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文檔簡介
2023年人教版中學(xué)七7年級下冊數(shù)學(xué)期末解答題培優(yōu)試卷一、解答題1.如圖,用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形.(1)則大正方形的邊長是;(2)若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形,能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為,且面積為?2.(1)若一圓的面積與這個正方形的面積都是,設(shè)圓的周長為,正方形的周長為,則______.(填“=”或“<”或“>”號)(2)如圖,若正方形的面積為,李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片,使它的長和寬之比為3:2,他能裁出嗎?請說明理由.3.如圖,用兩個邊長為15的小正方形拼成一個大的正方形,(1)求大正方形的邊長?(2)若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形,能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為4:3,且面積為720cm2?4.?dāng)?shù)學(xué)活動課上,小新和小葵各自拿著不同的長方形紙片在做數(shù)學(xué)問題探究.(1)小新經(jīng)過測量和計算得到長方形紙片的長寬之比為3:2,面積為30,請求出該長方形紙片的長和寬;(2)小葵在長方形內(nèi)畫出邊長為a,b的兩個正方形(如圖所示),其中小正方形的一條邊在大正方形的一條邊上,她經(jīng)過測量和計算得到長方形紙片的周長為50,陰影部分兩個長方形的周長之和為30,由此她判斷大正方形的面積為100,間小葵的判斷正確嗎?請說明理由.5.有一塊正方形鋼板,面積為16平方米.(1)求正方形鋼板的邊長.(2)李師傅準(zhǔn)備用它裁剪出一塊面積為12平方米的長方形工件,且要求長寬之比為,問李師傅能辦到嗎?若能,求出長方形的長和寬;若不能,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):,).二、解答題6.已知,,.(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,作的平分線交于點,點為上一點,連接,若的平分線交線段于點,連接,若,過點作交的延長線于點,且,求的度數(shù).7.如圖1,已知直線m∥n,AB是一個平面鏡,光線從直線m上的點O射出,在平面鏡AB上經(jīng)點P反射后,到達(dá)直線n上的點Q.我們稱OP為入射光線,PQ為反射光線,鏡面反射有如下性質(zhì):入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角,即∠OPA=∠QPB.(1)如圖1,若∠OPQ=82°,求∠OPA的度數(shù);(2)如圖2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OPA的度數(shù);(3)如圖3,再放置3塊平面鏡,其中兩塊平面鏡在直線m和n上,另一塊在兩直線之間,四塊平面鏡構(gòu)成四邊形ABCD,光線從點O以適當(dāng)?shù)慕嵌壬涑龊?,其傳播路徑為O→P→Q→R→O→P→…試判斷∠OPQ和∠ORQ的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.8.(1)(問題)如圖1,若,,.求的度數(shù);(2)(問題遷移)如圖2,,點在的上方,問,,之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;(3)(聯(lián)想拓展)如圖3所示,在(2)的條件下,已知,的平分線和的平分線交于點,用含有的式子表示的度數(shù).9.已知,AB∥CD.點M在AB上,點N在CD上.(1)如圖1中,∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為:;(不需要證明)如圖2中,∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為:;(不需要證明)(2)如圖3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度數(shù);(3)如圖4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化,若變化,請說明理由,若不變化,求出∠FEQ的度數(shù).10.閱讀下面材料:小亮同學(xué)遇到這樣一個問題:已知:如圖甲,ABCD,E為AB,CD之間一點,連接BE,DE,得到∠BED.求證:∠BED=∠B+∠D.(1)小亮寫出了該問題的證明,請你幫他把證明過程補充完整.證明:過點E作EFAB,則有∠BEF=.∵ABCD,∴,∴∠FED=.∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D.(2)請你參考小亮思考問題的方法,解決問題:如圖乙,已知:直線ab,點A,B在直線a上,點C,D在直線b上,連接AD,BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直線交于點E.①如圖1,當(dāng)點B在點A的左側(cè)時,若∠ABC=60°,∠ADC=70°,求∠BED的度數(shù);②如圖2,當(dāng)點B在點A的右側(cè)時,設(shè)∠ABC=α,∠ADC=β,請你求出∠BED的度數(shù)(用含有α,β的式子表示).三、解答題11.為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示,燈射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn),燈射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交又照射巡視.若燈轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度,燈轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即,且.(1)填空:_________;(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動30秒,燈射線才開始轉(zhuǎn)動,在燈射線到達(dá)之前,燈轉(zhuǎn)動幾秒,兩燈的光束互相平行?(3)如圖2,若兩燈同時轉(zhuǎn)動,在燈射線到達(dá)之前.若射出的光束交于點,過作交于點,且,則在轉(zhuǎn)動過程中,請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變,請求出其數(shù)量關(guān)系;若改變,請說明理由.12.(1)光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象,同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象,如圖1,光線a從空氣中射入水中,再從水中射入空氣中,形成光線b,根據(jù)光學(xué)知識有,請判斷光線a與光線b是否平行,并說明理由.(2)光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象,由光學(xué)知識,入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等,如圖2有一口井,已知入射光線與水平線的夾角為,問如何放置平面鏡,可使反射光線b正好垂直照射到井底?(即求與水平線的夾角)(3)如圖3,直線上有兩點A、C,分別引兩條射線、.,,射線、分別繞A點,C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動,設(shè)時間為t,在射線轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi),是否存在某時刻,使得與平行?若存在,求出所有滿足條件的時間t.13.綜合與探究(問題情境)王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動.(1)如圖1,EF∥MN,點A、B分別為直線EF、MN上的一點,點P為平行線間一點,請直接寫出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關(guān)系;(問題遷移)(2)如圖2,射線OM與射線ON交于點O,直線m∥n,直線m分別交OM、ON于點A、D,直線n分別交OM、ON于點B、C,點P在射線OM上運動.①當(dāng)點P在A、B(不與A、B重合)兩點之間運動時,設(shè)∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.則∠CPD,∠α,∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;②若點P不在線段AB上運動時(點P與點A、B、O三點都不重合),請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD,∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系.14.已知AB∥CD,點M在直線AB上,點N、Q在直線CD上,點P在直線AB、CD之間,∠AMP=∠PQN=α,PQ平分∠MPN.(1)如圖①,求∠MPQ的度數(shù)(用含α的式子表示);(2)如圖②,過點Q作QE∥PN交PM的延長線于點E,過E作EF平分∠PEQ交PQ于點F.請你判斷EF與PQ的位置關(guān)系,并說明理由;(3)如圖③,在(2)的條件下,連接EN,若NE平分∠PNQ,請你判斷∠NEF與∠AMP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.15.如圖1,為直線上一點,過點作射線,將一直角三角板()的直角頂點放在點處,一邊在射線上,另一邊與都在直線的上方,將圖1中的三角板繞點以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周.(1)幾秒后與重合?(2)如圖2,經(jīng)過秒后,,求此時的值.(3)若三角板在轉(zhuǎn)動的同時,射線也繞點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周,那么經(jīng)過多長時間與重合?請畫圖并說明理由.(4)在(3)的條件下,求經(jīng)過多長時間平分?請畫圖并說明理由.四、解答題16.(生活常識)射到平面鏡上的光線(入射光線)和變向后的光線(反射光線)與平面鏡所夾的角相等.如圖1,MN是平面鏡,若入射光線AO與水平鏡面夾角為∠1,反射光線OB與水平鏡面夾角為∠2,則∠1=∠2.(現(xiàn)象解釋)如圖2,有兩塊平面鏡OM,ON,且OM⊥ON,入射光線AB經(jīng)過兩次反射,得到反射光線CD.求證AB∥CD.(嘗試探究)如圖3,有兩塊平面鏡OM,ON,且∠MON=55,入射光線AB經(jīng)過兩次反射,得到反射光線CD,光線AB與CD相交于點E,求∠BEC的大小.(深入思考)如圖4,有兩塊平面鏡OM,ON,且∠MONα,入射光線AB經(jīng)過兩次反射,得到反射光線CD,光線AB與CD所在的直線相交于點E,∠BED=β,α與β之間滿足的等量關(guān)系是.(直接寫出結(jié)果)17.操作示例:如圖1,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,△ABD的面積記為S1,△ADC的面積記為S2.則S1=S2.解決問題:在圖2中,點D、E分別是邊AB、BC的中點,若△BDE的面積為2,則四邊形ADEC的面積為.拓展延伸:(1)如圖3,在△ABC中,點D在邊BC上,且BD=2CD,△ABD的面積記為S1,△ADC的面積記為S2.則S1與S2之間的數(shù)量關(guān)系為.(2)如圖4,在△ABC中,點D、E分別在邊AB、AC上,連接BE、CD交于點O,且BO=2EO,CO=DO,若△BOC的面積為3,則四邊形ADOE的面積為.18.如圖1,已知線段AB、CD相交于點O,連接AC、BD,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2,∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題:(1)仔細(xì)觀察,在圖2中有個以線段AC為邊的“8字形”;(2)在圖2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度數(shù);(3)在圖2中,若設(shè)∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,試問∠P與∠C、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系(用α、β表示∠P),并說明理由;(4)如圖3,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為.19.已知在中,,點在上,邊在上,在中,邊在直線上,;(1)如圖1,求的度數(shù);(2)如圖2,將沿射線的方向平移,當(dāng)點在上時,求度數(shù);(3)將在直線上平移,當(dāng)以為頂點的三角形是直角三角形時,直接寫出度數(shù).20.已知,如圖1,直線l2⊥l1,垂足為A,點B在A點下方,點C在射線AM上,點B、C不與點A重合,點D在直線11上,點A的右側(cè),過D作l3⊥l1,點E在直線l3上,點D的下方.(1)l2與l3的位置關(guān)系是;(2)如圖1,若CE平分∠BCD,且∠BCD=70°,則∠CED=°,∠ADC=°;(3)如圖2,若CD⊥BD于D,作∠BCD的角平分線,交BD于F,交AD于G.試說明:∠DGF=∠DFG;(4)如圖3,若∠DBE=∠DEB,點C在射線AM上運動,∠BDC的角平分線交EB的延長線于點N,在點C的運動過程中,探索∠N:∠BCD的值是否變化,若變化,請說明理由;若不變化,請直接寫出比值.【參考答案】一、解答題1.(1);(2)無法裁出這樣的長方形.【分析】(1)先計算兩個小正方形的面積之和,在根據(jù)算術(shù)平方根的定義,即可求解;(2)設(shè)長方形長為cm,寬為cm,根據(jù)題意列出方程,解方程比較4x與20的大小解析:(1);(2)無法裁出這樣的長方形.【分析】(1)先計算兩個小正方形的面積之和,在根據(jù)算術(shù)平方根的定義,即可求解;(2)設(shè)長方形長為cm,寬為cm,根據(jù)題意列出方程,解方程比較4x與20的大小即可.【詳解】解:(1)由題意得,大正方形的面積為200+200=400cm2,∴邊長為:;根據(jù)題意設(shè)長方形長為cm,寬為cm,由題:則長為無法裁出這樣的長方形.【點睛】本題考查了算術(shù)平方根,根據(jù)題意列出算式(方程)是解決此題的關(guān)鍵.2.(1)<;(2)不能,理由見解析【分析】(1)分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長,再分別求得其周長,根據(jù)實數(shù)大小比較的方法,可得答案;(2)設(shè)裁出的長方形的長為,寬為,由題意得關(guān)于解析:(1)<;(2)不能,理由見解析【分析】(1)分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長,再分別求得其周長,根據(jù)實數(shù)大小比較的方法,可得答案;(2)設(shè)裁出的長方形的長為,寬為,由題意得關(guān)于的方程,解得的值,從而可得長方形的長和寬,將其與正方形的邊長比較,可得答案.【詳解】解:(1)圓的面積與正方形的面積都是,圓的半徑為,正方形的邊長為,,,,,.(2)不能裁出長和寬之比為的長方形,理由如下:設(shè)裁出的長方形的長為,寬為,由題意得:,解得或(不合題意,舍去),長為,寬為,正方形的面積為,正方形的邊長為,,不能裁出長和寬之比為的長方形.【點睛】本題考查了算術(shù)平方根在正方形和圓的面積及周長計算中的簡單應(yīng)用,熟練掌握相關(guān)計算公式是解題的關(guān)鍵.3.(1)30;(2)不能.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積,即可求出邊長;(2)先求出長方形的邊長,再判斷即可.【詳解】解:(1)∵大正方形的面積是:∴大正解析:(1)30;(2)不能.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積,即可求出邊長;(2)先求出長方形的邊長,再判斷即可.【詳解】解:(1)∵大正方形的面積是:∴大正方形的邊長是:=30;(2)設(shè)長方形紙片的長為4xcm,寬為3xcm,則4x?3x=720,解得:x=,4x==>30,所以沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形,不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為4:3,且面積為720cm2.故答案為(1)30;(2)不能.【點睛】本題考查算術(shù)平方根,解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出算式.4.(1)長為,寬為;(2)正確,理由見解析【分析】(1)設(shè)長為3x,寬為2x,根據(jù)長方形的面積為30列方程,解方程即可;(2)根據(jù)長方形紙片的周長為50,陰影部分兩個長方形的周長之和為30列方程解析:(1)長為,寬為;(2)正確,理由見解析【分析】(1)設(shè)長為3x,寬為2x,根據(jù)長方形的面積為30列方程,解方程即可;(2)根據(jù)長方形紙片的周長為50,陰影部分兩個長方形的周長之和為30列方程組,解方程組求出a即可得到大正方形的面積.【詳解】解:(1)設(shè)長為3x,寬為2x,則:3x?2x=30,∴x=(負(fù)值舍去),∴3x=,2x=,答:這個長方形紙片的長為,寬為;(2)正確.理由如下:根據(jù)題意得:,解得:,∴大正方形的面積為102=100.【點睛】本題考查了算術(shù)平方根,二元一次方程組,解二元一次方程組的基本思路是消元,把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵.5.(1)4米(2)見解析【分析】(1)根據(jù)正方形邊長與面積間的關(guān)系求解即可;(2)設(shè)長方形的長寬分別為米、米,由其面積可得x值,比較長方形的長和寬與正方形邊長的大小可得結(jié)論.【詳解】解解析:(1)4米(2)見解析【分析】(1)根據(jù)正方形邊長與面積間的關(guān)系求解即可;(2)設(shè)長方形的長寬分別為米、米,由其面積可得x值,比較長方形的長和寬與正方形邊長的大小可得結(jié)論.【詳解】解:(1)正方形的面積是16平方米,正方形鋼板的邊長是米;(2)設(shè)長方形的長寬分別為米、米,則,,,,,長方形長是米,而正方形的邊長為4米,所以李師傅不能辦到.【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的實際應(yīng)用,靈活的利用算術(shù)平方根表示正方形和長方形的邊長是解題的關(guān)鍵.二、解答題6.(1)見解析;(2)【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,再根據(jù)等量代換可得,最后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)過點E作,延長DC至Q,過點M作,根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出,再根據(jù)平角的解析:(1)見解析;(2)【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,再根據(jù)等量代換可得,最后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)過點E作,延長DC至Q,過點M作,根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出,再根據(jù)平角的含義得出,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出;設(shè),根據(jù)角的和差可得出,結(jié)合已知條件可求得,最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】(1)證明:;(2)過點E作,延長DC至Q,過點M作,,,AF平分FH平分設(shè),.【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì),角平分線的定義,能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.7.(1)49°,(2)44°,(3)∠OPQ=∠ORQ【分析】(1)根據(jù)∠OPA=∠QPB.可求出∠OPA的度數(shù);(2)由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度數(shù),轉(zhuǎn)化為(1)來解解析:(1)49°,(2)44°,(3)∠OPQ=∠ORQ【分析】(1)根據(jù)∠OPA=∠QPB.可求出∠OPA的度數(shù);(2)由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度數(shù),轉(zhuǎn)化為(1)來解決問題;(3)由(2)推理可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,從而∠OPQ=∠ORQ.【詳解】解:(1)∵∠OPA=∠QPB,∠OPQ=82°,∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×=(180°-82°)×=49°,(2)作PC∥m,∵m∥n,∴m∥PC∥n,∴∠AOP=∠OPC=43°,∠BQP=∠QPC=49°,∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°,∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×=(180°-92°)×44°,(3)∠OPQ=∠ORQ.理由如下:由(2)可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,∵入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角,∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC,∴∠OPQ=∠ORQ.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和入射角等于反射角的規(guī)定,解決本題的關(guān)鍵是注意問題的設(shè)置環(huán)環(huán)相扣、前為后用的設(shè)置目的.8.(1)90°;(2)∠PFC=∠PEA+∠P;(3)∠G=α【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解;(2)過P點作PN∥AB,則PN∥CD,可得∠FPN=∠PEA+∠FPE,進(jìn)而可得∠PF解析:(1)90°;(2)∠PFC=∠PEA+∠P;(3)∠G=α【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解;(2)過P點作PN∥AB,則PN∥CD,可得∠FPN=∠PEA+∠FPE,進(jìn)而可得∠PFC=∠PEA+∠FPE,即可求解;(3)令A(yù)B與PF交點為O,連接EF,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE,由(2)得∠PEA=∠PFC-α,由∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC可求解.【詳解】解:(1)如圖1,過點P作PM∥AB,∴∠1=∠AEP.又∠AEP=40°,∴∠1=40°.∵AB∥CD,∴PM∥CD,∴∠2+∠PFD=180°.∵∠PFD=130°,∴∠2=180°-130°=50°.∴∠1+∠2=40°+50°=90°.即∠EPF=90°.(2)∠PFC=∠PEA+∠P.理由:過P點作PN∥AB,則PN∥CD,∴∠PEA=∠NPE,∵∠FPN=∠NPE+∠FPE,∴∠FPN=∠PEA+∠FPE,∵PN∥CD,∴∠FPN=∠PFC,∴∠PFC=∠PEA+∠FPE,即∠PFC=∠PEA+∠P;(3)令A(yù)B與PF交點為O,連接EF,如圖3.在△GFE中,∠G=180°-(∠GFE+∠GEF),∵∠GEF=∠PEA+∠OEF,∠GFE=∠PFC+∠OFE,∴∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE,∵由(2)知∠PFC=∠PEA+∠P,∴∠PEA=∠PFC-α,∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC,∴∠GEF+∠GFE=(∠PFC?α)+∠PFC+180°?∠PFC=180°?α,∴∠G=180°?(∠GEF+∠GFE)=180°?180°+α=α.【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定,靈活運用平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.9.(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不變,30°【分析】(1)過E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解;過F作FH∥AB解析:(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不變,30°【分析】(1)過E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解;過F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及角平分線的定義可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,進(jìn)而可求解;(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME,進(jìn)而可求解.【詳解】解:(1)過E作EH∥AB,如圖1,∴∠BME=∠MEH,∵AB∥CD,∴HE∥CD,∴∠END=∠HEN,∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END,即∠BME=∠MEN﹣∠END.如圖2,過F作FH∥AB,∴∠BMF=∠MFK,∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠FND=∠KFN,∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND,即:∠BMF=∠MFN+∠FND.故答案為∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.(2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.∵NE平分∠FND,MB平分∠FME,∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END,∵2∠MEN+∠MFN=180°,∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°,即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°,解得∠BMF=60°,∴∠FME=2∠BMF=120°;(3)∠FEQ的大小沒發(fā)生變化,∠FEQ=30°.由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END,∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END,∵EQ∥NP,∴∠NEQ=∠ENP,∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME,∵∠BME=60°,∴∠FEQ=×60°=30°.【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義,作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵.10.(1)∠B,EF,CD,∠D;(2)①65°;②180°﹣【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可;(2)①如圖1,過點E作EF∥AB,當(dāng)點B在點A的左側(cè)時,根據(jù)∠ABC=60°,解析:(1)∠B,EF,CD,∠D;(2)①65°;②180°﹣【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可;(2)①如圖1,過點E作EF∥AB,當(dāng)點B在點A的左側(cè)時,根據(jù)∠ABC=60°,∠ADC=70°,參考小亮思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù);②如圖2,過點E作EF∥AB,當(dāng)點B在點A的右側(cè)時,∠ABC=α,∠ADC=β,參考小亮思考問題的方法即可求出∠BED的度數(shù).【詳解】解:(1)過點E作EF∥AB,則有∠BEF=∠B,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠FED=∠D,∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D;故答案為:∠B;EF;CD;∠D;(2)①如圖1,過點E作EF∥AB,有∠BEF=∠EBA.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠FED=∠EDC.∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC.即∠BED=∠EBA+∠EDC,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∴∠EBA=∠ABC=30°,∠EDC=∠ADC=35°,∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°.答:∠BED的度數(shù)為65°;②如圖2,過點E作EF∥AB,有∠BEF+∠EBA=180°.∴∠BEF=180°﹣∠EBA,∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠FED=∠EDC.∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC.即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∴∠EBA=∠ABC=,∠EDC=∠ADC=,∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣.答:∠BED的度數(shù)為180°﹣.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).三、解答題11.(1)72°;(2)30秒或110秒;(3)不變,∠BAC=2∠BCD【分析】(1)根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=3:2,即可得到∠BAN的度數(shù);(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒,解析:(1)72°;(2)30秒或110秒;(3)不變,∠BAC=2∠BCD【分析】(1)根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=3:2,即可得到∠BAN的度數(shù);(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒,兩燈的光束互相平行,分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)0<t<90時,根據(jù)2t=1?(30+t),可得t=30;當(dāng)90<t<150時,根據(jù)1?(30+t)+(2t-180)=180,可得t=110;(3)設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒,根據(jù)∠BAC=2t-108°,∠BCD=126°-∠BCA=t-54°,即可得出∠BAC:∠BCD=2:1,據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化.【詳解】解:(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=3:2,∴∠BAN=180°×=72°,故答案為:72;(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒,兩燈的光束互相平行,①當(dāng)0<t<90時,如圖1,∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?(30+t),解得t=30;②當(dāng)90<t<150時,如圖2,∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?(30+t)+(2t-180)=180,解得t=110,綜上所述,當(dāng)t=30秒或110秒時,兩燈的光束互相平行;(3)∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化.理由:設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒,∵∠CAN=180°-2t,∴∠BAC=72°-(180°-2t)=2t-108°,又∵∠ABC=108°-t,∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t,而∠ACD=126°,∴∠BCD=126°-∠BCA=126°-(180°-t)=t-54°,∴∠BAC:∠BCD=2:1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用,解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進(jìn)行求解,解題時注意:兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.12.(1)平行,理由見解析;(2)65°;(3)5秒或95秒【分析】(1)根據(jù)等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等,再根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行即可判定a∥b;(2)根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反解析:(1)平行,理由見解析;(2)65°;(3)5秒或95秒【分析】(1)根據(jù)等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等,再根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行即可判定a∥b;(2)根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1=∠2,然后根據(jù)平角等于180°求出∠1的度數(shù),再加上40°即可得解;(3)分①AB與CD在EF的兩側(cè),分別表示出∠ACD與∠BAC,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等列式計算即可得解;②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè),分別表示出∠DCF與∠BAC,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等列式計算即可得解;③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè),分別表示出∠DCF與∠BAC,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等列式計算即可得解.【詳解】解:(1)平行.理由如下:如圖1,∵∠3=∠4,∴∠5=∠6,∵∠1=∠2,∴∠1+∠5=∠2+∠6,∴a∥b(內(nèi)錯角相等,兩直線平行);(2)如圖2:∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等,∴∠1=∠2,∵入射光線a與水平線OC的夾角為40°,b垂直照射到井底,∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°,∴∠1=×50°=25°,∴MN與水平線的夾角為:25°+40°=65°,即MN與水平線的夾角為65°,可使反射光線b正好垂直照射到井底;(3)存在.如圖①,AB與CD在EF的兩側(cè)時,∵∠BAF=105°,∠DCF=65°,∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°,∠BAC=105°-t°,要使AB∥CD,則∠ACD=∠BAC,即115-3t=105-t,解得t=5;如圖②,CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時,∵∠BAF=105°,∠DCF=65°,∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°,∠BAC=105°-t°,要使AB∥CD,則∠DCF=∠BAC,即295-3t=105-t,解得t=95;如圖③,CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時,∵∠BAF=105°,∠DCF=65°,∴∠DCF=3t°-(180°-65°+180°)=3t°-295°,∠BAC=t°-105°,要使AB∥CD,則∠DCF=∠BAC,即3t-295=t-105,解得t=95,此時t>105,∴此情況不存在.綜上所述,t為5秒或95秒時,CD與AB平行.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),光學(xué)原理,讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,(3)要注意分情況討論.13.(1)∠PAF+∠PBN+∠APB=360°;(2)①,見解析;②或【分析】(1)作PC∥EF,如圖1,由PC∥EF,EF∥MN得到PC∥MN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠PAF+∠APC=180°,∠解析:(1)∠PAF+∠PBN+∠APB=360°;(2)①,見解析;②或【分析】(1)作PC∥EF,如圖1,由PC∥EF,EF∥MN得到PC∥MN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠PAF+∠APC=180°,∠PBN+∠CPB=180°,即有∠PAF+∠PBN+∠APB=360°;(2)①過P作PE∥AD交ON于E,根據(jù)平行線的性質(zhì),可得到,,于是;②分兩種情況:當(dāng)P在OB之間時;當(dāng)P在OA的延長線上時,仿照①的方法即可解答.【詳解】解:(1)∠PAF+∠PBN+∠APB=360°,理由如下:作PC∥EF,如圖1,∵PC∥EF,EF∥MN,∴PC∥MN,∴∠PAF+∠APC=180°,∠PBN+∠CPB=180°,∴∠PAF+∠APC+∠PBN+∠CPB=360°,∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°;(2)①,理由如下:如答圖,過P作PE∥AD交ON于E,∵AD∥BC,∴PE∥BC,∴,,∴②當(dāng)P在OB之間時,,理由如下:如備用圖1,過P作PE∥AD交ON于E,∵AD∥BC,∴PE∥BC,∴,,∴;當(dāng)P在OA的延長線上時,,理由如下:如備用圖2,過P作PE∥AD交ON于E,∵AD∥BC,∴PE∥BC,∴,,∴;綜上所述,∠CPD,∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系是或.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補.難點是分類討論作平行輔助線.14.(1)2α;(2)EF⊥PQ,見解析;(3)∠NEF=∠AMP,見解析【分析】1)如圖①,過點P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF=解析:(1)2α;(2)EF⊥PQ,見解析;(3)∠NEF=∠AMP,見解析【分析】1)如圖①,過點P作PR∥AB,可得AB∥CD∥PR,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF=180°,進(jìn)而可得EF與PQ的位置關(guān)系;(3)結(jié)合(2)和已知條件可得∠QNE=∠QEN,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α),可得∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE,進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】解:(1)如圖①,過點P作PR∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PR,∴∠AMP=∠MPR=α,∠PQN=∠RPQ=α,∴∠MPQ=∠MPR+∠RPQ=2α;(2)如圖②,EF⊥PQ,理由如下:∵PQ平分∠MPN.∴∠MPQ=∠NPQ=2α,∵QE∥PN,∴∠EQP=∠NPQ=2α,∴∠EPQ=∠EQP=2α,∵EF平分∠PEQ,∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF,∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ=180°,∴2∠EPQ+2∠PEF=180°,∴∠EPQ+∠PEF=90°,∴∠PFE=180°﹣90°=90°,∴EF⊥PQ;(3)如圖③,∠NEF=∠AMP,理由如下:由(2)可知:∠EQP=2α,∠EFQ=90°,∴∠QEF=90°﹣2α,∵∠PQN=α,∴∠NQE=∠PQN+∠EQP=3α,∵NE平分∠PNQ,∴∠PNE=∠QNE,∵QE∥PN,∴∠QEN=∠PNE,∴∠QNE=∠QEN,∵∠NQE=3α,∴∠QNE=(180°﹣∠NQE)=(180°﹣3α),∴∠NEF=180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE=180°﹣(90°﹣2α)﹣3α﹣(180°﹣3α)=180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α=α=∠AMP.∴∠NEF=∠AMP.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15.(1)10秒;(2)20秒;(3)20秒,畫圖見解析;(4)秒,畫圖見解析【分析】(1)用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動速度即可得;(2)求出∠AON=60°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時間t;(3)設(shè)∠AON=3解析:(1)10秒;(2)20秒;(3)20秒,畫圖見解析;(4)秒,畫圖見解析【分析】(1)用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動速度即可得;(2)求出∠AON=60°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時間t;(3)設(shè)∠AON=3t,則∠AOC=30°+6t,由題意列出方程,解方程即可;(4)根據(jù)轉(zhuǎn)動速度關(guān)系和OC平分∠MOB,由題意列出方程,解方程即可.【詳解】解:(1)∵30÷3=10,∴10秒后ON與OC重合;(2)∵M(jìn)N∥AB∴∠BOM=∠M=30°,∵∠AON+∠BOM=90°,∴∠AON=60°,∴t=60÷3=20∴經(jīng)過t秒后,MN∥AB,t=20秒.(3)如圖3所示:∵∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠BOM,∵三角板繞點O以每秒3°的速度,射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn),設(shè)∠AON=3t,則∠AOC=30°+6t,∵OC與OM重合,∵∠AOC+∠BOC=180°,可得:(30°+6t)+(90°-3t)=180°,解得:t=20秒;即經(jīng)過20秒時間OC與OM重合;(4)如圖4所示:∵∠AON+∠BOM=90°,∠BOC=∠COM,∵三角板繞點O以每秒3°的速度,射線OC也繞O點以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn),設(shè)∠AON=3t,∠AOC=30°+6t,∵∠BOM+∠AON=90°,∴∠BOC=∠COM=∠BOM=(90°-3t),由題意得:180°-(30°+6t)=(90°-3t),解得:t=秒,即經(jīng)過秒OC平分∠MOB.【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì),角的計算以及方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形,找到各個量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.四、解答題16.【現(xiàn)象解釋】見解析;【嘗試探究】BEC70;【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠解析:【現(xiàn)象解釋】見解析;【嘗試探究】BEC70;【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即可得出∠DCB+∠ABC=180°,即可證得AB∥CD;[嘗試探究]根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠2+∠3=125°,根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用平角的定義得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°,即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°;[深入思考]利用平角的定義得出∠ABC=180°-2∠2,∠BCD=180°-2∠3,利用外角的性質(zhì)∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=β,而∠BOC=∠3-∠2=α,即可證得β=2α.【詳解】[現(xiàn)象解釋]如圖2,∵OM⊥ON,∴∠CON=90°,∴∠2+∠3=90°∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠DCB+∠ABC=180°,∴AB∥CD;【嘗試探究】如圖3,在△OBC中,∵∠COB=55°,∴∠2+∠3=125°,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°,∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°,∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°,∴∠BEC=180°-110°=70°;【深入思考】如圖4,β=2α,理由如下:∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠ABC=180°-2∠2,∠BCD=180°-2∠3,∴∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=β,∵∠BOC=∠3-∠2=α,∴β=2α.【點睛】本題考查了平行線的判定,三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17.解決問題:6;拓展延伸:(1)S1=2S2(2)10.5【解析】試題分析:解決問題:連接AE,根據(jù)操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,從而得到結(jié)論;拓展延伸:(1)解析:解決問題:6;拓展延伸:(1)S1=2S2(2)10.5【解析】試題分析:解決問題:連接AE,根據(jù)操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,從而得到結(jié)論;拓展延伸:(1)作△ABD的中線AE,則有BE=ED=DC,從而得到△ABE的面積=△AED的面積=△ADC的面積,由此即可得到結(jié)論;(2)連接AO.則可得到△BOD的面積=△BOC的面積,△AOC的面積=△AOD的面積,△EOC的面積=△BOC的面積的一半,△AOB的面積=2△AOE的面積.設(shè)△AOD的面積=a,△AOE的面積=b,則a+3=2b,a=b+1.5,求出a、b的值,即可得到結(jié)論.試題解析:解:解決問題連接AE.∵點D、E分別是邊AB、BC的中點,∴S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC.∵S△BDE=2,∴S△ADE=2,∴S△ABE=S△AEC=4,∴四邊形ADEC的面積=2+4=6.拓展延伸:解:(1)作△ABD的中線AE,則有BE=ED=DC,∴△ABE的面積=△AED的面積=△ADC的面積=S2,∴S1=2S2.(2)連接AO.∵CO=DO,∴△BOD的面積=△BOC的面積=3,△AOC的面積=△AOD的面積.∵BO=2EO,∴△EOC的面積=△BOC的面積的一半=1.5,△AOB的面積=2△AOE的面積.設(shè)△AOD的面積=a,△AOE的面積=b,則a+3=2b,a=b+1.5,解得:a=6,b=4.5,∴四邊形ADOE的面積為=a+b=6+4.5=10.5.18.(1)3;(2)98°;(3)∠P=(β+2α),理由見解析;(4)360°.【分析】(1)以M為交點的“8字形”有1個,以O(shè)為交點的“8字形”有2個;(2)根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠解析:(1)3;(2)98°;(3)∠P=(β+2α),理由見解析;(4)360°.【分析】(1)以M為交點的“8字形”有1個,以
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