專題03倍長(zhǎng)中線

專題03倍長(zhǎng)中線小貼士小貼士1.任何時(shí)候,都需牢記:做題只是提高成績(jī)的一個(gè)手段,而不是目的.2.倍長(zhǎng)中線,只是輔助線的一種方法,是指題目條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中。3.倍長(zhǎng)中線,提供的是一種解題思路,而不能死記硬背。4.倍長(zhǎng)中線還可以理解為:中點(diǎn)+平行,中心對(duì)稱,180°旋轉(zhuǎn)…… 三角形圖圖11圖12如圖11：已知AD是△ABC的中線。求證：12（ABAC)<AD<1證明：如圖證明：如圖12法一：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD.又∵CD=BD,∠3=∠4∴△ADB?△EDC∴AB=CE;∠ABC=∠2;∠1=∠E;AB∥CE在△ACE中，ABAC<AE<AB+AC又∵AD=AE∴12（ABAC)<AD<12法二：作CE∥AB,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。則：∠ABC=∠2;∠1=∠E又∵AD是△ABC的中線。∴BD=CD∴△ADB?△EDC∴AD=DE，AB=CE在△ACE中，ABAC<AE<AB+AC又∵AD=AE∴12（ABAC)<AD<12中心對(duì)稱圖形圖圖21圖22 如圖21：已知：點(diǎn)F是?ABCD邊CD的中點(diǎn),且AF平分∠CAF。求證：EF⊥AE,AE=AD+CE證明：延長(zhǎng)AF,BC交于點(diǎn)G.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AD∥BG∴∠1=∠G,∠ADC=∠FCG又∵CF=FD∴△ADF?△GCF∴AD=CG，AF=GF又∵∠1=∠2∴∠2=∠G∴AE=CE∴EF⊥AG∵EC=CE+CG∴AE=AD+CE實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練一．中線取值范圍1．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．0＜AD＜5 B．2＜AD＜3 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5試題分析：如圖，首先倍長(zhǎng)中線AD至E，連接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，這樣就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三邊的關(guān)系即可求解．答案詳解：解：如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接CE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，而AB＝3，AC＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．故選：C．二．三角形類提升2．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，連接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是1＜AD＜5；（2）如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF．求證：BE+CF＞EF．試題分析：（1）證明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE＝AB＝4，在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解決問(wèn)題即可．（2）如圖2中，延長(zhǎng)ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．證明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE＝CH，再證明EF＝FH，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題．答案詳解：（1）解：如圖1中，∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為1＜AD＜5．（2）證明：如圖2中，延長(zhǎng)ED到H，使得DH＝DE，連接DH，F(xiàn)H．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．3．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如圖甲，連接DE，設(shè)M為DE的中點(diǎn)．（1）說(shuō)明：MB＝MC；（2）設(shè)∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，試問(wèn)：MB＝MC是否還能成立？并證明其結(jié)論．試題分析：（1）在AD上取點(diǎn)P，MP∥CE∥BD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得P是BC的中點(diǎn)，再由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等即可求解；（2）取AD、AE的中點(diǎn)F、G，連接BF、MF、MG、CG，由M是BE的中點(diǎn)可知，線段MG、MF都是△ADE的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理及平行四邊形的判定定理可判斷MFAG是平行四邊形，可用AD．AE表示出MG．MF的長(zhǎng)，再由直角三角形的性質(zhì)可求出BF的長(zhǎng)，再根據(jù)∠BAD＝∠CAE通過(guò)等量代換可得∠BFM＝∠MGC，可求出△BFM≌△MGC，由三角形全等即可得出答案．答案詳解：證明：（1）作點(diǎn)M作MP⊥AB于點(diǎn)P，∵∠ABD＝∠ACE＝90°．∴MP∥CE∥BD．∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴CP＝BP，∴MP是BC的中垂線，∴△BCM是等腰三角形，∴MB＝MC；（2）MB＝MC成立．取AD、AE的中點(diǎn)F、G，連接BF、MF、MG、CG顯然線段MG、MF都是△ADE的中位線，∴四邊形MFAG是平行四邊形，MG=12AD，MF=∴∠MFA＝∠AGM，又∵∠DBA＝∠ACE＝90°，∴Rt△斜邊中線BF=12AD＝CG=12AE＝∵∠DAB＝∠CAE，∴∠BDA＝∠CEA，∴∠BFA＝2∠BDA＝2∠CEA＝∠CGA，∴∠BFM＝∠BFA﹣∠MFA＝∠CGA﹣∠AGM＝∠MGC，∴△BFM≌△MGC，∴MB＝MC．4．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“△ADC≌△EDB”的推理過(guò)程．（1）求證：△ADC≌△EDB證明：∵延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（對(duì)頂角相等）CD＝BD（中點(diǎn)定義）∴△ADC≌△EDB（SAS）（2）探究得出AD的取值范圍是1＜AD＜7；【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中線，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的長(zhǎng)．試題分析：（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，根據(jù)SAS定理證明△ADC≌△EDB；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，證明△ABD≌△FCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．答案詳解：解：（1）證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED（已作），∠ADC＝∠EDB（對(duì)頂角相等），CD＝BD（中點(diǎn)定義），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：對(duì)頂角相等，SAS；（2）∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，8﹣6＜AE＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△FCD中，∠ABD=∴△ABD≌△FCD（ASA），∴CF＝AB＝2，AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF，∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，∴AE＝6．5．課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，再連接BE，（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．[感悟]解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（1）解決問(wèn)題：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明（2）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．試題分析：（1）①延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G使DG＝ED，連接GF，GC，就有EF＝GF，連接FG、CG，可證△BED≌△CDG，則CG＝BE，由三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論；②由∠A＝90°就可以得出∠A+∠ACB＝90°，就可以得出∠FCG＝90°，由勾股定理就可以得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AC到G使CG＝BE，連接DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE＝DG，∠BDE＝∠CDG，由∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，可以得出∠BDE+∠CDF＝60°，進(jìn)而得出∠FDG＝60°，就有∠EDF＝∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出結(jié)論．答案詳解：解：（1）①如圖2，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連接GF，GC，∵ED⊥DF，∴EF＝GF，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，ED=GD∠BDE=∠GDC∴△DBE≌△DCG（SAS），∴BE＝CG，∵CG+CF＞GF，∴BE+CF＞EF；②線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2＝EF2．證明：如圖2，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，由①可得，△DBE≌△DCG，EF＝GF，∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，∴BE2+CF2＝EF2；（2）線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF＝BE+CF，理由：如圖3，延長(zhǎng)AC到G，使CG＝BE，∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCG＝180°，∴∠B＝∠DCG，在△DBE和△DCG中，BE=GC∠B=∠DCG∴△DBE≌△DCG（SAS），∴DE＝DG，∠BDE＝∠CDG，∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°，∴∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF，在△EDF和△GDF中，DE=DG∠EDF=∠GDF∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝CG+CF，∴GF＝BE+CF，∴EF＝BE+CF．6．閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．試題分析：（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判斷出AB＝BF，即可得出結(jié)論；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判斷出△BAF≌△CDG，即可得出結(jié)論；（2）如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，先判斷出BE＝CE，進(jìn)而判斷出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出結(jié)論．答案詳解：證明：（1）①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，BE=CE∠BEF=∠CED∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，∠F=∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，∠BAE=∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，∠BAE=∴△BAE≌△CME（AAS），∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠M＝∠EDC，∴CM＝CD，∴AB＝CD．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè)，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥DA交DC于點(diǎn)E，M為AB的中點(diǎn)，連接MD，ME．（1）如圖1，當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是MD＝ME；（2）如圖2，當(dāng)∠ADC＝60°時(shí)，試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)∠ADC＝α?xí)r，求MEMD試題分析：（1）先判斷出△AMF≌△BME，得出AF＝BE，MF＝ME，進(jìn)而判斷出∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，得出CE＝BE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判斷出AF＝BE，MF＝ME，再判斷出∠ECB＝∠EBC，得出CE＝BE即可得出∠MDE=α答案詳解：解：（1）如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠BED＝∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝45°，∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∵DA＝DC，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝45°，∴MD＝ME，故答案為MD＝ME；（2）MD=3ME如圖1，延長(zhǎng)EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝60°，∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝30°＝∠ECB，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∵DA＝DC，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=ME∴MD=3ME（3）如圖3，延長(zhǎng)EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)N，∴∠BNC＝∠DAC，∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC＝α，∴∠MDE=α在Rt△MDE中，MEMD=tan∠MDE＝tan三．中心對(duì)稱圖形類8．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且EF⊥AE．求證：AE平分∠DAF．李華同學(xué)讀題后有一個(gè)想法，延長(zhǎng)FE，AD交于點(diǎn)M，要證AE平分∠DAF，只需證△AMF是等腰三角形即可．請(qǐng)你參考李華的想法，完成此題的證明．試題分析：通過(guò)倍長(zhǎng)中線可證△EDM≌△ECF，進(jìn)而可得EM＝EF，即可得△AMF是等腰三角形．答案詳解：證明：延長(zhǎng)AD，F(xiàn)E交于M．在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠MDE＝∠FCE，∠EMD＝∠EFC，又E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴△EDM≌△ECF（AAS），∴EM＝EF，又∵EF⊥AE，∴AF＝AM，即△AMF是等腰三角形，∴AE平分∠DAF．9．如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2和3，且點(diǎn)B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連接MF，則MF的長(zhǎng)為（）A．2 B．22 C．22 D．試題分析：延長(zhǎng)AD至H，易證△AMH≌△EMF，得FM＝HM，AH＝EF，又∵DH＝AH﹣AD，且DF＝CF﹣CD，解直角△DFH可以求得FH的長(zhǎng)，根據(jù)FM＝HM即可解題．答案詳解：解：延長(zhǎng)AD至H，延長(zhǎng)FM與AH交于H點(diǎn)，則在△AMH和△EMF中，∠MAH=∴△AMH≌△EMF，即FM＝MH，AH＝EF，∴DH＝AH﹣AD＝EF﹣AD＝1，∵DF＝CF﹣CD＝3﹣2＝1，在直角△DFH中，F(xiàn)H為斜邊，解直角△DFH得：FH=2又∵FM＝MH，∴FM=2故選：B．10．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE＝∠EAD，則EF與AE的位置關(guān)系垂直．若將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖a、圖b、圖c），其它條件不變，則EF與AE的位置關(guān)系是垂直請(qǐng)結(jié)合圖c加以說(shuō)明．試題分析：兩種情況EF與AE的位置關(guān)系是垂直；理由為：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由ABCD為平行四邊形，得到AD與BC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等及DE＝CE，利用ASA得到三角形ADE與三角形ECG全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等得到一對(duì)角相等，一對(duì)邊相等，再由已知角相等，等量代換及等角對(duì)等邊得到AF＝CF，利用三線合一即可得證．答案詳解：解：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE＝∠EAD，EF與AE的位置關(guān)系是垂直；若將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖a、圖b、圖c），其它條件不變，則EF與AE的位置關(guān)系是垂直；證明：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，∵E為DC的中點(diǎn)，∴DE＝EC，在△ADE和△GCE中，∠D=∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE＝GE，∠DAE＝∠G，∵∠FAE＝∠DAE，∴∠FAE＝∠G，∴FA＝FG，∴EF⊥AE．故答案為：垂直；垂直．四．綜合運(yùn)用11．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是1.5＜AD＜6.5；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．試題分析：（1）將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，得到△ACD≌△EBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使BH＝DF，連接CH，證出∠HBC＝∠D，證明△HBC≌△FDC，得出CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，證出∠ECH＝50°＝∠ECF，再證明△HCE≌△FCE，得出EH＝EF，即可得出結(jié)論．答案詳解：（1）解：如圖①，將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，則△ACD≌△EBD，∴AD＝DE，BE＝AC＝5，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，故答案為：1.5＜AE＜6.5；（2）證明：如圖②，延長(zhǎng)FD至N，使DN＝DF，連接BN、EN，在△FDC和△NDB中，F(xiàn)D=ND∠FDC=∠NDB∴△FDC≌△NDB（SAS）∴BN＝FC，∵DF＝DN，DE⊥DF，∴EF＝EN，在△EBN中，BE+BN＞EN，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF，理由如下：如圖③，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使BH＝DF，連接CH，∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠D，在△HBC和△FDC中，DF=BH∠D=∠CBH∴△HBC≌△FDC（SAS）∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE+∠FCD＝50°，∴∠ECH＝50°＝∠ECF，在△HCE和△FCE中，CF=CH∠ECF=∠ECH∴△HCE≌△FCE（SAS）∴EH＝EF，∴BE+DF＝EF．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的點(diǎn)，AF＝AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點(diǎn)確定的圓的周長(zhǎng)為l．（1）若△ABE的面積為30，直接寫(xiě)出S的值；（2）求證：AE平分∠DAF；（3）若AE＝BE，AB＝4，AD＝5，求l的值．試題分析：（1）作EG⊥AB于點(diǎn)G，由S△ABE=12×AB×EG＝30得AB?EG（2）延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，先證△ADE≌△HCE得AD＝HC、AE＝HE及AD+FC＝HC+FC，結(jié)合AF＝AD+FC得∠FAE＝∠CHE，根據(jù)∠DAE＝∠CHE即可得證；（3）先證∠ABF＝90°得出AF2＝AB2+BF2＝16+（5﹣FC）2＝（FC+CH）2＝（FC+5）2，據(jù)此求得FC的長(zhǎng)，從而得出AF的長(zhǎng)度，再由AE＝HE、AF＝FH知FE⊥AH，即AF是△AEF的外接圓直徑，從而得出答案．答案詳解：解：（1）如圖，作EG⊥AB于點(diǎn)G，則S△ABE=12×AB×EG＝30，則AB?EG∴平行四邊形ABCD的面積為60；（2）延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠HCE，∠DAE＝∠CHE，∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE＝ED，∴△ADE≌△HCE，∴AD＝HC、AE＝HE，∴AD+FC＝HC+FC，由AF＝AD+FC和FH＝HC+FC得AF＝FH，∴∠FAE＝∠CHE，又∵∠DAE＝∠CHE，∴∠DAE＝∠FAE，∴AE平分∠DAF；（3）連接EF，∵AE＝BE、AE＝HE，∴AE＝BE＝HE，∴∠BAE＝∠ABE，∠HBE＝∠BHE，∵∠DAE＝∠CHE，∴∠BAE+∠DAE＝∠ABE+∠HBE，即∠DAB＝∠CBA，由四邊形ABCD是平行四邊形得∠DAB+∠CBA＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AF2＝AB2+BF2＝16+（5﹣FC）2＝（FC+CH）2＝（FC+5）2，解得：FC=4∴AF＝FC+CH=29∵AE＝HE、