專題22平行與垂直重難點題型專訓(xùn)（7大題型）（原卷版）

專題22平行與垂直重難點題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系題型二立體圖形中平行的棱題型三用直尺、三角板畫平行線題型四垂線的定義理解題型五畫垂線題型六垂線段最短題型七點到直線的距離【知識梳理】知識點一：平行1、定義：同一平面內(nèi)的兩條直線的位置有兩種：平行或相交．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．定義中的三個要點：（1）在同一平面內(nèi)；（2）不相交，即沒有公共點；（3）兩條直線，而不是線段或射線．2、平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行．3、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。知識點二：垂直1．垂直的定義：如圖，直線a、b相交成的四個角中有一個角是直角（通常標上直角標記），則直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b或者b⊥a，交點O就是垂足．其中a是b的垂線，b也是a的垂線．垂線是直線，且相對于另一條直線而言．a(chǎn)abOa圖12．垂直定義的應(yīng)用：（1）判定：若直線AB和CD相交，交點為O，∠BOC＝90°，則AB⊥CD．這個推理過程可表示為：∵∠BOC＝90°，∴AB⊥CD．（垂直的判定）．（2）性質(zhì)：若兩條直線AB⊥CD，垂足為點O，則∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°，這個推理過程可表示為：∵AB⊥CD∴∠BOC＝90°（垂直的定義）．CCBOa圖2AD【經(jīng)典例題一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系】1．（2021上·四川甘孜·七年級統(tǒng)考期末）若整數(shù)a使關(guān)于x的方程有負整數(shù)解，且a是三條直線在同一平面內(nèi)交點的個數(shù)，則滿足條件的所有a的和為（

）A．8 B．7 C．5 D．32．（2022下·上海嘉定·七年級校聯(lián)考期中）已知直線、、在同一平面內(nèi)，且滿足∥，，那么直線與的位置關(guān)系是：.（從“∥”或“”中選擇）3．（2022下·江蘇南京·七年級南京市金陵匯文學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在間一平面內(nèi)，有2022條互不重合的直線，l1，l2，l3，…，l2022，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此類推，則l1和l2022的位置關(guān)系是．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一組互相平行的直線有6條，它們和兩條平行線a，b都相交，構(gòu)成若干個“#”形，則此圖中共有多少個“#”形？【經(jīng)典例題二立體圖形中平行的棱】1．（2022下·河北衡水·七年級?？茧A段練習(xí)）有一正棱錐的底面為正三角形．若此正棱錐其中兩個面的周長分別為27、15，則此正棱錐所有邊的長度和為多少？（）A．36 B．42 C．45 D．482．（2021·上海·上海市實驗學(xué)校?？级＃┤鐖D，在長方體ABCDEFGH中，與棱AD平行的平面共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022下·七年級課時練習(xí)）觀察如圖所示的長方體.(1)用符號表示下列兩棱的位置關(guān)系：ABA′B′，AA′AB，D′A′D′C′，ADBC．(2)A′B′與BC所在的直線是兩條不相交的直線，它們平行線.（填“是”或“不是”）4．（2022下·七年級課時練習(xí)）觀察下圖所示的長方體，回答下列問題．(1)用符號表示兩棱的位置關(guān)系：，，，；(2)與所在的直線不相交，它們平行線(填“是”或“不是”)．由此可知，在內(nèi)，兩條不相交的直線才是平行線．5．（2021下·七年級課時練習(xí)）如圖，在長方體中，（1）與棱平行的棱為；（2）與棱平行的平面為；（3）與平面垂直的平面為．【經(jīng)典例題三用直尺、三角板畫平行線】1．（2022下·北京·七年級北師大實驗中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知，請你按下列步驟畫圖：（用三角板、量角器等工其畫圖，不寫畫法，只保留畫圖痕跡）

①畫的平分線交線段于點D；②過點C畫的平行線交射線于點E；③過點E作的垂線段，垂足是F．2．（2023下·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)下列要求畫圖：

(1)過點點畫線段的垂線；(2)以為頂點作，使；(3)連接，若格點（不與點重合），滿足，則此網(wǎng)格中滿足條件的格點有個．3．（2023上·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，分別是兩條筆直的公路，是三個商店．

(1)如果經(jīng)過點處建設(shè)一條公路，使這條公路與公路平行，且交于點，在圖上畫出這條公路．(2)一個人從處走最近的路線到達公路，畫出這個人行走的路線．(3)一輛貨車在公路上行駛，當停在處時，可以使兩處的人到貨車的距離之和最小，畫出點的位置．這樣畫的依據(jù)是．4．（2022上·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）已知平面上有A、C、D三點，如圖，請按要求完成下列問題．(1)畫射線AD，線段AC；(2)利用圓規(guī)在射線AD上截取DB，使（保留作圖痕跡），連接BC；(3)過點D畫出AC的平行線DF，交BC于E；(4)通過測量猜測線段DE與AC之間的數(shù)量關(guān)系．5．（2022下·福建漳州·七年級福建省詔安縣第二實驗中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，點P為的邊上一點，(1)求作：過點P作，使得；（要求保留作圖痕跡）(2)直線CP和OA的位置關(guān)系是．【經(jīng)典例題四垂線的定義理解】1．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、相交于點，，，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．2．（2023下·天津·七年級?？计谀┮阎?，直線經(jīng)過點O且度，則等于（

）A． B． C．或 D．3．（2022下·新疆阿克蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知直線相交于點O，平分，且，射線，則．4．（2023上·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線與直線相交于點O，平分，若，且，則．

5．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校校考期中）已知：如圖，直線相交于點為射線，且平分．

(1)求的度數(shù)；(2)請直接寫出圖中4對相等的角（直角、平角除外）．【經(jīng)典例題五畫垂線】1．（2022上·福建泉州·七年級?？计谀┤鐖D，在平面內(nèi)有A，B，C三點．

(1)畫直線；畫射線；畫線段；過A點做垂直于于點D；并延長至點E，使；(2)點A到的距離為線段的長度．2．（2023下·河南鄭州·七年級?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的方格紙中，

(1)僅用無刻度的直尺，過點作的平行線、過點作的垂線，垂足為（其中D、E為格點）；(2)比較大小：______，理由是：______．3．（2023下·河南許昌·七年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點叫格點，格點P是的邊OB上的一點（請利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點畫圖）．

(1)過點P畫的垂線，交于點E；過點P畫的垂線，垂足為F；(2)線段的長度是點P到______的距離，線段______的長度是點E到直線OB的距離，所以線段這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號連接），理由是______．4．（2022上·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）在方格紙上畫圖并回答問題．如圖，已知A，B，C三個點．

(1)畫射線；(2)過B點作的垂線，垂足為點；(3)過C作平行線，交于點；寫出圖中的對頂角：___________．5．（2023下·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點P、Q分別是的邊、上的點．

(1)過點P、Q分別畫、的平行線，兩直線相交于點M；(2)過點P、畫的垂線，垂足為H，過點P畫的垂線交于點G；(3)線段與的大小關(guān)系是什么？【經(jīng)典例題六垂線段最短】1．（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點A到直線的距離為3，若在射線上只存在一個點，記的長度為，則的值可以是（）

A．7 B．2 C．5 D．62．（2023下·湖北省直轄縣級單位·七年級校考階段練習(xí)）直角三角形中，，，，，則點到直線上各點的所有線段中，最短的線段長為（

）A． B． C． D．3．（2023下·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期末）如圖，沿筆直小路的一側(cè)栽植兩棵小樹B，C，小明在A處測得米，米，則點A到的距離d可能為米．（填一個你認為正確的答案）

4．（2023上·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，直角三角形中，，，，，點是邊上一動點，作直線經(jīng)過點．點，分別過點，作與垂直，與垂直．垂足分別為，，設(shè)線段，的長度分別為，則的最大值為．

5．（2023下·河北滄州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖是一條河是河邊外一點，是河邊上一碼頭．

(1)若要從走到碼頭，請在圖1中作出最短路線示意圖．(2)現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到處，請在圖2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案．【經(jīng)典例題七點到直線的距離】1．（2023下·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）在同一個平面內(nèi)，是直線外一點，分別是上三點，已知，，若點到的距離是，則（

）A． B． C． D．2．（2022下·福建廈門·七年級?？计谀┤鐖D，點A在直線l1上，點B，C在直線l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，則下列說法正確的是（）A．點A到直線l2的距離等于4B．點C到直線l1的距離等于4C．點C到AB的距離等于4D．點B到AC的距離等于33．（2023上·七年級課時練習(xí)）如圖，，垂足為，則下面的結(jié)論正確有．①與互相垂直；②與互相垂直；③點到的垂線段是線段；④線段的長度是點到的距離；⑤線段是點到的距離．4．（2021下·廣東珠?！て吣昙壷楹Ｊ凶锨G中學(xué)桃園校區(qū)校考期中）如圖所示，已知，若，，，則點到的距離是，點到的距離是．5．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位長度，A、B、C都在格點上．

(1)過點A作直線的垂線，并注明垂足為G．(2)過點A作交于點H．(3)點A到直線的距離等于_______個單位長度．【培優(yōu)檢測】1．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）有8條不同的直線（、、、、、、、），其中，、、交于同一點，則這8條直線的交點個數(shù)最多有（）A．21個 B．22個 C．23個 D．24個2．（2021上·四川甘孜·七年級統(tǒng)考期末）若整數(shù)a使關(guān)于x的方程有負整數(shù)解，且a是三條直線在同一平面內(nèi)交點的個數(shù)，則滿足條件的所有a的和為（

）A．8 B．7 C．5 D．33．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、相交于點，，，則的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．4．（2023下·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）在同一個平面內(nèi)，是直線外一點，分別是上三點，已知，，若點到的距離是，則（

）A． B． C． D．5．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·七年級統(tǒng)考期末）如圖，三條直線，，相交于點，且，，若平分．的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）直線與直線相交于點，，射線，則的度數(shù)為．7．（2023上·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線與直線相交于點O，平分，若，且，則．

8．（2022下·六年級校考課時練習(xí)）空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系有、、三種．9．（2022下·上海嘉定·七年級?？计谀┤鐖D，直線交于O，且，，則．

10．（2021上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，直線與直線相交于點O，，垂直于O，平分，則的度數(shù)為°．11．（2022下·北京·七年級北師大實驗中學(xué)校考期末）如圖，已知，請你按下列步驟畫圖：（用三角板、量角器等工其畫圖，不寫畫法，只保留畫圖痕跡）

①畫的平分線交線段于點D；②過點C畫的平行線交射線于點E；③過點E作的垂線段，垂足是F．12．（2023上·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，分別是兩條筆直的公路，是三個商店．

(1)如果經(jīng)過點處建設(shè)一條公路，使這條公路與公路平行，且交于點，在圖上畫出這條公路．(2)一個人從處走最近的路線到達公路，畫出這個人行走的路線．(3)一輛貨車在公路上行駛，當停在處時，可以使兩處的人到貨車的距離之和最小，畫出點的位置．這樣畫的依據(jù)是．13．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？计谥校┮阎喝鐖D，直線相交于點為射線，且平分．

(1)求