數(shù)學例題與探究：向量的線性運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1下列說法正確的是()A.∥就是的基線平行于的基線B.長度相等的向量叫做相等向量C。零向量長度等于0D。共線向量是在同一條直線上的向量思路解析：考查向量的基本概念?！伟幕€與的基線平行和重合兩種情況，故A錯；相等向量不僅要求長度相等，還要求方向相同,故B錯;按定義零向量長度等于0，故C正確；共線向量,它們可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯.答案：C綠色通道:熟知向量的基本概念，弄清向量基本概念之間的區(qū)別與聯(lián)系是解決向量概念辨析題的基礎(chǔ)。變式訓練下列命題正確的是(）A。a與b共線，b與c共線,則a與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C。向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D。有相同起點的兩個非零向量不平行思路解析：由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確;由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確;假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個是零向量,而零向量與任一向量都共線，可有a與b共線,這與a與b不共線矛盾，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C。答案：C例2(2006安徽高考卷,理14）在ABCD中，=a，=b，=3,M為BC的中點，則=__________________。(用a,b表示）思路解析：考查向量的線性運算.由=3,得4=3=3（a+b)，即=(a+b)。又=a+b，所以=—a+b。答案：—a+4b綠色通道:用已知向量表示未知向量時，通常是結(jié)合圖形的特點，把未知向量放到三角形或平行四邊形中，適當選擇向量的加法、減法和數(shù)乘運算.變式訓練1若M是△ABC的重心,則下列各向量中與AB共線的是（）A.B.C.D.3思路解析：設(shè)D、E、F分別為三邊中點,根據(jù)點M是△ABC的重心,=（)=(）=0,而零向量與任何向量都共線，所以與共線。答案:C變式訓練2如圖2-1—4，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點,=a,=b,=c,求.圖2思路分析：所給圖形是平行四邊形，為了應(yīng)用圖形的性質(zhì)，將向量、、、都轉(zhuǎn)化到四條邊上來，由向量加法的三角形法則得，,于是根據(jù)BA與CD互為相反向量的關(guān)系可得結(jié)論。解：因為,，,所以，.所以=a-b+c.問題探究問題課堂上老師布置作兩個向量的和,同學們選擇的始點通常都是不相同的,那么選擇不同的始點作出的向量都相等嗎?或許你會認為，這還需要理由嗎，這是“顯然"成立的.到底這種“顯然”是否正確，如何邏輯地說明這個問題？導思:判斷作出的向量是否相等，主要從相等向量的定義上來分析。探究：如圖2—1-5,在平面內(nèi)任取一點A，以A為始點依次作向量=a,=b，連結(jié)向量，則由三角形法則知=a+b.再任取一點A′，以A′為始點依次作向量=a，=b，連結(jié)向量。圖2∵=a，∴四邊形AA′B′B為平行四邊形.∴AA′∥BB′，且AA′=BB′。∵=b，∴四邊形BB′C′C為平行四邊形.∴BB′∥CC′且BB′=CC′?！郃A′∥CC′，且AA′=CC′,即四邊形AA′C′C為平行四