°=a-1=0,

所以a=1.

法二：因為函數(shù)/(x)=x\a-2X-2-v)是偶函數(shù)，

所以f(-x)=.f(x),

即(a-2-X-2X)=x\a-2X-2”

即x\a-2X-2-r)+x\a-2T-21)=0,

即(。-1)(2'+2-予3=0,

所以a=1.

故答案為：L

9.(2023?上海)已知a,ceR,函數(shù)/(x)=匚生上衛(wèi)土

x+a

(1)若a=O,求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在c使得/(x)是奇函數(shù)，說明理由；

(2)若函數(shù)過點(1,3),且函數(shù)/(x)與x軸負半軸有兩個不同交點，求此時c的值和a的取值

范圍.

【解析】(1)若a=0,則〃x)=『+x+c=x+g+l,

XX

要使函數(shù)有意義，則XW0，即/(x)的定義域為{x|xwO},

y=x+￡是奇函數(shù)，y=l是偶函數(shù),

X

.??函數(shù)/(x)=x+￡+l為非奇非偶函數(shù)，不可能是奇函數(shù)，故不存在實數(shù)C,使得了(X)是奇函

X

數(shù).

(2)若函數(shù)過點(1,3),則/(1)=1+%+1+C=3"+2+C=3,得3a+2+c=3+3a,得

1+Q1+Q

c=3-2=l,

此時“x)=x2+(3"+l)x+l,若數(shù)/(x)與x軸負半軸有兩個不同交點，

x+a

即/(x)=x+C"+Dx+l=o,得/+(3。+[?+1=0,當x<0時，有兩個不同的交點，

x+a

設(shè)g(x)=f+(3。+l)x+1,

二=(3〃+1)2-4>0

XyX=1>0

23a+1>2或3〃+1<—2/日3

則x+x=-(3a+1)<0?得八，得《，即〃>一,

]23。+1>013

3a+1八a>——

------<03

2

若x+a=0x——ci是方程x2+(3a+l)x+l=0的根,

貝ij/-(3a+l)a+l=0,B|J2?2+<2-1=0,得a=1或a=-l,

2

則實數(shù)。的取值范圍是且ax」且ar-l,

32

即g，jug，+8).

10.(2021?新高考11)已知函數(shù)/(*)的定義域為/?(/(?不恒為0),/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)

為奇函數(shù)，則()

A./(-1)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

【解析】函數(shù)f(x+2)為偶函數(shù)，

f(2+x)=f(2-x),

/(2x+l)為奇函數(shù)，

.-./(l-2x)=-/(2x+l),

用x替換上式中2x+L得f(2-x)=-/(x),

:.f(2+x)=-f(x),/(4+x)=-/(2+x)=/(x),即〃x)=/(x+4),

故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

/(2x+l)為奇函數(shù)，

/(I-2x)=-/(2A-+1),B|Jf(2x+1)+f(-2x+1)=0,

用x替換上式中2x+l,可得，/(x)+/(2-x)=0,

.?./(x)關(guān)于(1,0)對稱,

又：f(1)=0,

.??/(-D-/(2+1)=-/(I)=0.

故選：B.

a2x-lx<0

11.(2022?上海)若函數(shù)”x)=,x+ax>0,為奇函數(shù)，求參數(shù)。的值為—

0x=0

a2x-\x<0

【解析】.?函數(shù)f(x)=]x+“

x>0,為奇函數(shù)，「./(一x)=-/(x),

0x=0

/.f(—1)—~f(1),~ci—1=—(a+1),即a(a-l)=0,求得。=0或a=l.

-l,x<0

當a=0時，/(x)=<0,x=0,不是奇函數(shù)，故。工0；

x,x>0

x-l,x<0

當。=1時，/(x)=<O,x=O,是奇函數(shù)，故滿足條件，

x+l,x>0

綜匕。=1,

故答案為：1.

12.(2022?新高考II)已知函數(shù)/(x)的定義域為A,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(1)

22

=1,則￡/(?=()

*=1

A.-3B.-2C.0D.1

【解析】令y=l,貝I/(x+l)+/(x_l)=/(x),BPf(x+1)=/(x)-f(x-1).

.-./(x+2)=/(x+l)-/(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+V),

?-?/(x+3)=-f(x),則f(x+6)=-f(x+3)=/(x),

的周期為6,

令x=l,y=O得/(1)+f(1)=f(1)x/(O),解得/(O)=2,

又/(x+l)=/(x)-/(x-l),

?.f(2)=f(1)-/(0)=-l,

f(3)=f(2)-f(1)=一2,

f(4)=f(3)-/(2)=-l,

f(5)=/(4)-f(3)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=2,

6

⑹=l-l-2-l+l+2=0,

k=l

22

=3x0+/(19)+/(2O)+/(21)+/(22)=f(1)+f(2)+f(3)+/(4)=-3.

k=l

故選：A.

13.【多選】(2023?新高考I)已知函數(shù)/(x)的定義域為A,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則(

)

A./(0)=0B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)D.x=O為f(x)的極小值點

【解析】由/(個)=丁/(》)+》2/(丫)，

取x=y=0,可得/(0)=0,故A正確；

取x=y=l,可得/(1)=2/(1),即f(1)=0，故3正確；

取x=y=_l,得f(1)=2/(-1),B|j/(-1)=1/(1)=0,

取y=_l,得f(_x)=/(x),可得/(x)是偶函數(shù)，故C正確；

由上可知，/(-1)=/(0)=/(1)=0,而函數(shù)解析式不確定，

不妨取fM=0,滿足/⑶)=y2f(x)+x2f(y),

常數(shù)函數(shù)〃x)=0無極值，故。錯誤.

故選：ABC.

14.(2021?上海)已知與，/eR，若對任意的毛-占wS,/(々)一/(占)eS，則有定義：f(x)

是在S關(guān)聯(lián)的.

(1)判斷和證明/(x)=2x-1是否在［0,+oo)關(guān)聯(lián)？是否有［0,1］關(guān)聯(lián)?

(2)若/(x)是在⑶關(guān)聯(lián)的，f(x)在XG［0,3)時，f(x)=x2-2x,求解不等式：2頸(x)3.

(3)證明:/(x)是｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的，當且僅當“/(X)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的”.

【解析】(1)/(x)在［0，+8)關(guān)聯(lián)，在［0,1］不關(guān)聯(lián),

任取玉-XjWlO,+oo),則/(辦)一/1(芍)=2(百一/)w［0,+oo),f(x)在［0,+8)關(guān)聯(lián)；

取X］=1,*2=°，則X］—9=1€［0,1］,

/(X,)-f(x2)=2(x,-x2)=2€［0,1］,.?J(x)在［0,1］不關(guān)聯(lián)；

(2)/(x)在｛3｝關(guān)聯(lián)，，對于任意％-x?=3，都有/(%)-/(蒞)=3，

.?.對任意x,都有f(x+3)-/(x)=3,

由xe［0,3)時，f(x)=x2-2x,得f(x)在xe［0,3)的值域為［-1,3),

.?./(力在xw［3,6)的值域為［2,6),

.■.2顆(幻3僅在xe［0,3)或xe［3,6)上有解，

xw［0,3)時,f(x)=x2-2x,令2領(lǐng)p-2x3,解得6+L,x<3,

x&［3,6)時，/(X)=/(X-3)+3=X2-8X+18,令2歿H—8X+183,解得3皴!k5,

不等式2顆(x)3的解為［6+1,5］,

(3)證明：①先證明：f(x)是在｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的=/(幻在［1,2］是關(guān)聯(lián)

的，

由已知條件可得，/(X+1)=/(X)+1.

/.f(x+n)=/(%)+〃，neZ,

又，/(x)是在［0,+oo)關(guān)聯(lián)的，

.,?任意/，/(工2)>/(9)成立，

若啜乂一X12,

%1+啜歸x1+2>

?■?/U+W(x2)/(x,+2),即/(x,)+啜我七)/(xj+2,

;.l射(%)-/(%)2,

.?J(力是0,2］關(guān)聯(lián),

②再證明：f(x)在［1，2］是關(guān)聯(lián)的n/(x)是在｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,+8)關(guān)聯(lián)的，

f(x)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的，.?.任取士-々G［1,2］,都有/(苔)-/(電)e［l,2］成立,

即滿足掇叫-占2,都有閱?(內(nèi))一/(占)2,

下面用反證法證明y(x+i)-f(x)=i,

若f(x+1)-f(x)>1,則f(x+2)-f(x)=/(x+2)-/(x+l)+/(x+l)-/(x)>2,與f(x)在［1,

2］是關(guān)聯(lián)的矛盾，

^/(x+l)-/(x)<l,而f(x)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的,則f(x+l)-矛盾,

/(x+D-/(x)=1成立,即f(x)是在｛1｝關(guān)聯(lián)的,

再證明于(X)是在［0,4-00)關(guān)聯(lián)的,

任取士-96］〃，+CO)(HeN),則存在〃eN,使得任取占,w+l］(〃eN),

啜k—(M—1)—x,2,

/［X,-(H-1)］-/(x2)=/(x,)-(/7-1)-/(^)e［1,2］,

???/(%)-/(彳2)0〃，?+i］c［o,+oo),

.?J(x)是在［0,+oo)關(guān)聯(lián)的；

綜上所述，〃x)是｛1｝關(guān)聯(lián)的，且是在［0,物)關(guān)聯(lián)的，當且僅當“/(%)在［1,2］是關(guān)聯(lián)的”,

故得證.

15.(2022?浙江)已知2"=5,logs3=Z?,則4"~=()

255

A.25B.5C.—D.-

【解析】由2"=5,log83=/>,

可得8"=23〃=3,

4"_(2"］占_25

故選：C.

16.(2022?新高考I)設(shè)a=Ol卅,b=-c=-/〃0.9,則(

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<ba<c<b

【解析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=/nx+-,x>0,

則尸(x)=L-[,x>0，

XX'

當尸(x)=0時，x=l,

0<xvI時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

x>l時，f\x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

.?J(x)在x=l處取最小值/(1)=1，

lux>1—,(x>011,x1),

x

//?0.9>1----=-，—Z/iO.9<一，].c<b；

0.999

<-,:.a<h；

9

設(shè)g(x)=xex+ln(\-x)(0<x<l)，

則g，(x)=(x+l)e'+」-='二1)七1,

x-\x-\

令h(x)=ex(x2-1)+1,h\x)=ex(x2+2x-1),

當0<了<也一1時，hr(x)<0,函數(shù)"(x)單調(diào)遞減，

當0-l<xvl時，/(乃>0,函數(shù)力(x)單調(diào)遞增，

/?(0)=0,.?.當0vxv夜-1時,h(x)<0，

當0cxvj5-l時，g'(%)>0，^(x)=xex+加(1一x)單調(diào)遞增，

「?^(0.1)>g(0)=0,/.0.1網(wǎng)>-加0.9,:.a>c,

:,c<a<b.

故選：C.

17.(2021?新高考H)已知a=k)g52,Z>=log83,c=1,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

1i1i

2

[解析]log52<log55?=—,log0>lognS=-,

:.a<c<b,

故選：C.

18.(2021?上海)已知f(x)=3+2,則廣'(1)=.

X

【解析】因為f(x)=3+2,

X

令/(x)=l,即3+2=1,解得x=-3,

X

故尸(1)=-3.

故答案為：-3.

19.【多選】(2023?新高考I)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，

定義聲壓級4=20x/g上>,其中常數(shù)為(%>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同

聲源的聲壓級:

聲源與聲源的距離/相聲壓級IdB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10”?處測得實際聲壓分別為“，/A，小，則

()

A.B.p2>10/?3C.p3=100p0D./?,?100/?2

9

【解析】由題意得,6噫切/g互90,1000/橫以10>0,

Po

5噫如收皮60,102Po級以1000p0,

Po

20女乙=40,p3=100p0,

Po

可得A正確；

〃2，,1?！?=1000〃0，6錯誤；

〃3=1O()PO，C正確；

95

p微00=100x1()3為10002，Pi，J00/?2,O正確.

故選：ACD.

20.(2023?上海)為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)"S=媼，其中凡為建

匕

筑物暴露在空氣中的面積(單位：平方米)，匕為建筑物的體積(單位：立方米).

(1)若有一個圓柱體建筑的底面半徑為R,高度為H,暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，

試求該建筑體的“體形系數(shù)”S；(結(jié)果用含R、”的代數(shù)式表示)

(2)定義建筑物的“形狀因子”為了=二，其中A為建筑物底面面積，乙為建筑物底面周長，

A

又定義T為總建筑面積，即為每層建筑面積之和(每層建筑面積為每一層的底面面積).設(shè)〃為

某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為s=、匹+當

VT3〃

/=18,7=10000時，試求當該宿舍樓的層數(shù)〃為多少時，“體形系數(shù)”S最小.

【解析】(1)由圓柱體的表面積和體積公式可得：

22

Fo=2^RH+7rR-Va^TTRH,

所以s=^=當也"

匕7TR2HHR

I18〃13而1

(2)由題意可得S=J------1---=------1---

V100003n1003〃

所以S，=當-」=9而3200,

200x/n3n-600/7-

令3=0,解得n=,

V81

所以S在口，6.27］單調(diào)遞減，在［6.27,+oo)單調(diào)遞增,

所以S的最小值在〃=6或7取得，

_37276

當〃=6時，c+—?0.31,

1003x6

372^7

當〃=7時，QH——--?0.16,

1003x7

所以在"=6時，該建筑體S最小.

21.(2021?上海)已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元,

第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長4%.

(1)求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；

(2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

【解析】(1)由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，

則首項4=1.1,公差”=0.05,

2Q(2>1)

S20=20a,+^~</=20x1.1+10x19x0.05=31.5,

即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元.

(2)解法一：假設(shè)今年第一季度往后的第n(neN*)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%,

則(116x(1+4%)”>(1.1+0.05n)-18%,

令f(n)=0.16x(l+4%)"-(1.1+0.05")?18%,(〃wN*),

即要解f(〃)>0，

則當〃..2時，/(〃)-/(〃-1)=0.0064-(!+4%)e_0.009,

令解得：

即當啜h9時，f(w)遞減;當W..10時,/(〃)遞增，

由于/(I)<0,因此/(")>0的解只能在〃..10時取得，

經(jīng)檢驗，/(24)<0,/(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

解法二：設(shè)今年第一季度往后的第〃(〃eN*)季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為應(yīng),

則如=1.04(105+。。5〃)印0"此40.Q4(「二^),

an1.1+0.05??22+〃22+九

數(shù)歹ll{%}滿足4>4>V4<%<.......，

注意到,%=0.178…,%6=°」81…，

.??今年第一季度往后的第25個季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%.

專題3導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.【多選】(2022?新高考I)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域均為A,記

g(x)=r(x).若一2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(—g)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【解析】./弓一2幻為偶函數(shù)，.，.可得/q一2幻=/(5+2%)，.\/*:)關(guān)于工=：對稱，

53535

令x=nj^/(1-2xj=/(|+2xj,即=/(4),故C正確；

g(2+x)為偶函數(shù)，/.g(2+x)=g(2-x),g(x)關(guān)于x=2對稱，故。不正確；

aa

f(x)關(guān)于工=］對稱，.?.X=；是函數(shù)f(x)的一個極值點，

函數(shù)f(x)在g,t)處的導(dǎo)數(shù)為o,即g(|)=/§)=o,

乂；.g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，.?.g($=g(|)=O,.?.函數(shù)/(x)在(|,力的導(dǎo)數(shù)為0,

x=g是函數(shù)/(x)的極值點，又/(x)的圖象關(guān)于x=|對稱,/)關(guān)于x=3的對稱點

2

為(L.),

2

由x=|是函數(shù)“力的極值點可得是函數(shù)/(X)的一個極值點，.?.g($=rg)=o,

進而可得g(；)=g(g)=0,故x=g是函數(shù)/(X)的極值點，又“X)的圖象關(guān)于x=|對稱,

.?.(［，/)關(guān)于x=°的對稱點為(-1,7)

222

/(x)圖象位置不確定，可上下移動，即每一個自變量對應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故A錯誤.

解法二：構(gòu)造函數(shù)法,

3

令/(x)=1-sin7TX，則/(--2x)=1+cos27rx.則g(x)=f'(x)=—萬cos乃x,

g(x+2)=一萬cos(2;r+rtx)-一；rcosTTX，

滿足題設(shè)條件，可得只有選項8C正確,

故選：BC.

2.(2021?新高考I)若過點伍,力可以作曲線y=e*的兩條切線，則()

A.eh<aB.e0<bC.Q<a<ehD.Q<b<e"

【解析】法一：函數(shù)y=靖是增函數(shù)，y=e*>0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，y>0,即切點坐標在x軸上方，

如果3。)在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點(4,。)在X軸或下方時，只有一條切線.

如果①力)在曲線上，只有一條切線；

3,6)在曲線上側(cè)，沒有切線；

由圖象可知3,力在圖象的下方，并且在x軸上方時，有兩條切線，可知0<人</.

故選：D.

法二：設(shè)過點(。力)的切線橫坐標為f，

貝|J切線方程為y=e'(x-f)+e'，可得b=e'(a+l-f),

設(shè)/⑺=(a+l-f),可得廣⑺=e'(aT),,/⑺是增函數(shù),

fw(a,+8),/'⑴<0,/⑺是減函數(shù)，

因此當且僅當0<b<e"時，上述關(guān)于/的方程有兩個實數(shù)解，對應(yīng)兩條切線.

故選：D.

3.(2022?新高考I)若曲線y=(x+a)爐有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍是

(解析】y=",+(%+，設(shè)切點坐標為(玉)，(/+)，

???切線的斜率攵=*+(/+〃)*，

切線方程為y—(x0+=(e"+(無。+)(x—/)，

又.切線過原點，:一(x0+。)*=(e*+(x0+a)e^)(-x0),

2

整理得：x0+ar0-tz=0,

.切線存在兩條，.?.方程有兩個不等實根，

/.△=/+4。>0,解得4V-4或a>0,

即。的取值范圍是(YO,-4)U(0,xo),

故答案為：(-00,-4)U(0,+00).

4.(2022?新高考II)曲線丁=/川劃過坐標原點的兩條切線的方程為,

【解析】當x>0時，y=lnxf設(shè)切點坐標為(x。，lnx0),

y'=L,.?.切線的斜率左=’>,

,切線方程為y-lnx{y=—(x-x()),

又二切線過原點，.?.一加/=-1,

x()=ef

/.切線方程為y-l=-(x-e)?即x-ey=。，

e

當xvO時，y=ln(-x),y=lnx的圖像關(guān)于y軸對稱,

切線方程也關(guān)于y軸對稱，

/.切線方程為x+ey=0,

綜上所述，曲線y=加|幻經(jīng)過坐標原點的兩條切線方程分別為x-ey=0,x+ey=0,

故答案為：x-ey=O,x+ey=O.

5.(2021?新高考H)已知函數(shù)/(幻斗短—1|,f<0,々>。，函數(shù)/(X)的圖象在點4西，/(X,))

和點8(々，/1(兌))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則四4的取值范圍

|BN|

【解析】當xvO時,f(x)=i-ex,導(dǎo)數(shù)為廣。)=一短，

可得在點A&,1-/」)處的斜率為k、=-ex-',

切線AM的方程為,_(1_/」)=_/」(、_8),

令x=0,可得y=l-e*」+xQ」，即朋(0,1-d」+石爐」)，

當x>0時，/(x)=ex-\,導(dǎo)數(shù)為r(x)=e*,

可得在點B(X2,d,-1)處的斜率為為=e'-2，

令x=0，可得即陽0,a-2_]_%/-2),

由F(x)的圖象在A,5處的切線相互垂直，可得桃2=-/」七'-2=-1,

即為占+9=0，X]<0,x2>0,

所以包=忙5-工匠二=，€(0D

IBN|Jl+e2*?-X,\/\+e2x2e-

故答案為：(0,1).

6.(2023?新高考H)已知函數(shù)/*)="/-/心在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為()

A.e2B.eC.e-'D.e-2

【解析】對函數(shù)/(x)求導(dǎo)可得，f'(x)=ae'--,

依題意，ae'-L.O在(1,2)上恒成立,

即a.在(1,2)上恒成立,

—(e*+xe*)e*(x+l)

設(shè)g(x)=—,xe(l,2),則g'(x)

7W)2

易知當xw(1,2)時，g，(x)<0,

則函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,

貝"g(x)”r=g⑴=一=e-'

e

故選：C.

7.(2023?新高考I)已知函數(shù)/*)=4(，+〃)-x.

(1)討論了(幻的單調(diào)性；

(2)證明：當。>0時，/(x)>2/AUZ+-.

【解析】(1)f(x)=a(ex+a)-x,

貝U(x)=ae*-1,

①當“,0時，/。)<0恒成立，/(的在尺上單調(diào)遞減，

②當a>0時，令尸(x)=O得，x=ln~,

a

當X￡(TO,/〃L)時，((x)vO，/(幻單調(diào)遞減；當無￡(打L+8)時，//(X)>0,/(幻單調(diào)遞

aa

增，

綜上所述，當4,0時，/(幻在火上單調(diào)遞減；當〃>0時，/(為在(-co,//)上單調(diào)遞減，在(//，

aa

+8)上單調(diào)遞增.

證明：(2)由(1)可知，當。>0時，fM=f(In—)=a(—+a)-ln—=\+a2+Ina,

minaaa

33

要證/(x)>2lna+