數(shù)學例題與探究：平面向量的基本定理及坐標表示

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1如圖2—3-2，在平行四邊形ABCD中,M、N分別為、的中點，已知=c，=d，試用c、d表示和.圖2—3—2思路分析:本題要求用c、d表示和，所以可以將c、d看作基底，也就變成了用基底表示和兩個向量。解：設=a,=b,則由M、N分別為DC、BC的中點，得=b，=a。從△ABN和△ADM中可得解得即=(2d-c），=（2c-d）。綠色通道：從解答本題的過程來看，策略性較強：(1）為使問題表達簡單,采用代換=a，=b；(2)為使問題降低難度，采用正難則反策略，即直接用c、d表示、困難,反過來改用、表示c、d，然后將和看成是未知量，利用方程組的知識解得和。變式訓練如果e1、e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列敘述中錯誤的有(）①λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量②對于平面α中的任一向量a,使a=λe1+μe2的實數(shù)λ、μ有無數(shù)多對③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線，則有且只有一個實數(shù)λ，使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2）④若實數(shù)λ、μ使λe1+μe2=0，則λ=μ=0A.①②B。②③C。③④D。②思路解析:由平面向量基本定理可知命題①④為真命題,而命題②是假命題。當λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2），當λ1=λ2=μ1=μ2時，對任意實數(shù)λ,均有λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2）.因此，命題③也是假命題。答案：B例2已知平面內(nèi)三個點A(1，—2)，B（7,0），C(-5，6），求,,+，2+.思路分析：本題用到向量的坐標表示，向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算等知識，代入相應的公式運算即可.解:∵A（1，-2）,B(7,0）,C(—5，6)，∴=(7—1,0+2)=(6,2)，=（-5-1,6+2）=（—6，8），+=(6-6,2+8)=（0，10)。2+=2（6,2）+(-6,8)=（12，4)+（—3,4）=(9，8)。綠色通道：本題涉及向量的坐標表示，向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算,均需正確掌握其運算法則。變式訓練已知ABCD中，A(—1，0)，B(3，0），C(1，—5)，則D的坐標為()A。(—3，—5）B.（-3,5）C。(5，-5）D.（-2,5)思路解析：設D(x，y)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴=.又∵=(4,0),=(1—x，-5-y），∴1-x=4且—5—y=0?！鄕=-3，y=-5.答案：A例3用坐標法證明++=0.思路分析:本題沒有給出向量的坐標,需要將各向量的坐標設出來，然后進行向量運算.證明：設A（a1,a2）、B（b1,b2)、C(c1，c2），則=（b1—a1,b2-a2),=（c1—b1,c2-b2)，=(a1-c1,a2—c2）?！?+=(b1—a1，b2-a2）+（c1-b1，c2-b2)+（a1-c1，a2—c2)=(b1—a1+c1-b1+a1-c1，b2—a2+c2-b2+a2—c2）=（0，0）=0.∴++=0。綠色通道：這個證明過程完全是三個點坐標的運算，無需考慮三個點A、B、C是否共線.同時,對這個結論的更一般的形式，即n個向量順次首尾相接，組成一條封閉的折線，其和為零向量,也就不難理解了：=0。變式訓練求證：=0。思路分析：這個證明過程完全是n個點坐標的計算，無需考慮點A1、A2、…、An是共線還是不共線的位置關系.證明:設A1(x1,y1），A2(x2,y2）,A3（x3,y3)，…An(xn,yn),則=（x2—x1，y2-y1），=(x3-x2,y3—y2）,…，=(x1-xn，y1-yn)，∴=(x2—x1，y2—y1）+（x3—x2,y3-y2）+…+(x1-xn，y1—yn）=(x2—x1+x3-x2+…+x1-xn，y2-y1+y3—y2+…+y1—yn)=（0,0）.∴=0。例4(2006湖南高考卷，文10）如圖2-3-3，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），且=x+y，則實數(shù)對(x，y)可以是(）圖2-3—3A.（，)B.（-,）C。（-,)D。（)思路分析:據(jù)平面向量基本定理和平行四邊形法則對各選項進行驗證。選項A，P在OB下;選項B,P在OM上；選項D，P在AB延長線上方，均不符合P在陰影部分的要求.答案：C黑色陷阱：解題中應注意避免忽略點P的位置范圍而引發(fā)錯誤。向量是近幾年高考的熱點，復習過程中要注意正確理解向量的相關知識及其應用。變式訓練一船以每小時8千米的速度向東航行，船上人測得風自北方來，若船速加倍，則測得風自東南方來,求風速.思路分析：船上人測得的風速是風對船的相對速度，明白了這個道理解決這個問題就很簡單了.解：分別取正東、正北方向為x、y軸建立直角坐標系，令x、y軸正方向上的單位向量為i、j，則風速可表示為xi+yj，第一次船速為8i，船上人測得的風速為—pj(p＞0)?！鄕i+yj+8i=-pj。∴x=-8。第二次船速為16i，船上人測得的風速為—q(i+j）（q＞0)?！鄕i+yj+16i=—q（i+j）.∴x+16=—q=y.∴y=—8?！囡L速為8i—8j,即風的方向為東南方向，大小為8千米/時。問題探究問題試探究命題“如果a=(a1,a2),b=(b1，b2),則a1b2—a2b1=0a∥b導思：若a、b其中一個為零向量，則零向量與任何向量共線,顯然成立.若a、b均不為零向量,可借助平面向量基本定理證明,結合向量的直角坐標運算來證之.探究：（1）若a1b2-a2b1=0.1o若b1=b2=0，即b=0,此時a∥b成立;2o若b1=0，b2≠0，則a1=0，此時a=(0,a2)，b=（0，b2)，a∥b成立；3o若b1≠0且b2≠0,則由a1b2-a2b1=0,得.令=λ，即a1=λb1，a2=λb2，∴a=（a1,a2)=(λb1，λb2)=λ(b1,b2)=λb.∴a∥b.因此，若a1b2-a2b1=0，則a∥b。(2)若a∥b.1o若a、b其中一個為零向量，不妨設b=(0,0），則a1b2—a2b1=0成立；2o若a、b均不為零向量,因為a∥b,則存在唯一實數(shù)λ使a