2.1一元二次函數(shù)、方程和不等式-(必修第一冊) (教師版)

一元二次函數(shù)、方程和不等式1不等式關(guān)系與不等式①不等式的性質(zhì)(1)傳遞性：a>b,b>c?a>c；(2)加法法則：a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d；(3)乘法法則：a>b,c>0?ac>bc,a>b,c<0?ac<bc；(4)倒數(shù)法則：a>b,ab>0?1(5)乘方法則：a>b>0?a②比較a,b大小(1)作差法(a?b與0的比較)a?b>0→a>b;a?b=0→a=b;a?b<0→a<b(2)作商法(ab與1比較)a2一元二次不等式及其解法①二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：(以下均以a>0為例)函數(shù)、方程、表達(dá)式?>0?=0?<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c一元二次方程ax有兩個相異實(shí)數(shù)根x(有兩個相等實(shí)數(shù)根x沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax{x|x<{x|x≠?R一元二次不等式ax{x|??②二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系，可充分利用二次函數(shù)圖像去理解；③求解一元二次不等式時，利用二次函數(shù)圖像思考，需要確定二次函數(shù)的開口方向，判別式，兩根的大小與不等式的解集有關(guān)，而對稱軸是不會影響解集的.3一元二次不等式的應(yīng)用(1)分式不等式的解法解分式不等式可等價為有理整式不等式(組)求解.由于ab>0與ab>0均意味a,b同號，故abab<0與ab<0均意味a,b異號，故ab可得①fxg(x)>0?fxg比如x?1x?2>0?x?1②fxg(x)<0?fx比如x?1x?2<0?(2)一元高次不等式的解法①一元高次不等式通常先進(jìn)行因式分解，化為x?x1x?x2Eg解x+1x?2x?3x?4解x+1x?22x?3【題型一】不等式性質(zhì)的運(yùn)用【典題1】實(shí)數(shù)a、b、c滿足a>b>c，則下列不等式正確的是()A．a(chǎn)+b>cB．1a?c<1b?c【解析】∵a>b>c，∴A．a(chǎn)+b>c錯誤，比如?4>?5>?6，得出?4+?5B．a(chǎn)?c>b?c>0，∴1a?c<C．a(chǎn)|c|>b|c|錯誤，比如|c|=0時，a|c|=b|c|；D．∵ab2?a2∴ab2故選：B．【點(diǎn)撥】涉及不等式的選擇題，適當(dāng)利用“取特殊值排除法”會做得更快些.【典題2】已知a>0，試比較a2+1a【解析】a2(i)當(dāng)a>1時，?2a<0，a2?1>0，則?2aa2?1(ii)當(dāng)0<a<1時，?2a<0,a2?1<0，則?2a綜上可得a>1時，a2+1a2?1【點(diǎn)撥】比較兩個式子的大小，可用做差法或做商法；一般冪的形式比較大小用作商法，比如比較aabb與aba+b2【典題3】已知c>1，a=c+1A．a(chǎn)<bB．a(chǎn)>bC．a(chǎn)=b D．a(chǎn)與b的大小不確定【解析】方法一特殊值法取特殊值，令c=2，則a=3?2易知a<b,排除B,C，還不能排除D，猜測選A.方法二做差法，分析法a?b=要比較a,b大小，只需要比較c+1?比較??而顯然c2?1<c，故c+1方法三共軛根式法c+1c?∵c∴c∴1c+1+c【點(diǎn)撥】①比較兩個式子的方法很多，選擇題可以考慮取特殊值排除法；②方法二中，遇到帶有根號的常常兩邊平方去掉根號再比較，此時注意兩個式子是否都是正數(shù)；在思考的過程中，不斷使用“等價轉(zhuǎn)化”把比較的兩個式子越化越簡單，等價過程中注意嚴(yán)謹(jǐn)；③方法三中注意到(c若A=x+yAB=x?y，鞏固練習(xí)1(★)已知－1<b<0,a<0，那么下列不等式成立的是()A．a(chǎn)>ab>ab2 B．a(chǎn)b2【答案【解析】∵－1<b<0，a<0，∴ab>0，b<0<1，b2∴ab－ab∴ab>ab故選：D．2(★★)設(shè)1bA．a(chǎn)>bB．a(chǎn)b<a?bC．【答案】【解析】設(shè)1b<1a<0由a<b<0可得ab>0，a－b<0，可得a由a<b<0可得ab>1，則b3a3由1b<1a<0故選：C．3(★★)已知a,b∈R，且P=a+b2，Q=A．P≥Q B．P>Q C．P≤Q D．P<Q【答案】【解析】因?yàn)閍，b∈R，且P=a+b所以P2=a則P2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等成立，所以P2－Q2≤0，故選：C．4(★★)若P=a+3+a+5，Q=a+1+A．P=QB．P>QC．P<Q D．由a的取值確定【答案】【解析】∵a≥0，P2=2a+8+2a∴a∴2a∴P2>Q2∴P>Q．故選B．5(★★★)設(shè)S=aA．0<S<1B．1<S<2C．2<S<3D．3<S<4【答案】B【解析】∵S=>S=即1<S<2.【題型二】二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系【典題1】如果關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?1<x<2，則關(guān)于x的不等式b【解析】關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0∴?1、2是方程ax2+bx+c=0由韋達(dá)定理得?1+2=?b∴b=?a>0,c=?2a>0，∴不等式bx2?ax?c>0即(x?1)(x+2)>0，解得x<?2或x>1；則該不等式的解集為(?∞,?2)∪(1,+∞)．【點(diǎn)撥】通過二次函數(shù)的圖像理解，二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關(guān)系.【典題2】解關(guān)于x的不等式：x?2【解析】x?2x+3等價變形為：x+8x+3≤0且x+3≠0；(注意分母解得?8≤x<?3.鞏固練習(xí)1(★)若不等式2kx2+kx?38A．?3<k<0 B．?3≤k<0 C．?3≤k≤0 D．?3<k≤0【答案】D【解析】2kx2+kx?①k=0時，?3②k≠0時，k<0△=k綜上可得，?故選：D．2(★★)若關(guān)于x的不等式x2?3ax+2>0的解集為(?∞A．?1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題意知，1和m是方程x2則由根與系數(shù)的關(guān)系，得1+m=3a1×m=2，解得a=1所以a+m=3．故選：D．3(★★)若不等式ax2+2x+c<0的解集是(?A．[?12,13] 【答案】C【解析】不等式ax2+2x+c<0的解集是(?∞，?∴?13和12由?13+12=?故不等式cx2?即x2?x所以所求不等式的解集是：[?故選：C．4(★★)【多選題】關(guān)于x的一元二次不等式x2?6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且僅有A．6 B．7 C．8 D．9【答案】ABC【解析】設(shè)f(x)=x2?若關(guān)于x的一元二次不等式x2?6x+a≤f(2)≤0f(1)>0，即4?12+a≤0解得5<a≤8，又a∈所以a=6，7，8．故選：ABC．5(★★)不等式3x+13?x>?1的解集是【答案6(★★)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}，α>0，則不等式c【答案】(1【解析】不等式ax2+bx+c>0則α，β是一元二次方程ax2+bx+c∴α+β∴不等式cx2+bx+a>0∴αβ化為(α又0<α<β∴不等式cx2+bx+a<0的解集為：{x故選：A．7(★★)不等式axx?1<1的解集為{x|x<1或x>2}，則a值是.【答案】a=【解析】不等式axx?1<1等價于a?1x+1所以1×2=11?a檢驗(yàn)成立.【題型三】求含參一元二次不等式角度1：按二次項(xiàng)的系數(shù)a的符號分類，即a>0,a解不等式a【解析】(不確定不等式對應(yīng)函數(shù)y=ax2+(a+2)x+1是否是二次函數(shù)，分a=0(1)當(dāng)a=0時，不等式為2x+1>0，解集為{x|x>?1(2)當(dāng)a≠0時，∵Δ(二次函數(shù)y=ax2+(a+2)x+1解得方程ax2+(a+2)x+1=0(二次函數(shù)的開口方向與不等式的解集有關(guān)，分a>0與a<0討論)(i)當(dāng)a>0時，解集為{x|x>?a?2+(ii)當(dāng)a<0時,解集為{x|?a?2+a2綜上，當(dāng)a=0時，解集為{x|x>?1當(dāng)a>0時，解集為{x|x>?a?2+當(dāng)a<0時,解集為{x|?a?2+a角度2：按判別式的符號分類解不等式x2【解析】∵Δ(此時不確定二次函數(shù)y=x2+ax+4∴①當(dāng)?4<a<4，即Δ<0時，解集為R②當(dāng)a=±4，即Δ=0時，解集為xx≠?③當(dāng)a>4或a<?4，即Δ>0時，此時兩根為x1=∴不等式的解集為{x|x>?a+a2綜上，當(dāng)?4<a<4時，解集為R；當(dāng)a=±4時，解集為xx≠?當(dāng)a>4或a<?4時，解集為{x|x>?a+a2角度3：按方程的根大小分類解不等式：x2【解析】原不等式可化為：x?ax?1令x?ax?1a(因式分解很關(guān)鍵，此時確定y=x?ax?1a與∴(i)當(dāng)x1=x2時，即(ii)當(dāng)x1<x2時，即a<1(iii)當(dāng)x1>x2時，即a>1綜上，當(dāng)a=±1時，解集為?；(ii)當(dāng)a<?1或0<a<1時，解集為{x|a<x<1(iii)當(dāng)?1<a<0或a>1時，解集為x1【點(diǎn)撥】①當(dāng)求解一元二次不等式時，它是否能夠因式分解，若可以就確定對應(yīng)的二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，就不需要考慮判別式.常見的形式有x2ax2+②在求解含參的一元二次不等式，需要嚴(yán)謹(jǐn)，多從二次函數(shù)的開口方向、判別式、兩根大小的比較三個角度進(jìn)行分類討論，利用圖像進(jìn)行分析.鞏固練習(xí)1(★★)關(guān)于x的不等式x2?(a+1)x+a<0的解集中恰有1個整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．(?1,0]∪[2,3) B．[?2,?1)∪(3,4]C．[?1,0)∪(2,3] D．(?2,?1)∪(3,4)【答案】C【解析】由x2?(a+1)x+a<0若a=1，則不等式無解．若a>1，則不等式的解為1<x<a，此時要使不等式的解集中恰有1個整數(shù)解，則此時1個整數(shù)解為x=2，則若a<1，則不等式的解為a<x<1，此時要使不等式的解集中恰有1個整數(shù)解，則此時1個整數(shù)解為x=0，則?1≤a<0綜上，滿足條件的a的取值范圍是[?故選：C．2(★★)解關(guān)于x的不等式x【答案】a>1時，不等式的解集是a=1時，不等式的解集是{x|x≠?1}，a<1時，不等式的解集是{x|x>?1+1?a【解析】方程x2+2x+a=0中①當(dāng)1?a<0即a>②當(dāng)1?a=0，即a=1時，不等式的解集是③當(dāng)1?a>由x2+2x+a=0解得：∴a<1時，不等式的解集是{x|x>?綜上，a>1時，不等式的解集是a=1時，不等式的解集是{x|x≠?a<1時，不等式的解集是{x|x>?3(★★)解關(guān)于x的不等式：2x【答案】a>4或a<?a=±4時，不等式的解集為{x|x≠??4<a<4時，不等式的解集為R．【解析】關(guān)于x的不等式：2x△=a當(dāng)a>4或a<?對應(yīng)的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根x=?a?a2且?a?a∴不等式的解集為{x|x<?a?a2?16當(dāng)a=±4時，△=0，對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根x=?a∴不等式的解集為{x|x≠?當(dāng)?4<a<4時，△<0，∴不等式的解集為R綜上，a>4或a<?a=±4時，不等式的解集為{x|x≠?a4}；?4(★★★)若a∈R，解關(guān)于x的不等式a【答案】當(dāng)a<0時，解集是(?1,?1a)；當(dāng)a=0當(dāng)0<a≤1時，解集是(?∞,?1a)∪(?1,+∞)；當(dāng)a>1時，解集是【解析】當(dāng)a=0時，x>?當(dāng)a≠0時，a(x+當(dāng)a<0時，(x+1a