參量根軌跡課件

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參量根軌跡

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在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，還常常碰到其它參數(shù)變化時(shí)對(duì)閉環(huán)特征方程的影響。比如，特殊的開環(huán)零、極點(diǎn)，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。

需要繪制除以外的其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參量根軌跡。-[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制參量根軌跡的例子：如下圖，繪制開環(huán)極點(diǎn)-p變化時(shí)的參量根軌跡（設(shè)）。**特征方程為：

相當(dāng)于開環(huán)傳遞函數(shù)，稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。參數(shù)p稱為等效根軌跡增益。畫出p從0→∞時(shí)的根軌跡如下：此式與前述的根軌跡方程形式完全相同。實(shí)軸上根軌跡為負(fù)實(shí)軸；根軌跡有兩支，起點(diǎn)為±2j，終點(diǎn)一為0的零點(diǎn)，另一為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)。出射角：**會(huì)合角為：。對(duì)應(yīng)的p=±4，取p=+4，s=－2為會(huì)合點(diǎn)。由根軌跡可見在復(fù)平面上的根軌跡是半個(gè)圓，對(duì)應(yīng)0<p<4。由二階系統(tǒng)特征方程可見：，解得即時(shí)，這對(duì)應(yīng)于欠阻尼情況。分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：**

一般情況，只要所論參數(shù)是線性地出現(xiàn)在閉環(huán)特征方程中，總可以把方程寫為不含可變參數(shù)的多項(xiàng)式加上可變參數(shù)和另一多項(xiàng)式的乘積。將不含可變參數(shù)的多項(xiàng)式除方程兩邊，便可得到以可變參數(shù)為根軌跡增益的等效根軌跡方程。繪制參量根軌跡的步驟：

列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；以特征方程中不含參變量的各項(xiàng)除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參量稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。注意此時(shí)的等效是指閉環(huán)特征方程相同，而并不保證閉環(huán)傳遞函數(shù)相同，除非根軌跡參數(shù)是系統(tǒng)的開環(huán)增益。**[例]：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，繪制以τ為參變量的根軌跡，并討論速度反饋對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響。--解：⒈先求等效開環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)系統(tǒng)特征方程為令，等效開環(huán)傳函為**⒉畫參量根軌跡①開環(huán)極點(diǎn)為－5.4、－0.3±j1.292，開環(huán)零點(diǎn)為０。②漸近線：③出射角：**⒊討論①τ*=0，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為等效開環(huán)極點(diǎn)，即－5.4、－0.3±j1.292，此時(shí)β=5.4/0.3=18，可看作二階系統(tǒng)。ζ=0.226，δ%=48.2%，ts=10s②τ*=5.375，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為－4、－1±j1.17，此時(shí)β=4/1=4，若看作二階系統(tǒng)則：ζ=0.65，δ%=6.8%，ts=3s③τ*=7.75，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為－2、－2±j0.866，此時(shí)β=2/2=1，已不能看作二階系統(tǒng)。④τ*=9.5，此時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)為-0.5604、-2.7198+j3.0910，-2.7198-3.0910,此時(shí)可看作一階系統(tǒng)。****當(dāng)系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)變化時(shí)，所繪出的根軌跡稱謂根軌跡族。[例]系統(tǒng)如下。試?yán)L制Kg和p分別從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡。-[解]：取Kg為不同值時(shí)，繪制參量p從零變化到無窮大時(shí)的參量根軌跡。這時(shí)，根軌跡方程為：Kg不同時(shí)的根軌跡如下頁所示：