2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率章末檢測練習含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第十章章末檢測(時間：120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．)1．以下事務是隨機事務的是()A．下雨屋頂濕 B．秋后柳葉黃C．有水就有魚 D．水結冰體積變大【答案】C【解析】A，B，D是必定事務．故選C．2．盤子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共10個，從中隨機取出1個，若是肉餡包子的概率為eq\f(2,5)，不是豆沙餡包子的概率為eq\f(7,10)，則素餡包子的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】由題意可知這個包子是肉餡或素餡的概率為eq\f(7,10)，所以它是素餡包子的概率為eq\f(7,10)－eq\f(2,5)＝eq\f(3,10)，故素餡包子的個數(shù)為10×eq\f(3,10)＝3.故選C．3．據(jù)天氣預報：在春節(jié)假期湖北武漢地區(qū)降雪的概率為0.2，湖南長沙地區(qū)降雪的概率為0.3.假定這段時間內兩地是否降雪相互之間沒有影響，則0.44等于()A．兩地都降雪的概率 B．兩地都不降雪的概率C．至少有一地降雪的概率 D．恰有一地降雪的概率【答案】C【解析】武漢和長沙兩地都降雪的概率P(A)＝0.2×0.3＝0.06，故A錯誤；兩地都不降雪的概率P(B)＝(1－0.2)(1－0.3)＝0.56，故B錯誤；至少有一地降雪的概率P(C)＝1－(1－0.2)(1－0.3)＝0.44，故C正確；恰有一地降雪的概率P(D)＝0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38，故D錯誤．故選C．4．某年級有12個班，現(xiàn)要從2班到12班中選1個班的學生參與一項活動，有人提議：擲兩個骰子，得到的點數(shù)之和是幾就選幾班，這種選法()A．公允，每個班被選到的概率都為eq\f(1,12)B．公允，每個班被選到的概率都為eq\f(1,6)C．不公允，6班被選到的概率最大D．不公允，7班被選到的概率最大【答案】D【解析】P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝eq\f(1,36)，P(3)＝P(11)＝eq\f(1,18)，P(4)＝P(10)＝eq\f(1,12)，P(5)＝P(9)＝eq\f(1,9)，P(6)＝P(8)＝eq\f(5,36)，P(7)＝eq\f(1,6).故選D．5．(2024年湖北高一期中)某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20,0.30,0.10，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為()A．0.90 B．0.30C．0.60 D．0.40【答案】D【解析】由題意知射手在一次射擊中不夠8環(huán)的對立事務是射手在一次射擊中不小于8環(huán)，∵射手在一次射擊中不小于8環(huán)包括擊中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，這三個事務是互斥的，∴射手在一次射擊中不小于8環(huán)的概率是0.20＋0.30＋0.10＝0.60，∴射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率是1－0.60＝0.40.故選D．6．(2024年佛山月考)《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有大小兩種，大燈下綴2個小燈是小燈球，大燈下綴4個小燈是大燈球，若這座樓閣的大燈共360個，小燈共1200個，隨機選取1個燈球，則這個燈球是大燈球的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)【答案】B【解析】設小燈球有x個，大燈球有y個，依據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝360，,2x＋4y＝1200，))解得x＝120，y＝240，則燈球的總數(shù)為x＋y＝360個，故這個燈球是大燈球的概率為p＝eq\f(240,360)＝eq\f(2,3).故選B．7．某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進價為3元，售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷售量，如圖所示．設x為這種商品每天的銷售量，y為該商場每天銷售這種商品的利潤，從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,8)【答案】B【解析】日銷售量不少于20個時，日利潤不少于96元，其中日銷售量為20個時，日利潤為96元；日銷售量為21個時，日利潤為97元．從條形統(tǒng)計圖可以看出，日銷售量為20個的有3天，日銷售量為21個的有2天，日銷售量為20個的3天記為a，b，c，日銷售量為21個的2天記為A，B，從這5天中任選2天，可能的狀況有10種：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中選出的2天日銷售量都為21個的狀況只有1種，故所求概率p＝eq\f(1,10).故選B．8．(2024年廣州高一期末)甲、乙兩人罰球的命中率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，兩人分別罰球2次，則他們共命中3次的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】依據(jù)題意得，甲、乙共命中3次的概率p＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,18)＋\f(1,36)))＝eq\f(1,6).故選A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．9．下列事務中是隨機事務的是()A．明年8月18日，北京市不下雨B．在標準大氣壓下，水在4℃時結冰C．從標有1,2,3,4的四張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽D．向量的模不小于0【答案】AC【解析】A，C為隨機事務，B為不行能事務，D為必定事務．故選AC．10．一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事務關系中，說法正確的是()A．事務“兩次均擊中”與事務“至少一次擊中”互為對立事務B．事務“第一次擊中”與事務“其次次擊中”互斥C．事務“恰有一次擊中”與事務“兩次均擊中”互斥D．事務“兩次均未擊中”與事務“至少一次擊中”互為對立事務【答案】CD【解析】對于A，事務“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中”，所以不是對立事務，A錯誤；對于B，事務“第一次擊中”包含“第一次擊中、其次次擊中”和“第一次擊中、其次次不中”，所以與事務“其次次擊中”不是互斥事務，B錯誤；對于C，事務“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”，它與事務“兩次均擊中”是互斥事務，C正確；對于D，事務“兩次均未擊中”的對立事務是“至少一次擊中”，D正確．故選CD．11．從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么不互斥的兩個事務是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”【答案】AB【解析】“至少有一個黑球”中包含“都是黑球”，A正確；“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”可能同時發(fā)生，B正確；“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不行能同時發(fā)生，C不正確；“至少有一個黑球”與“都是紅球”不行能同時發(fā)生，D不正確．故選AB．12．某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第1號車站(首發(fā)站)乘車，假設每人自第2號車站起先，在每個車站下車是等可能的，則()A．甲、乙兩人下車的全部可能的結果有9種B．甲、乙兩人同時在第2號車站下車的概率為eq\f(1,9)C．甲、乙兩人同時在第4號車站下車的概率為eq\f(1,3)D．甲、乙兩人在不同的車站下車的概率為eq\f(2,3)【答案】ABD【解析】甲、乙兩人下車的全部可能的結果為(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共9種，A正確，甲、乙兩人同時在第2號車站和第4號車站下車的概率都是eq\f(1,9)，B正確，C錯誤．甲、乙兩人在不同的車站下事的概率為1－3×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3)，D正確．故選ABD．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在題中橫線上)13．我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內的概率如表所示：年降水量/mm[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]概率0.210.160.130.12則年降水量在[200,300](mm)范圍內的概率是________．【答案】0.25【解析】“年降水量在[200,300](mm)范圍內”由“年降水量在[200,250)(mm)范圍內”和“年降水量在[250,300](mm)范圍內”兩個互斥事務構成，因此概率為0.13＋0.12＝0.25.14．下列各對事務：①運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；②甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；③甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”；④甲、乙兩運動員各射擊一次，“至少有一人射中目標”與“甲射中目標但乙沒有射中目標”．其中互斥事務的有________．【答案】①③【解析】①和③不行能同時發(fā)生，是互斥事務．②中“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”相互之間沒有影響，是相互獨立事務．15．在拋擲一顆骰子的試驗中，事務A表示“不大于4的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務B表示“小于5的點出現(xiàn)”，則事務A∪eq\x\to(B)發(fā)生的概率為________．(eq\x\to(B)表示B的對立事務)【答案】eq\f(2,3)【解析】事務A包含的基本領件為“出現(xiàn)2點”或“出現(xiàn)4點”；eq\x\to(B)表示“大于等于5的點出現(xiàn)”，包含的基本領件為“出現(xiàn)5點”或“出現(xiàn)6點”．明顯A與eq\x\to(B)是互斥的，故P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).16．(2024年西安高一期中)假設向三個相鄰的軍火庫投擲一個炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，其余兩個各為0.1，只要炸中一個，另兩個也發(fā)生爆炸，則軍火庫發(fā)生爆炸的概率為________．【答案】0.225【解析】軍火庫發(fā)生爆炸的概率p＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.四、解答題(本大題共6小題，17題10分，其余小題為12分，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數(shù)字，數(shù)字分別是1,2,3,4.現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片．(1)若一次抽取3張卡片，求3張卡片上的數(shù)字之和大于7的概率；(2)若第一次抽取1張卡片，放回后再抽取1張卡片，求至少有一次抽到數(shù)字3的概率．解：(1)設A表示事務“抽取的3張卡片上的數(shù)字之和大于7”，任取3張卡片，3張卡片上的數(shù)字的全部可能結果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4個．其中數(shù)字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，共2個，故P(A)＝eq\f(1,2).(2)設B表示事務“至少有一次抽到數(shù)字3”，第一次抽取1張卡片，放回后再抽取1張卡片的全部可能結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個．至少有一次抽到數(shù)字3的結果有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，共7個．故所求事務的概率為P(B)＝eq\f(7,16).18．袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干個，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．已知從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，其次次取出的小球標號為b.記事務A表示“a＋b＝2”，求事務A的概率．解：(1)由題意可知eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)記標號為2的兩個小球分別為21,22，不放回地隨機抽取2個小球的全部基本領件為(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12個，事務A包含的基本領件為：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4個，所以P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).19．“搶紅包”的活動給節(jié)假日增加了一份趣味，某組織進行了一次關于“是否參與搶紅包活動”的調查活動，在幾個大型小區(qū)隨機抽取50名居民進行問卷調查，對問卷結果進行了統(tǒng)計，并將調查結果統(tǒng)計如下表：年齡/歲[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]調查人數(shù)46141286參與的人數(shù)3412632(1)補全如圖所示有關調查人數(shù)的頻率分布直方圖，并依據(jù)頻率分布直方圖估計這50名居民年齡的中位數(shù)和平均數(shù)(結果精確到0.1)；(2)在被調查的居民中，若從年齡在[10,20)，[20,30)內的居民中各隨機選取1人參與抽獎活動，求選中的2人中僅有1人沒有參與搶紅包活動的概率．解：(1)補全頻率分布直方圖，如圖所示：這50名居民年齡的平均數(shù)約為(15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012)×10＝41.4.設中位數(shù)為x，則0.08＋0.12＋0.28＋0.024(x－40)＝0.5，解得x≈40.8，所以這50名居民年齡的中位數(shù)約為40.8.(2)記年齡在[10,20)內的居民為a1，A2，A3，A4(其中居民a1沒有參與搶紅包活動)，年齡在[20,30)內的居民為b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2沒有參與搶紅包活動)．從年齡在[10,20)，[20,30)內的居民中各選取1人的情形有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24種．其中僅有1人沒有參與搶紅包活動的情形有10種，所以選中的2人中僅有1人沒有參與搶紅包活動的概率p＝eq\f(10,24)＝eq\f(5,12).20．(2024年宜賓模擬)手機運動計步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計了職工一天行走步數(shù)(單位：百步)，將數(shù)據(jù)分組為(50,70]，(70,90]，(90,110]，(110,130]，(130,150]，(150,170]，(170,190]，(190,210]，繪制出如下頻率分布直方圖：(1)求直方圖中a的值，并由頻率分布直方圖估計該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；(2)若該單位有職工200人，試估計職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；(3)在(2)的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參與遠足拉練活動，再從6人中選取2人擔當領隊，求這兩人均來自區(qū)間(150,170]的概率．解：(1)由題意，得0.002×20＋0.006×20＋0.008×20＋a×20＋0.010×20＋0.008×20＋0.002×20＋0.002×20＝1，解得a＝0.012.設中位數(shù)為110＋x，則0.002×20＋0.006×20＋0.008×20＋0.012x＝0.5，解得x＝15，所以中位數(shù)是125.(2)由200×(0.002×20＋0.006×20＋0.008×20＋0.012×20)＝112，所以估計職工一天步行數(shù)不大于13000步的人數(shù)為112.(3)在區(qū)間(150,170]中有200×0.008×20＝32人，在區(qū)間(170,190]中有200×0.002×20＝8人，在區(qū)間(190,210]中有200×0.002×20＝8人，按分層抽樣抽取6人，則從(150,170]中抽取4人，(170,190]中抽取1人，(190,210]中抽取1人．設從(150,170]中抽取職工為a，b，c，d，從(170,190]中抽取職工為E，從(190,210]中抽取職工為F，則從6人中抽取2人的狀況有ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF共15種狀況，其中滿意兩人均來自區(qū)間(150,170]的有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6種狀況，所以p＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).所以兩人均來自區(qū)間(150,170]的概率為eq\f(2,5).21．(2024年哈爾濱三模)棉花的優(yōu)質率是以其纖維長度來衡量的，纖維越長的棉花品質越高．棉花的品質分類標準為：纖維長度(單位：mm)小于等于28的為粗絨棉，纖維長度在(25,33]為細絨棉，纖維長度大于33的為長絨棉，其中纖維長度在38以上的棉花又名“軍海1號”．某選購 商從新疆某一棉花基地抽測了100根棉花的纖維長度，得到數(shù)據(jù)繪制成頻數(shù)分布表如下：纖維長度/mm小于或等于25(25,33](33,38]大于38根數(shù)2384020(1)若將頻率作為概率，依據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否認為該基地的這批棉花符合“長絨棉占全部棉花的50%以上”的要求？(2)用分層抽樣的方法從長絨棉中抽取6根棉花，再從6根棉花中取兩根進行檢驗，求抽到的兩根棉花只有一根是“軍海1號”的概率．解：(1)將頻率作為概率，依據(jù)以上數(shù)據(jù)，長絨棉占全部棉花的比例為eq\f(40＋20,100)＝60%，∴該基地的這批棉花符合“長絨棉占全部棉花的50%以上”的要求．(2)用分層抽樣的方法從長絨棉中抽取6根棉花，其中“軍海1號”抽到的根數(shù)為6×eq\f(20,20＋40)＝2.再從6根棉花中取兩根進行檢驗，基本領件總數(shù)n＝15，抽到的兩根棉花只有一根是“軍海1號”包含的基本領件個數(shù)m＝8，∴抽到的兩根棉花只有一根是“軍海1號”的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,15).22．(2024年北京朝陽區(qū)高一期末)某市從高二年級隨機選取1000名