1.3勾股定理的應(yīng)用(備作業(yè))2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（北師大版）

1.3勾股定理的應(yīng)用一、單選題1．如圖，一木桿在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部8米處，斷落的木桿與地面形成角，則木桿原來的長度是（）A．8米 B．米 C．16米 D．24米【答案】B【解析】根據(jù)題意可知該木桿折斷后與地面形成一個(gè)等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出結(jié)果．如圖，根據(jù)題意可知為等腰直角三角形，且米，．∴米．∴在中，米．故木桿原來的長度為米．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意判斷出木桿折斷后與地面形成的三角形是等腰直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．2．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，這時(shí)它離出發(fā)點(diǎn)有（）千米．A．26 B．18 C．13 D．32【答案】A【解析】根據(jù)題意可知兩次航向的方向構(gòu)成了直角．然后根據(jù)題意知兩次航行的路程即是兩條直角邊，根據(jù)勾股定理就能計(jì)算AC的長．解：如圖，根據(jù)題意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根據(jù)勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝242＋102，∴AC＝26km．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)勾股定理列方程解答．解：設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則斜邊為（10x）尺，根據(jù)勾股定理得：，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意得到直角三角形確定三邊的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．如圖，有兩棵樹分別用線段AB和CD表示，樹高AB＝15米，CD＝7米，兩樹間的距離BD＝6米，一只鳥從一棵樹的樹梢（點(diǎn)A）飛到另一棵樹的樹梢（點(diǎn)C），則這只鳥飛行的最短距離AC＝（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【解析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．解：如圖，過C點(diǎn)作CE⊥AB于E，連接AC，由題意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鳥至少飛行10m．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．5．如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）

A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【解析】將題中圖案展開后，連接AC，利用勾股定理可得AC長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長度增加寬度不變，求出新矩形的對(duì)角線長即為所求．解：展開如圖得新矩形，連接AC，則其長度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：，根據(jù)勾股定理有：故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平面展開圖．6．如圖所示是一個(gè)圓柱形飲料罐底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計(jì)）范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得當(dāng)吸管與底面圓垂直時(shí)，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最小，即為12，當(dāng)吸管與底面圓的一端重合時(shí)，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最大，根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．解：由題意得：當(dāng)吸管與底面圓垂直時(shí)，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最小，即為12，當(dāng)吸管與底面圓的一端重合時(shí)，吸管在罐內(nèi)部分a的長度為最大，如圖所示：∴，∴在Rt△ABC中，，∴吸管在罐內(nèi)部分a的長度的范圍是，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．解：ABCD是長方形紙片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3x，x2=(3x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．8．學(xué)習(xí)勾股定理后，老師布置的課后作業(yè)為“利用繩子（繩子足夠長）和卷尺，測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度”，某數(shù)學(xué)興趣小組的做法如下：①將繩子上端固定在教學(xué)樓頂部，繩子自由下垂，再垂直向外拉到離教學(xué)樓底部3m遠(yuǎn)處，在繩子與地面的交點(diǎn)處將繩子打結(jié)；②將繩子繼續(xù)往外拉，使打結(jié)處離教學(xué)樓的距離為6m，此時(shí)測(cè)得繩結(jié)離地面的高度為1m，則學(xué)校教學(xué)樓的高度為（）A．11m B．13m C．14m D．15m【答案】C【解析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)學(xué)校教學(xué)樓的高度為，可得，，，利用勾股定理可求出．解：如圖，設(shè)學(xué)校教學(xué)樓的高度為，則，，，左圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方，右圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方，∴，解得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．9．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底墻到左墻角的距離為1.5m，頂端距離地面2m，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面0.7m，那么小巷的寬度為（）A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m【答案】C【解析】如圖，在Rt△ACB中，先根據(jù)勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根據(jù)勾股定理求出BD，進(jìn)而可得答案．解：如圖，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+0.72＝6.25，∴BD2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖，一個(gè)梯子斜靠在一豎直的墻上，測(cè)得米.若梯子的頂端沿墻下滑米，這時(shí)梯子的底端也恰好外移米，則梯子的長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【解析】設(shè)，利用勾股定理依據(jù)和的長相等列方程，進(jìn)而求出的值，即可求出的長度．解：設(shè)，依題意，得，，．在中，根據(jù)勾股定理得，在中，根據(jù)勾股定理，，解得，，答：梯子的長為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．11．一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長寬和高分別為、、，和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)最短路程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．如圖所示，

∵三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為20，寬為(2+3)×3，

∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對(duì)角線長．由勾股定理得：=+=，

解得：．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題以及勾股定理的應(yīng)用，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．12．圖1是我國著名的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形所圍成．將四個(gè)直角三角形的較短邊(如)向外延長1倍得到點(diǎn)，，，，并連結(jié)得到圖2.已知正方形與正方形的面積分別為和，則圖2中陰影部分的面積是()A． B． C． D．【答案】B【解析】由正方形與正方形的面積分別為和,可得大小正方形的邊長，設(shè)四個(gè)直角三角形的較短邊為，則在中，由勾股定理可求出，從而可求出相關(guān)三角形的邊長，即可求出陰影部分的面積．∵正方形與正方形的面積分別為和，∴，，設(shè)四個(gè)直角三角形的較短邊為，則在中，，，由題意根據(jù)勾股定理得，，即，∴，（舍去），即，∴，，，∴圖2中陰影部分的面積是：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)勾股定理的應(yīng)用．解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出四個(gè)直角三角形的較短邊．二、填空題13．如圖，一棵大樹在離地面3m、5m兩處折成三段，中間一段AB恰好與地面平行，大樹頂部落在離大樹底部6m處，則大樹折斷前的高度是_____．【答案】10m【解析】作BE⊥DC于點(diǎn)E，首先由題意得：AD=BE=3m，AB=DE=2m，然后根據(jù)DC=6米，得到EC=4米，最后利用勾股定理得BC的長度即可．解：如圖，作BE⊥DC于點(diǎn)E，由題意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m，∵DC＝6m，∴EC＝4m，∴在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC＝＝5（m），∴大樹的高度為5+5＝10（m），故答案為：10m．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確的構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．14．小明向正東走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三個(gè)方向走100m回到原地，小明向東走80m后是向__________方向走的60m．【答案】正北或正南【解析】根據(jù)題意作出圖形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可確定答案．解：根據(jù)題意作圖如下，AB=80m，BC=BD=60m，AC=AD=100m，根據(jù)602+802=1002得：∠ABC=∠ABD=90°，故小明向東走80m后是向正北或正南方向走的．故答案為：正北或正南．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形并進(jìn)行分析判斷．15．如圖，小明站在離水面高度為8米的岸上點(diǎn)處用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子的長為17米，小明以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，問船向岸邊移動(dòng)了______米（的長）（假設(shè)繩子是直的）．【答案】9【解析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長，再利用BD=ABAD可得BD長．在Rt△ABC中：

∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，

∴（米），∵此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，

∴（米），

∴（米），∴（米），

答：船向岸邊移動(dòng)了9米．

故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．16．如圖，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明與小亮約好去圖書館（D），一小明行走的路線是A→C→D，小亮行走的路線是B→C→D，已知，，，，已知小明騎自行車速度為akm/分鐘，小亮走路，速度為0.1km分鐘。小亮出發(fā)20分鐘后小明再出發(fā)，若小明在路上遇到小亮，則帶上小亮一起去圖書館，為了使小亮能坐上小明的順風(fēng)車，則a的取值范圍是________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊窘馕觥肯雀鶕?jù)勾股定理得出AC的長，再根據(jù)時(shí)間、路程、速度之間的關(guān)系分別求出小明、小亮同時(shí)到達(dá)C和D時(shí)a的值，即可得出而答案解：在Rt中，，，，∴小亮到C所用時(shí)間(分);小亮到D所用時(shí)間(分)∴小明、小亮同時(shí)到達(dá)C時(shí)，小明、小亮同時(shí)到達(dá)D時(shí)，∴a的取值范圍是：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，以及路程問題，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵17．在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域,我海軍甲乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩基地前去攔截,6分鐘后同時(shí)到達(dá)C地成功將其攔截,已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里,乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里,航向?yàn)楸逼?0°,則甲巡邏艇航向?yàn)楸逼珫|________°【答案】50【解析】先用路程等于速度乘以時(shí)間計(jì)算出AC，BC的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解．根據(jù)題意，如圖所示∵AC=120×=12（海里），BC=50×=5（海里），AB=13海里，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．∵∠CBA=90°40°=50°，∴∠CAB=40°，∴甲的航向?yàn)楸逼珫|50°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定及方向角的理解及運(yùn)用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了∠1和∠2，則∠1+∠2=_____．【答案】45°【解析】【解析】如圖，連接AC，BC，根據(jù)勾股定理及其逆定理，求得∠ACB=90°，∠CAB=45°．再證明四邊形ADFC是平行四邊形，可得AC∥DF，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠2=∠DAC，在Rt△ABD中，∠1+∠DAB=90°，又因∠DAB=∠DAC+∠CAB，所以∠1+∠CAB+∠DAC=90°，即可得∠1+∠DAC=45°，即∠1+∠2=∠1+∠DAC=45°．如圖，連接AC，BC．根據(jù)勾股定理，AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2，∴∠ACB=90°，∠CAB=45°．∵AD∥CF，AD=CF，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∴AC∥DF，∴∠2=∠DAC（兩直線平行，同位角相等），在Rt△ABD中，∠1+∠DAB=90°（直角三角形中的兩個(gè)銳角互余）；又∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∴∠1+∠CAB+∠DAC=90°，∴∠1+∠DAC=45°，∴∠1+∠2=∠1+∠DAC=45°．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)三角形、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.19．設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線AE為邊作第二個(gè)正方形AEGH，如此下去……．⑴記正方形ABCD的邊長為，按上述方法所作的正方形的邊長依次為，請(qǐng)求出的值；⑵根據(jù)以上規(guī)律寫出的表達(dá)式．【答案】（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n為正整數(shù)）．【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，…，即a2＝，a3＝2，a4＝2．（2）an＝（n為正整數(shù)）．20．棱長分別為的兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)，，在同一直線上，頂點(diǎn)在棱上，點(diǎn)是的中點(diǎn)．一只螞蟻要沿著正方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它爬行的最短距離是__________．【答案】【解析】分兩種情況展開，求最短距離，情況一：將翻折至和共面，使得點(diǎn)A和點(diǎn)P在同一平面，連接兩點(diǎn)即為最短距離；情況二，求出最短距離，然后進(jìn)行比較即可得出。情況一:如下圖，將翻折至和共面，過點(diǎn)P作AE的垂線交AE于點(diǎn)M，連接AP∵兩個(gè)正方體的棱長分別為∴AB=8cm，BE=MP=6cm∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)∴EM=3cm∴AM=8+6+3=17cm∴在Rt△AMP中，AP=情況二:如下圖展開則AE=8+6=14cmEP=6+3=9cm∴在Rt△AEP中,AP=∵＜∴最短距離為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用，當(dāng)求立體圖形兩點(diǎn)間最短距離時(shí)，我們通常將這兩點(diǎn)先想辦法轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面內(nèi).三、解答題21．有一塊邊長為12米的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁邊B處有健身器材(BC=5米)，由于居住在A處的居民踐踏了綠地，小明想在A處樹立一個(gè)標(biāo)牌“少走▇米，踏之何忍？”請(qǐng)問：小明在標(biāo)牌▇填上的數(shù)字是多少？【答案】小明在標(biāo)牌▇填上的數(shù)字是4．【解析】在直角△ABC中，AB為斜邊，已知AC，BC，則根據(jù)勾股定理可以求斜邊AB，根據(jù)少走的距離為AC＋BC?AB即可求解．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝（米），∴少走的距離為AC＋BC?AB＝（12＋5）?13＝4（米）答：小明在標(biāo)牌▇填上的數(shù)字是4．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，正確的運(yùn)用勾股定理求AB是解題的關(guān)鍵．22．如圖是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)．【答案】2.9．【解析】首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理可得，代入數(shù)可得答案．解：由題意可得：米，，，米，米，米，，，，，，則（米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理得應(yīng)用，熟悉相關(guān)性質(zhì)是階梯的關(guān)鍵．23．如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)、分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且、在同一母線上，用一根棉線從點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到點(diǎn)，求這根棉線的長度最短．【答案】15cm【解析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB；

即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個(gè)小長方形，A沿著3個(gè)長方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；

∵圓柱底面半徑為cm，

∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：cm；

又∵圓柱高為9cm，

∴小長方形的一條邊長是3cm；

根據(jù)勾股定理求得AC=CD=DB==5cm；

∴AC+CD+DB=15cm；

故棉線的最短長度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，圓柱的計(jì)算、平面展開－路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．24．如圖，小明家在一條東西走向的公路北側(cè)米的點(diǎn)處，小紅家位于小明家北米（米）、東米（米）點(diǎn)處．（1）求小明家離小紅家的距離；（2）現(xiàn)要在公路上的點(diǎn)處建一個(gè)快遞驛站，使最小，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并求的最小值．【答案】（1）米；（2）見解析，米【解析】（1）如圖，連接AB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：（1）如圖，連接AB，由題意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∵AB＞0∴AB=1300米；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，由題意知AD=200米，A'C⊥MN，∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，∵∠ACB=90°，∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，∵A'B＞0，∴A'B=1500米，即從驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值為1500米．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問題，勾股定理，題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題．25．《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何?題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)和點(diǎn)距離門檻都為1尺（1尺=10寸），則的長是多少?【答案】101寸【解析】取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．解：取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA=OB=AD=BC，設(shè)OA=OB=AD=BC=r寸，則AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，∴AE=（r1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，解得：r=50.5，∴2r=101（寸），∴AB=101寸．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．26．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長是多少？（2）求小巷的寬．【答案】（1）2.5米；（2）2.7米【解析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB的長度，

（2）由（1）知梯子AB的長度，利用勾股定理求出BD的長，即可得到答案.（1）在中，∵，米，米，∴．∴（米）．答：梯子的長是2.5米（2）在中，∵，米，，∴，∴．∵，∴米．∴米．答：小巷的寬度為2.7米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求有關(guān)線段的長度的方法．27．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點(diǎn)為一海港，且點(diǎn)與直線上的兩點(diǎn)，的距離分別為，，又，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求的度數(shù)．（2）海港受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺(tái)風(fēng)的速度為千米/小時(shí)，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，海港剛好受到影響，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，海港剛好不受影響，即，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長？【答案】（1）；（2）海港受臺(tái)風(fēng)影響，證明見解析；（3）臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．【解析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷；（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；

（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．（1），，，，是直角三角形，∴∠ACB=90°；（2）海港受臺(tái)風(fēng)影響，過點(diǎn)作，是直角三角形，，，，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域，海港受臺(tái)風(fēng)影響．（3）當(dāng)，時(shí)，正好影響港口，，，臺(tái)風(fēng)的速度為千米/小時(shí)，（小時(shí)）答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．28．中國機(jī)器人創(chuàng)意大賽于2014年7月15日在哈爾濱開幕．如圖是一參賽隊(duì)員設(shè)計(jì)的機(jī)器人比賽時(shí)行走的路徑，機(jī)器人從A處先往東走4m，又往北走1.5m，遇到障礙后又往西走2m，再轉(zhuǎn)向北走4.5m處往東一拐，僅走0.5m就到達(dá)了B．問機(jī)器人從點(diǎn)A到點(diǎn)B之間的距離是多少？【答案】【解析】試題分析：過點(diǎn)B作BCAD于C，可以計(jì)算出AC、BC的長度，在直角△ABC中根據(jù)勾股定理即可計(jì)算AB．試題解析：過點(diǎn)B作BCAD于C，所以AC=4﹣2+0．5=2．5m，BC=4．5+1．5=6m，在直角△ABC中，AB為斜邊，則m,答：機(jī)器人從點(diǎn)A到點(diǎn)B之間的距離是m．考點(diǎn)：勾股定理．29．（1）如圖1，長方體的底面邊長分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長為_______m的木棒；（2）如圖2，在與（1）相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C，那么所用細(xì)線最短需要______m；（3）如圖3，長方體的棱長分別為AB=BC=6cm，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉昆蟲甲?【答案】（1）；（2）；（3）昆蟲乙至少需要秒鐘才能捕捉到昆蟲甲【解析】（1）利用勾股定理求出斜對(duì)角線的長即可；（2）利用勾股定理求解即可；（3）由題意的最短路徑相等，設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，列出方程求解即可．（1）最長的為斜對(duì)角線：=；（2）這根細(xì)線的長為：=；（3）設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，如圖1在Rt△ACF中，∵x>0，解得：答：昆蟲乙至少需要秒鐘才能捕捉到昆蟲甲．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形是解題的關(guān)鍵．30．如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】