數(shù)學(xué)例題與探究：倍角公式和半角公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1求下列各式的值:（1）coscos;(2）（cos-sin)（cos+sin)；(3)—cos2；(4)-+cos215°.思路分析:本題考查倍角公式的變形及應(yīng)用。（1）題添加系數(shù)2，即可逆用倍角公式；(2)題利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3）中提取系數(shù)后產(chǎn)生倍角公式的形式；(4）則需提取系數(shù).解:(1)coscos=cossin=×2cossin=sin=；(2）(cos-sin）（cos+sin）=cos2-sin2=cos=;(3）—cos2=—（2cos2—1）=—cos=—;(4)—+cos215°=(2cos215°—1）=cos30°=。綠色通道:根據(jù)式子本身的特征，經(jīng)過適當(dāng)變形，進(jìn)而利用公式,同時(shí)制造出特殊角，獲得式子的值，在變形中一定要整體考慮式子的特征.變式訓(xùn)練1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路分析：由sin30°=，原式可化為sin10°sin50°sin70°,再轉(zhuǎn)化為cos20°cos40°cos80°，產(chǎn)生成倍數(shù)的角,增加一項(xiàng)sin20°,即可依次逆用倍角公式;也可使用三角中的對(duì)偶式，設(shè)而不求，達(dá)到變形的目的。解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=====。解法二:令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°,則MN=(sin10°cos10°)（sin30°cos30°)（sin50°cos50°）(sin70°cos70°)=sin20°sin60°sin100°sin140°=cos10°cos30°cos50°cos70°=N,∴M=,即sin10°sin30°sin50°sin70°=.例2(2005江蘇高考卷，10）若sin(-α）=,則cos(+2α）等于()A.-B.-C.D。思路解析:本題考查三角函數(shù)的恒等變換以及運(yùn)算能力。觀察發(fā)現(xiàn)+2α=2(+α）,而(+α)+(-α）=，則cos（+α)=sin(-α)，cos(+2α)=2cos2（+α)-1=2sin2(-α）—1=-.答案：A綠色通道:通過角的形式的變化,生成所求的角或再變形即得所求角，是三角變換的重要方式，求解時(shí)應(yīng)當(dāng)對(duì)所給角有敏銳的感覺，這種感覺的養(yǎng)成要靠平時(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累。變式訓(xùn)練1已知sin（+α）sin（-α）=，且α∈(，π),求sin4α的值.思路分析:發(fā)現(xiàn)+α與-α的互余關(guān)系，將其中一個(gè)角的三角函數(shù)變?yōu)榱硪粋€(gè)的余名三角函數(shù),即可產(chǎn)生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函數(shù)值，進(jìn)一步可求4α的正弦值。解:∵（+α）+(-α)=，∴sin(-α)=cos(+α）.∵sin（+α)sin（-α）=，∴2sin(+α）cos(+α)=.∴sin(+2α)=?！郼os2α=.又∵α∈（，π),∴2α∈（π，2π).∴sin2α=—=—?！鄐in4α=2sin2αcos2α=—.變式訓(xùn)練2設(shè)5π＜θ＜6π，cos=a，則sin的值等于（）A.—B。-C.-D。-思路解析：顯然是的一半，可以直接應(yīng)用公式.∵5π＜θ＜6π，∴＜＜3π，＜＜.∴sin=—=—。答案：D例3(2006全國高考卷Ⅱ，理2）函數(shù)y=sin2xcos2x的最小正周期是(）A。2πB。4πC。D.思路解析：考查三角函數(shù)的周期性.將函數(shù)的解析式化為y=Asin（ωx+φ)的形式.y=sin2xcos2x=sin4x,則T==.答案：D綠色通道:討論三角函數(shù)的周期性時(shí)，先化簡解析式再求周期。化簡的手段是：利用和差、倍角、半角等三角公式.化簡的結(jié)果是:將三角函數(shù)的解析式化為y=Asin(ωx+φ）的形式，再利用公式T=得周期。變式訓(xùn)練(2006陜西高考卷，理17)已知函數(shù)f(x)=sin(2x-）+2sin2（x—）(x∈R）。(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求使函數(shù)f（x）取得最大值的x的集合.思路分析：將三角函數(shù)的解析式化為y=Asin(ωx+φ）+b的形式，再討論周期和最值。解:(1)f(x)=sin(2x—)+1—cos2(x—）=2［sin2（x-）—cos2(x-）]+1=2sin［2(x-)-］+1=2sin（2x-）+1，∴T==π.(2）當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，sin（2x-)=1,有2x-=2kπ+(k∈Z)?！鄕=kπ+，即使函數(shù)f(x）取得最大值的x的集合為｛x∈R｜x=kπ+（k∈Z）｝。問題探究問題1試用tan表示sinα,cosα,tanα。導(dǎo)思：看到α和，聯(lián)想到α=2（)，因此從二倍角公式的角度來探討.探究:可以由倍角公式直接獲得tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母,再將分子、分母同除以cos2可得：sinα=2sincos==,cosα=cos2—sin2==。用tan來表示sinα、cosα和tanα的關(guān)系式如下：sinα=，cosα=，tanα=。這三個(gè)公式統(tǒng)稱為“萬能公式”。其優(yōu)點(diǎn)是用正切函數(shù)來求二倍角的三角函數(shù)值會(huì)特別方便，也為一類三角函數(shù)的求值提供了一座方便可行的橋梁.如要計(jì)算cosα或sin(α+β)的值,可以先設(shè)法求得tan或tan的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用時(shí)要注意限制條件，即要保證式子有意義。所謂的“萬能”是指：不論角α的哪一種三角函數(shù)，都可以表示成tan的有理式.這樣就可以把問題轉(zhuǎn)化為以tan為變量的“一元有理函數(shù)”，即如果令tan=t，則sinα、cosα和tanα均可表達(dá)為關(guān)于t的分式函數(shù)，這就實(shí)現(xiàn)了三角問題向代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化，為三角問題用代數(shù)方法來處理提供了一條途徑。例1:求tan15°+cot15°的值.解法一：tan15°=tan(45°—30°）===2—，∴tan15°+cot15°=2—+=4。解法二：tan15°+cot15°=+===4.很明顯解法二比解法一較方便地解決了問題，體現(xiàn)了萬能公式的“萬能”之處，值得我們借鑒.例2：求函數(shù)y=的值域。思路分析:先利用換元法，再利用判別式法求函數(shù)的值域。解:令tan=t，則t∈R，利用萬能公式有sinx=，cosx=,∴y==（t∈R）.整理得（2y+1）t2+2yt+2y—1=0。當(dāng)2y+1=0即y=—時(shí)，t=—1∈R.∴y=-符合題意.當(dāng)2y+1≠0即y≠-時(shí),關(guān)于t的一元二次方程（2y+1)t2+2yt+2y—1=0必有實(shí)數(shù)根?！唳?4y2—4（2y+1)（2y-1）≥0.解得—≤y≤，即此時(shí)-≤y≤且y≠-.綜上所得函數(shù)的值域是｛y|-≤y≤}.例3：（2005江西高考卷，文2已知）tan=3,則cosα等于()A。B.—C。D.-思路解析:cosα===-.答案:B問題2（1)觀察代數(shù)式x2+y2=1，聯(lián)想sin2α+cos2α=1，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？（2)利用（1）解答下面的問題：已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=1，求xy的最大值和最小值。導(dǎo)思:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和等于1,那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)恰好是同一個(gè)角的正弦值和余弦值。探究:(1）可得結(jié)論:當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1時(shí)，可換元為x=cosα，y=sinα。(2）設(shè)x=cosα,y=sinα，α∈R，則有xy=sinαcosα=sin2α。∵α∈R，∴—1≤sin2α≤1.∴xy的最大值是,xy的最小值是-.這種求最值的方法稱為三角代換法.在高考中經(jīng)常用到，我們要逐