第4講長(zhǎng)方體與三角形（講義）原卷版

第4講長(zhǎng)方體與三角形模塊一：長(zhǎng)方體的再認(rèn)識(shí)一．長(zhǎng)方體的元素及特征1、元素：長(zhǎng)方體有六個(gè)面，八個(gè)頂點(diǎn)，十二條棱．2、特征：（1）長(zhǎng)方體的每個(gè)面都是長(zhǎng)方形．（2）長(zhǎng)方體的十二條棱可以分為三組，每組中的四條棱的長(zhǎng)度相等．（3）長(zhǎng)方體的六個(gè)面可以分為三組，每組中的兩個(gè)面的形狀和大小相同．二.長(zhǎng)方體的直觀圖畫法：斜二側(cè)畫法水平放置的長(zhǎng)方體直觀圖通常畫法的基本步驟：第一步：畫平行四邊形ABCD，使AB等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，AD等于長(zhǎng)方體寬的二分之一，．（如圖1所示）第二步：過AB分別畫AB的垂線AE、BF，過C、D分別畫CD的垂線CG、DH，使它們的長(zhǎng)度都等于長(zhǎng)方體的高．（如圖2所示）第三步：順次聯(lián)結(jié)E、F、G、H．（如圖3所示）第四步：將被遮住的線段改用虛線（隱藏線）表示．（如圖4所示）圖4表示的長(zhǎng)方體通常表示為ABCDEFGH．它的六個(gè)面通常表示為：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二條棱通常分別表示為：棱AB、棱AE、棱EF等．三.長(zhǎng)方體中棱與棱的位置關(guān)系如圖4所示的長(zhǎng)方體ABCDEFGH中：棱EH與棱EF所在的直線在同一平面內(nèi)，它們有唯一的公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱相交．棱EF與棱AB所在的直線在同一平面內(nèi)，但它們沒有公共點(diǎn)，我們稱這兩條棱平行．棱EH與棱AB所在的直線既不平行，也不相交，我們稱這兩條棱異面．四.長(zhǎng)方體中棱與平面的位置關(guān)系如圖5，直線PQ垂直于平面ABCD，記作：直線PQ平面ABCD，讀作：直線PQ垂直于平面ABCD．如圖6，直線PQ平行于平面ABCD，記作：直線PQ//平面ABCD，讀作：直線PQ平行于平面ABCD．如圖4所示的長(zhǎng)方體ABCDEFGH中：棱EF與面BCGF，棱FG與面ABFE，棱BF與面ABCD都給我們以直線與平面垂直的形象．棱EF與面ABCD，棱BF與面ADHE，都給我們以直線與平面平行的形象．五.長(zhǎng)方體中平面與平面的位置關(guān)系如圖7，平面垂直于平面，記作平面平面，讀作平面垂直于平面．如圖8，平面平行于平面，記作平面//平面，讀作平面平行于平面．如圖4所示的長(zhǎng)方體ABCDEFGH中：面EFGH，面ABFE與面BCGF三個(gè)面中，任意兩個(gè)都給我們以平面與平面垂直的形象．面ABCD與面EFGH，面BCGF與面ADHE，面ABFE與面DCGH，都給我們以平面與平面平行的形象．例1.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDEFGH．（1）哪些棱與AB平行？（2）哪些棱與AB垂直？（3）哪些棱與AB異面？AABCDEFGH例2。如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDEFGH，與平面ADHE平行的平面是____________，與平面ADHE垂直的平面是____________．AABCDEFGH例3.下列關(guān)于長(zhǎng)方體的說法中正確的是()A．長(zhǎng)方體中互相平行的棱不一定相等B．長(zhǎng)方體中12條棱的位置關(guān)系只有平行和相交C．長(zhǎng)方體中相對(duì)的兩個(gè)面一定平行D．長(zhǎng)方體中6個(gè)面的面積都相等例4.關(guān)于長(zhǎng)方體有下列三個(gè)結(jié)論：eq\o\ac(○,1)長(zhǎng)方體中每個(gè)面都是長(zhǎng)方形；eq\o\ac(○,2)長(zhǎng)方體中每?jī)蓚€(gè)面都互相垂直；eq\o\ac(○,3)長(zhǎng)方體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的長(zhǎng)方形．其中結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)例5.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDEFGH．這個(gè)長(zhǎng)方體中與棱HE平行的平面是____________，與棱HE垂直的平面是____________．AABCDEFGH例6.已知一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比是3:2:1，它的所有棱長(zhǎng)的和是72cm，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是______模塊二：相交線與平行線一.鄰補(bǔ)角1、鄰補(bǔ)角的概念：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．如圖，與有一條公共邊OD，它們的另一條邊OA、OB互為反向延長(zhǎng)線，則與互為鄰補(bǔ)角．2、若與互為鄰補(bǔ)角，則．3、互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．對(duì)頂角1、對(duì)頂角的概念：兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為對(duì)頂角．如圖，與有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，并且的兩邊OB、OC分別與的兩邊OA、OD互為反向延長(zhǎng)線，則與互為對(duì)頂角．2、對(duì)頂角相等．二.垂線1、垂線的概念：如果兩條直線的夾角為直角，那么就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．2、垂直的符號(hào)：記作：“⊥”，讀作：“垂直于”，如：，讀作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．3、在平面內(nèi)，過直線上或直的一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一條，并且只能作一條．簡(jiǎn)單地說：過一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直．4、聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．5、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離．如果一個(gè)點(diǎn)在直線l上，那么就說這個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為零．三.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角若直線a，b被直線l所截：（1）同位角：兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角．如：和．（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．如：和．（3）同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．如和．注意：三線八角是位置關(guān)系，數(shù)量上沒有確定的關(guān)系．四.平行線1、平行線的定義：同一平面內(nèi)不想交的兩條直線叫做平行線．“平行”用符號(hào)“//”表示．2、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．3、平行線的判定：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單地說，同位角相等，兩直線平行．（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單地說，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單地說，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．4、平行線的性質(zhì)：（1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；簡(jiǎn)單地說：兩直線平行，同位角相等．（2）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；簡(jiǎn)單地說：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；簡(jiǎn)單地說：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)相等．（4）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離都是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離．夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2019·上海普陀區(qū)·中考模擬）如圖，直線//，如果，，那么（）A．； B．；C．； D．．2．（2020·上海九年級(jí)專題練習(xí)）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它們的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊平行（如圖所示），那么的度數(shù)是（）A．75°； B．90°； C．100°； D．105°．3．（2019·上海浦東新區(qū)·九年級(jí)期中）如果點(diǎn)D、E分別在△ABC的兩邊AB、AC上，下列條件中可以推出DE∥BC的是()A．， B．，C．, D．，二、填空題4．（2020·上海九年級(jí)二模）如圖，直線AB分別交直線a和直線b于點(diǎn)A，B，且，點(diǎn)C在直線b上，且它到直線a和到直線AB的距離相等，若，則________．5．（2019·上海徐匯區(qū)·中考模擬）如圖，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，則∠B的度數(shù)為_____．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知a∥b，∠1=50°，那么∠2=______度．三、解答題7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖：∠1=∠2，AD=2BC，△ABC的面積為3，求△CAD的面積．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，BE∥CF，求證：∠1=∠2．9．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在、的位置上，的延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)為G，若∠EFG＝55°，你能分別求出∠1和∠2的度數(shù)嗎？請(qǐng)你試一試．10．（2020·上海嘉定區(qū)·九年級(jí)一模）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，∠ABE=∠C，（1）求證：（2）當(dāng)BE平分∠ABC時(shí)，求證：能力提升一、單選題1．（2019·上海九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，則下列關(guān)系式中成立的有()①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知直線AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，則∠E=A．70° B．80°C．90° D．100°3．（2020·上海金山區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，∠MON=30°，p是∠MON的角平分線，PQ平行ON交OM于點(diǎn)Q，以P為圓心半徑為4的圓ON相切，如果以Q為圓心半徑為r的圓與相交，那么r的取值范圍是（）A．4<r<12 B．2<r<12 C．4<r<8 D．r>4二、填空題4．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．5．（2020·上海崇明區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，在中，，直線，點(diǎn)在直線上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是_____．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，，，則__________．三、解答題7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且在BD的垂直平分線EG上，DE交AC于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)E在AF的垂直平分線上．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F，請(qǐng)問∠A與∠D存在怎樣的關(guān)系？驗(yàn)證你的結(jié)論．9．（2019·上海市楊浦區(qū)黃興學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一點(diǎn)，BD＝2，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作∠DEF＝∠B，射線EF交線段AC于F．（1）求證：△DBE∽△ECF；（2）當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△DEF與△DBE相似，求FC的長(zhǎng)．模塊三：三角形一.三角形的邊與角1、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2、三角形的高、中線、角平分線：①在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高；②聯(lián)結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；③三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．3、三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和等于180°．※一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多有一個(gè)鈍角或直角．4、三角形的外角：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（2）三角形的外角和定義：對(duì)于三角形的每個(gè)內(nèi)角，從與它相鄰的兩個(gè)外角中取一個(gè)，這樣取得的三個(gè)外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于360°．5、三角形的分類三角形（按角分）；三角形（按邊分）．二.全等三角形1、全等形的概念：能夠重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．2、全等三角形的性質(zhì)和判定方法：一般三角形直角三角形判定邊角邊（S．A．S．）角邊角（A．S．A．）角角邊（A．A．S．）邊邊邊（S．S．S．）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（H．L．）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)中線相等，對(duì)應(yīng)高相等，對(duì)應(yīng)角平分線相等注：①判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對(duì)應(yīng)相等；②全等三角形面積相等．3、證明題的思路：三.等腰三角形1、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角．2、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊的高互相重合，簡(jiǎn)稱：等腰三角形三線合一．3、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角的角平分線所在的直線．4、等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形．簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊．四.直角三角形1、直角三角形全等的判定：斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（H．L．）．2、直角三角形的性質(zhì)：（1）兩個(gè)定理定理1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（2）兩個(gè)推論推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°．3、勾股定理（1）如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊滿足，那么三角形是直角三角形．夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2020·上海大學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)三模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．﹣1 C． D．42．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和7cm，那么第三邊的長(zhǎng)可能是（）A．1cm B．4cm C．2cm D．3cm3．（2020·上海九年級(jí)一模）三角形的外心是（）A．三角形三條邊上中線的交點(diǎn) B．三角形三條邊上高線的交點(diǎn)C．三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)4．（2019·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）已知中，，則等于（）A． B． C． D．5．（2020·上海市西南模范中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，，若，則等于（）A． B． C． D．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，梯形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，AD=1cm，BC=3cm，則下列說法中，不正確的是（）A． B．C． D．7．（2020·上海普陀區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面積等于（）A．8 B．16 C．8 D．168．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD上的兩點(diǎn)，若△ABC的面積為12cm2，那么圖中陰影部分的面積是（）A．4 B．5 C．6 D．二、填空題9．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）長(zhǎng)方形ABCD被等分為12個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形，三角形EFC的面積占長(zhǎng)方形ABCD的面積________(填“幾分之幾”)．10．（2019·上海市嘉定區(qū)唐行九年制學(xué)校九年級(jí)二模）若a、b、c是的三邊，且，，，則最大邊上的高是______cm．11．（2019·上海青浦區(qū)·九年級(jí)一模）如果α是銳角，且tanα＝cot20°，那么α＝度．12．（2020·上海市第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級(jí)期中）已知在Rt△ABC中，，tanA=，BC=6，則AB的長(zhǎng)為__________．13．（2020·上海九年級(jí)二模）中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，聯(lián)結(jié)DE，DE是的一條中位線，點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，則________（用含，的式子表示）14．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=1.5S△FGH；④AG+DF=FG；其中正確的是______________．（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）15．（2021·上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院九年級(jí)一模）如圖，已知在中，，點(diǎn)G是的重心，，，那么______．16．（2021·上海崇明區(qū)·九年級(jí)一模）我們約定：如果一個(gè)四邊形存在一條對(duì)角線，使得這條對(duì)角線是四邊形某兩邊的比例中項(xiàng)，那么就稱這個(gè)四邊形為“閃亮四邊形”，這條對(duì)角線為“閃亮對(duì)角線”．相關(guān)兩邊為“閃亮邊”．例如：圖1中的四邊形中，，則，所以四邊形是閃亮四邊形，是閃亮對(duì)角線，、是對(duì)應(yīng)的閃亮邊．如圖2，已知閃亮四邊形中，是閃亮對(duì)角線，、是對(duì)應(yīng)的閃亮邊，且，，，，那么線段的長(zhǎng)為________．17．（2021·上海閔行區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在中，，，，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B恰好落在射線CA上的點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，射線DE與邊AB相交于點(diǎn)F，那么BF＝_________．18．（2021·上海閔行區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)P在邊AC上，的半徑為1，如果與邊BC和邊AB都沒有公共點(diǎn)，那么線段PC長(zhǎng)的取值范圍是___________．19．（2021·上海松江區(qū)·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么的正弦值為_____．20．（2021·上海奉賢區(qū)·九年級(jí)一模）如果點(diǎn)是的重心，，那么邊上的中線長(zhǎng)為_______________________．21．（2021·上海嘉定區(qū)·九年級(jí)期末）如圖，飛機(jī)P在目標(biāo)A的正上方，飛行員測(cè)得目標(biāo)B的俯角為30°，那么的度數(shù)為______°．三、解答題22．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求證：∠A+∠C=180°.23．（2020·上海長(zhǎng)寧區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，已知是的弦，點(diǎn)在上，且，聯(lián)結(jié)、，并延長(zhǎng)交弦于點(diǎn)，，．（1）求的大??；（2）若點(diǎn)在上，，求的長(zhǎng)．24．（2020·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，(點(diǎn)A、B分別在直線CD的左右兩側(cè))，射線CD交邊AB于點(diǎn)E，點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，射線CG交邊AB于點(diǎn)F，AD=x，CE=y.(1)求證：∠DAB=∠DCF.(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.(3)如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形，試求AD的長(zhǎng).能力提升一、單選題1．（2021·上海松江區(qū)·九年級(jí)期末）如圖，已知在中，，點(diǎn)是的重心，，垂足為，如果，則線段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2020·上海市第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)九年級(jí)期中）已知兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為，則另一個(gè)三角形的最小內(nèi)角為（）A． B． C． D．不能確定3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，若tanA=1，cosB=，則下列判斷最確切的是（）A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形C．是直角三角形 D．是一般銳角三角形4．（2020·上海青浦區(qū)·九年級(jí)二模）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．5．（2020·上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，是等邊三角形，AP、BP的延長(zhǎng)線分別交邊CD于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)AC、CP、AC與BF相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AE=2DE B． C． D．6．（2019·上海九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若點(diǎn)P到BD的距離為，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7．（2020·上海寶山區(qū)·九年級(jí)月考）如圖，△ABC的兩條中線AD、BE相交于點(diǎn)G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．8．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2，－2)與點(diǎn)（－2，1)之間的距離__________．9．（2021·上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院九年級(jí)一模）新定義：有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形.如圖，已知在對(duì)余四邊形中，，，，，那么邊的長(zhǎng)為______．10．（2021·上海虹口區(qū)·九年級(jí)一模）如圖，在，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，線段交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_______．11．（2020·上海九年級(jí)二模）在矩形ABCD中，P在邊BC上，聯(lián)結(jié)AP，DP，將△ABP，△DCP分