專題09常見相似模型-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練（北師大版）

專題09常見相似模型題型一A字型相似1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積是3cm2，則四邊形BDEC的面積為（）A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2【解答】解：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，且＝，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面積：△ABC的面積＝1：4，∴△ADE的面積：四邊形BDEC的面積＝1：3，∵△ADE的面積是3cm2，∴四邊形BDEC的面積是9cm2，故選：B．2．如圖，△ABC中，D為AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)D作BE的平行線交AC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠C，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，故A成立；∵DF∥BE，∴，故B成立；∵DE∥BC，DF∥BE，∴，，∴，故C成立；∵DF∥BC，∴，而BE≠BC，故D不成立．故選：D．3．如圖，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于點(diǎn)B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，則CD的長是（）A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故選：C．4．如圖，一束平行的陽光從教室窗戶射入，小兵同學(xué)量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，則MA的長為（）A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m【解答】解：∵BN∥AM，∴△BCN∽△ACM，∴＝，∵BC＝1m，BN＝m，AC＝4.5m，∴＝，∴MA＝7.5（m）．故選：B．5．如圖，已知D、E分別為AB、AC上的兩點(diǎn)，且DE∥BC，＝3，BD＝2，則AD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴AE＝3CE，∴＝，∴，∴4AD＝3AD+3BD，∵BD＝2，∴AD＝3BD＝3×2＝6，故選：D．6．如圖是一塊三角形鋼材ABC，其中邊BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，則這個(gè)正方形零件的邊長是（）A．16 B．24 C．30 D．36【解答】解：∵四邊形EGHF為正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；設(shè)正方形零件的邊長為xcm，則KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝24．即：正方形零件的邊長為24cm．故選：B．題型二8字型相似7．如圖，在?ABCD中，AE：DE＝2：1，連接BE，交AC于點(diǎn)F，AC＝12，則AF為（）A．4 B．6 C．5.2 D．4.8【解答】解：在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AE：DE＝2：1，∴AE＝AD，∴AE＝AD＝BC∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CBF，∠FAE＝∠FCB，∴△AFE∽△CFB，∴＝，∵AC＝12，∴AF＝×12＝4.8．故選：D．8．在四邊形ABCD中AB∥CD，對(duì)角線AC與BD交于P，過點(diǎn)P作AB的平行線，交AD、BC于M、N．若AB＝2，△PDC與△PAB的面積比為1：4，則MN的長是（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)PM＝x，PN＝y(tǒng)，∵AB∥CD，MN∥AB，∴AB∥MN∥CD，∴△CDP∽△ABP，∵AB＝2，△PDC與△PAB的面積比為1：4，∴CD＝1，∵AB∥MN∥CD，∴△DMP∽△DAB，△CPN∽△CAB，∴，，∵，∴，∴，解得：x＝y(tǒng)＝，∴MN＝x+y＝．故選：C．9．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為平行四邊形ABCD的邊BC，AD上的點(diǎn)，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE與BF交于點(diǎn)H，若△BEH的面積為2，則五邊形CEHFD的面積是（）A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD，AD∥BC，∵CE＝2BE，AF＝2DF，∴BE＝DF，AF＝CE，∵AD∥BC，∴△BEH∽△FAH，∴＝，∴HF＝2BH，AH＝2HE，∴S△ABH＝2S△BEH＝4，S△AFH＝2S△ABH＝8，∴S△ABF＝12，∴S?ABCD＝2×＝36，∴五邊形CEHFD的面積＝36﹣12﹣2＝22，故選：D．10．如圖，將兩個(gè)含30°角的直角三角板拼接在一起，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，設(shè)BC＝x，則AB＝，AC＝2x，在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，則CD＝tan30°×AC＝，AD＝2CD＝，∵E為AC的中點(diǎn)，∴CE＝AE＝，∠EAC＝∠ECA，∴∠ECA＝∠BAC，∴△AFB∽△CFE，∴＝，故選：C．11．如圖在△ABC中，AD是BC邊上的高線，BD＝1，DC＝3，過點(diǎn)A作AE∥BC，連接BE交AD，AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G，若BE平分AC，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：如圖：∵AE∥BC，AD為BC邊上的高線，∴AD⊥BC且AD⊥AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△BDF和△EAF中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BDF＝∠FAF＝90°，∴△BDF∽△EAF，∴＝，又∵AE∥BC，∴∠5＝∠6，在△EAG和△BCG中，∵BE平分AC，∴AG＝CG，∵，∴△EAG≌△BCG（AAS），∴AE＝CB＝BD+DC＝4，∴BG＝EG，設(shè)BF＝2x，則＝＝＝，∴EF＝8x，∴EF＝BE﹣BF＝BG+EG﹣BF＝2BG﹣2x，BE＝BG+EF＝2x+8x＝10x，∴EG＝BG＝BE＝5x，F(xiàn)G＝BG﹣BF＝5x﹣2x＝3x，∴＝＝，故選：D．題型三反A型相似12．如圖，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的長．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．13．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．（1）求∠ADE和∠AED的度數(shù)；（2）求DE的長．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝35°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣35°＝70°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝35°，∠AED＝∠C＝70°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：DE，即30：18＝20：DE，解得DE＝12cm．14．如圖，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE與△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的長．【解答】解：∵△ADE與△ACB相似，∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴，∴∴AD＝∵∴∴AE＝15．如圖，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．（1）求∠ADE和∠AED的度數(shù)；（2）求DE的長．【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣40°＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠C＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得DE＝12cm．16．如圖，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，則的值為．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴＝（）2＝，∴＝＝，故答案為：．題型四旋轉(zhuǎn)相似17．如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的長．【解答】證明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）∵△ABC∽△DEC；∴＝（）2＝，又∵BC＝6，∴CE＝9．18．將含30°角且大小不等的兩個(gè)三角板按如圖擺放，使直角頂點(diǎn)重合，連接AE、BD，則＝．【解答】解：∵△EDC與△ACB為兩個(gè)直角三角形，且∠DEC＝∠BAC＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠DCA＝∠ECD+∠DCA，∴∠DCB＝∠ECA，在Rt△ACB中，tan∠CAB＝＝tan30°，在Rt△ECD中，tan∠CED＝＝tan30°，∴＝，∴在△ECA與△DCB中，＝，∠DCB＝∠ECA，∴△ECA～△DCB，∴＝，在Rt△ACB中，＝tan∠ABC＝tan60°＝，故答案為．19．如圖，在△ABC中，AB＞AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AED，點(diǎn)D在BC上，DE交AB于點(diǎn)F．如下結(jié)論中，①DA平分∠EDC；②△AEF∽△DBF；③∠BDF＝∠CAD；④EF＝BD．所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．【解答】解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AD＝AC，∠ADE＝∠C．∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C．∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC．故①符合題意；②∵∠E＝∠B，∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△DBF．故②符合題意；③∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠C+∠CAD，∠ADE＝∠C，∴∠BDF＝∠CAD．故③符合題意；④∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD＝AD，∠ADC＝∠ADE，∴不能證明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF．∴DE﹣DF＝BC﹣CD不一定成立，即無法證明EF＝BD．故④不符合題意．故答案是：①②③．20．如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠C＝∠E＝60°，點(diǎn)D在BC邊上，AC與DE相交于點(diǎn)F，＝3，則＝．【解答】解：連接EC，如圖，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝60°，∴△AED∽△ACB，∴，即，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△EAD中，∠AED＝60°，∴，∴，∴，∵∠EFC＝∠AFD，∠ECF＝∠ADF，∴△EFC∽△AFD，∴＝3，∴＝＝3×＝，故答案為：．題型四三垂直模型21．在直角△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，由△ADC∽△ACB，可得AC2＝AD?AB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB，∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AD?AB，故答案為：△ADC；△ACB．22．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，點(diǎn)E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，則AB＝6．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴，∴，∴AB＝6，故答案為：6．23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AD＝6，BD＝2，則CD＝2．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得，CD＝2，故答案為：2．24．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝．【解答】解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴，∴CQ＝，故答案為：．25．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過點(diǎn)P作PE⊥PA交CD于E，將△PEC沿PE翻折到平面內(nèi)，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F，則BP長為或1．【解答】解：作PH⊥AD于H，如圖，設(shè)BP＝x，則CP＝2﹣x．∵PE⊥PA