機器人技術(shù)基礎(chǔ)課件第三章-機器人運動學

機器人技術(shù)基礎(chǔ)

第三章機器人運動學1第三章機器人運動學3.3機器人逆運動學

第三章機器人運動學3.2機器人正運動學3.1連桿的描述3

運動學(Kinematics)處理機器人位姿與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系。

第三章機器人運動學關(guān)節(jié)變量包括連桿長度和連桿扭角第三章機器人運動學

第三章機器人運動學3.1連桿的描述53.1連桿的描述

機器人的運動學可用一個開環(huán)關(guān)節(jié)鏈來建模，此鏈由數(shù)個剛體(桿件)以驅(qū)動器驅(qū)動的轉(zhuǎn)動或移動關(guān)節(jié)串聯(lián)而成。

開環(huán)關(guān)節(jié)鏈的一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝著工具，用以操作物體或完成裝配作業(yè)。關(guān)節(jié)的相對運動導致桿件的運動，使手定位于所需的方位上。63.1.1連桿坐標系桿件的編號由手臂的固定基座開始，一般稱基座為連桿0，不包含在n個連桿內(nèi)。關(guān)節(jié)和桿件均由基座向外順序排列，每個桿件最多與另外兩個桿件相連，而不構(gòu)成閉環(huán)。關(guān)節(jié)1處于連接桿件1和基座之間。73.1.1連桿坐標系8

機器人實際上可認為是由一系列關(guān)節(jié)連接起來的連桿所組成。我們把坐標系固連在機器人的每一個連桿關(guān)節(jié)上，可以用齊次變換來描述這些坐標系之間的相對位置和方向。

一個六連桿機械手可具有六個自由度，每個連桿含有一個自由度，并能在其運動范圍內(nèi)任意定位與定向。其中三個自由度用于規(guī)定位置，而另外三個自由度用來規(guī)定姿態(tài)。3.1.1連桿坐標系9機械手的運動方向

關(guān)節(jié)軸為ZB，ZB軸的單位方向矢量α稱為接近矢量，指向朝外。

二手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量0稱為方向矢量，指向可任意選定。

機器人手部的位置和姿態(tài)也可以用固連于手部的坐標系{B}的位姿來表示

XB軸與YB軸及ZB軸垂直，XB軸的單位方向矢量n稱為法線矢量，且n=o×α。3.1.1連桿坐標系剛體Q在固定坐標系OXYZ中的位置可用齊次坐標形式的一個(4×1)列陣表示為：

剛體的姿態(tài)可由動坐標系的坐標軸方向來表示。令n、o、a分別為X′、y′、z′坐標軸的單位方向矢量，每個單位方向矢量在固定坐標系上的分量為動坐標系各坐標軸的方向余弦，用齊次坐標形式的(4×1)列陣分別表示為：3.1.1連桿坐標系手部的位置矢量為固定參考系原點指向手部坐標系{B}原點的矢量p，手部的方向矢量為n、o、α。于是手部的位姿可用(4×4)矩陣表示為：

六連桿機械手的T矩陣（T

）可由指定其16個元素的數(shù)值來決定。在這16個元素中，只有12個元素具有實際含義。3.1.1連桿坐標系12一旦機械手的運動姿態(tài)由某個姿態(tài)變換規(guī)定之后，它在基系中的位置就能夠由左乘一個對應(yīng)于矢量p的平移變換來確定：3.1機器人運動方程的表示3.1.1連桿坐標系機器人運動學的重點是研究手部的位姿和運動，而手部位姿是與機器人各桿件的尺寸、運動副類型及桿間的相互關(guān)系直接相關(guān)聯(lián)的。因此在研究手部相對于機座的幾何關(guān)系時，首先必須分析兩相鄰桿件的相互關(guān)系，即建立桿件坐標系。3.1.2連桿參數(shù)3.1.2連桿參數(shù)15ai-1:連桿長度-關(guān)節(jié)軸i和關(guān)節(jié)軸i-1之間公垂線的距離：連桿扭角-兩個關(guān)節(jié)軸線的夾角di:連桿偏距--沿兩個相鄰連桿公共軸線方向的距離:關(guān)節(jié)角

--兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉(zhuǎn)的夾角3.1.2連桿參數(shù)關(guān)節(jié)i-1關(guān)節(jié)i+1連桿尺寸鄰桿關(guān)系關(guān)節(jié)i連桿i連桿i-116在四個參數(shù)中，通常只有連桿偏距和關(guān)節(jié)角是關(guān)節(jié)變量3.1.2連桿參數(shù)

對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)角為關(guān)節(jié)變量；對于平動關(guān)節(jié)，連桿偏距為關(guān)節(jié)變量。關(guān)節(jié)i關(guān)節(jié)i-1關(guān)節(jié)i+1連桿i連桿i-1AiAi+1Ai-1連桿坐標系的建立按下面規(guī)則進行：連桿i坐標系(簡稱i系)的坐標原點設(shè)在關(guān)節(jié)i的軸線和關(guān)節(jié)i-1的軸線的公垂線與關(guān)節(jié)i-1的軸線相交之處；i-1系的z軸與關(guān)節(jié)i-1的軸線重合；x軸與上述公垂線重合，且方向從關(guān)節(jié)i-1指向關(guān)節(jié)i，y軸則按右手系確定。3.1.3D-H參數(shù)分析18連桿長度（linklength）ai-1：沿Xi-1軸，從Zi-1移動到Zi的距離；連桿扭角（linktwist）αi-1：繞Xi-1軸，從Zi-1旋轉(zhuǎn)到Zi的角度；連桿偏距（linkoffset）di：

沿Zi軸，從Xi-1移動到Xi的距離；關(guān)節(jié)角（jointangle）θi：繞Zi軸，從Xi-1旋轉(zhuǎn)到Xi的角度。關(guān)節(jié)i關(guān)節(jié)i-1關(guān)節(jié)i+1連桿i連桿i-1AiAi+1Ai-13.1.3D-H參數(shù)分析分別是圍繞軸旋轉(zhuǎn)定義的，它們的正負就根據(jù)判定旋轉(zhuǎn)矢量方向的右手法則來確定。3.1.3D-H參數(shù)分析已知三自由度平面關(guān)節(jié)機器人如圖所示，關(guān)節(jié)軸線相互平行。設(shè)機器人桿件1、2、3的長度為l1、l2和l3，根據(jù)D-H法，建立必要坐標系及參數(shù)表。3.1.3D-H參數(shù)分析連桿i連桿長度ai-1連桿偏距di連桿扭角αi-1關(guān)節(jié)角θi1000θ12l100θ23l200θ3標準DH（SDH）和改進DH（MDH）兩種建系方法的區(qū)別區(qū)別一：連桿坐標系建立的位置不同。SDH方法將連桿i的坐標系固定在連桿的遠端，MDH方法把連桿i的坐標系固定在連桿的近端。

標準DH（SDH）和改進DH（MDH）兩種建系方法的區(qū)別區(qū)別二：執(zhí)行變換的的順序不同。按照SDH方法變換時四個參數(shù)相乘的順序依次為d—>θ—>a—>α,而MDH方法則按照α—>a—>θ—>d（正好與SDH相反）。。

對于樹形結(jié)構(gòu)或者閉鏈機構(gòu)的機器人來說，按照SDH方法建立的連桿坐標系會產(chǎn)生歧義，因為SDH的建系原則是把連桿i的坐標系建立在連桿的遠端，如圖3(a)所示，這就導致連桿0上同時出現(xiàn)了兩個坐標系。而MDH把連桿坐標系建立在每個連桿的近端，則不會坐標系重合的情況，如圖3(b)所示,這就克服了SDH方法建系的缺點。233.1機器人運動方程的表示3.1.4T-MatrixandA-Matrix連桿變換矩陣及其乘積

建立了各連桿坐標系后，i-1系與i系間的變換關(guān)系可以用坐標系的平移、旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)。一、連桿坐標系之間的變換矩陣(1)坐標系｛i-1｝繞xi-1軸轉(zhuǎn)角αi-1，使Zi－1與Zi平行，算子為Rot(x,αi-1)；(2)沿Xi-1軸平移ai-1，使Zi－1和Zi共線，算子為Trans(ai-1,0,0)；(3)繞Zi軸轉(zhuǎn)角θi;使得使Xi－1與Xi平行,算子為Rot(z,θi)；(4)沿Zi軸平移di。使得i-1系和i系重合,算子為Trans(0,0,di)。用一個變換矩陣來綜合表示上述四次變換時應(yīng)注意到坐標系在每次旋轉(zhuǎn)或平移后發(fā)生了變動，后一次變換都是相對于動系進行的，因此在運算中變換算子應(yīng)該右乘。I、{i-1}→{i}變換過程a、Trans（li-1，0，0）；b、Rot（x，αi-1）；c、Trans（0，0，di）；d、Rot（z，θi）。ili-1i-1θi關(guān)節(jié)idiXi-1Zi-1Oi-1XiZiOiαi-1cbad3.1.4T-MatrixandA-Matrix連桿變換矩陣及其乘積

這種關(guān)系可由表示連桿相對位置的四個齊次變換來描述，此關(guān)系式為：

展開上式可得：

253.1.4連桿變換矩陣及其乘積

26

如果矩陣表示第一連桿坐標系相對于固定坐標系的齊次變換，則第二連桿坐標系相對于固定坐標系的位姿T1為26

3.23.2機械手運動學方程同理，若矩陣表示第三連桿坐標系相對于第二連桿坐標系的齊次變換，則有：如此類推，對于六連桿機器人，有下列矩陣：3.1.4連桿變換矩陣及其乘積

此式右邊表示了從固定參考系到手部坐標系的各連桿坐標系之間的變換矩陣的連乘，左邊表示這些變換矩陣的乘積，也就是手部坐標系相對于固定參考系的位姿。機器人運動學方程3.1.4連桿變換矩陣及其乘積

第三章機器人運動學第三章機器人運動學3.2機械手正運動學手指位置與關(guān)節(jié)變量：根據(jù)幾何學知識：通常的矢量形式：293.2機器人正運動學方程分析303.2.1機器人正運動學方程機器人正運動學將關(guān)節(jié)變量作為自變量，研究機器人末端執(zhí)行器位姿與基座之間的函數(shù)關(guān)系?？傮w思想是：（1）給每個連桿指定坐標系；（2）確定從一個連桿到下一連桿變換（即相鄰參考系之間的變化）；（3）結(jié)合所有變換，確定末端連桿與基座間的總變換；（4）建立運動學方程求解。機器人運動學的一般模型為：

T=f(qi)其中，T為機器人末端執(zhí)行器的位姿，qi為機器人各個關(guān)節(jié)變量。若給定qi，要求確定相應(yīng)的T，稱為正運動學問題。

如圖所示是個三自由度的機器人，

三個關(guān)節(jié)皆為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，第3關(guān)節(jié)軸線垂直于1、2關(guān)節(jié)軸線所在的平面，各個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)方向如圖所示，用D-H方法建立各連桿坐標系，求出該機器人的運動學方程。3.2.1機器人正運動學方程連桿i連桿長度ai-1連桿偏距di連桿扭角αi-1關(guān)節(jié)角θi10000θ1(00)2a0000θ2(00)3a1d2-900θ3(00)3.2.1機器人正運動學方程該3自由度機器人的運動學方程為：

，

代入運動學方程，求解得：3.2.1機器人正運動學方程其中，

、可根據(jù)各關(guān)節(jié)角θi的值，求出。如當θi分別為θ1=θ2=θ3=0°時，則可根據(jù)3自由度機器人運動學方程求解出運動學正解，即手部的位姿矩陣表達式。3.2.1機器人正運動學方程353.2.2PUMA560運動分析PUMA560運動分析（表示）PUMA560是屬于關(guān)節(jié)式機器人，6個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。前3個關(guān)節(jié)確定手腕參考點的位置，后3個關(guān)節(jié)確定手腕的方位。363.2.2PUMA560運動分析θ1θ2θ3θ4θ5θ638PUMA560每個關(guān)節(jié)均有角度零位與正負方向限位開關(guān)，機器人的回轉(zhuǎn)機體實現(xiàn)機器人機體繞z0軸的回轉(zhuǎn)（角θ1），它由固定底座和回轉(zhuǎn)工作臺組成。安裝在軸中心的驅(qū)動電機經(jīng)傳動裝置，可以實現(xiàn)工作臺的回轉(zhuǎn)。3.2.2PUMA560運動分析39大臂、小臂的平衡由機器人中的平衡裝置控制，在機器人的回轉(zhuǎn)工作臺上安裝有大臂臺座，將大臂下端關(guān)節(jié)支承在臺座上，大臂的上端關(guān)節(jié)用于支承小臂。大臂臂體的下端安有直流伺服電機，可控制大臂上下擺動（角θ2）。3.2.2PUMA560運動分析40小臂支承于大臂臂體的上關(guān)節(jié)處，其驅(qū)動電機可帶動小臂做上下俯仰（角θ3），以及小臂的回轉(zhuǎn)（θ4）。3.2.2PUMA560運動分析41機器人的腕部位于小臂臂體前端，通過伺服電動機傳動，可實現(xiàn)腕部擺動（θ5）和轉(zhuǎn)動（θ6）。3.2.2PUMA560運動分析423.2.2PUMA560運動分析433.2.2PUMA560運動分析連桿i關(guān)節(jié)角θi連桿偏距di連桿扭角αi-1連桿長度ai-11θ1(900)00002θ2(00)d2-90003θ3(-900)00a24θ4(00)d4-900a45θ5(00)090006θ6(00)0-900044連桿變換通式連桿變換通式為：3.2.2PUMA560運動分析45據(jù)連桿變換通式式和表3.1所示連桿參數(shù)，可求得各連桿變換矩陣如下：

3.2.2PUMA560運動分析46各連桿變換矩陣相乘，得PUMA

560的機械手變換的T矩陣：即為關(guān)節(jié)變量的函數(shù)。該矩陣描述了末端連桿坐標系{6}相對基坐標系{0}的位姿。3.2.2PUMA560運動分析473.2.2PUMA560運動分析483.2.2PUMA560運動分析第三章機器人運動學3.3機器人逆運動學第三章機器人運動學機器人的運動學逆解具有多解性，是指對于給定的機器人工作領(lǐng)域內(nèi)，手部可以多方向達到目標點，因此，對于給定的在機器人的工作域內(nèi)的手部位置可以得到多個解。如圖所示，平面二桿機器人（兩個關(guān)節(jié)可以360°旋轉(zhuǎn)）在工作空間內(nèi)存在兩個解。逆解個數(shù)不僅與機器人的關(guān)節(jié)數(shù)目有關(guān)，還與機器人的構(gòu)型、關(guān)節(jié)運動范圍等相關(guān)。對于一個真實的機器人，只有一組解與實際情況對應(yīng)，為此必須做出判斷，以選擇合適的解。在避免碰撞的前提下，通常按最短行程的準則來擇優(yōu)，使每個關(guān)節(jié)的移動量為最小。3.3.1機器人逆運動學方程式中同樣，如果用向量表示上述關(guān)系式，其一般可表示為51逆運動學的示例3.3.1機器人逆運動學方程

將運動學公式兩邊微分即可得到機器人手爪的速度和關(guān)節(jié)速度的關(guān)系，再進一步進行微分將得到加速度之間的關(guān)系，處理這些關(guān)系也是機器人的運動學問題。

523.3.1機器人逆運動學方程對于逆運動學的求解，用一系列變換矩陣的逆矩陣左乘，然后找出右端為常數(shù)的元素，并令這些元素與左端元素相等，這樣就可以得出一個可以求解的三角函數(shù)方程式。便可求出關(guān)節(jié)變量θn或dn。但通常不需要全部遞推過程便可利用等式兩邊對應(yīng)項求解。3.3.1機器人逆運動學方程543.3.2PUMA560運動綜合（求解）可把PUMA560的運動方程為：若末端連桿的位姿已經(jīng)給定，即為已知，則求關(guān)節(jié)變量的值稱為運動反解。用未知的連桿逆變換左乘方程兩邊，把關(guān)節(jié)變量分離出來，從而求得的解。55采用雙變量反正切函數(shù)atan2來確定角度。當–π

θ

π，由atan2反求角度時，同時檢查y和x的符號來確定其所在象限。這一函數(shù)也能檢驗什么時候x或y為0，并反求出正確的角度。atan2的精確程度對其整個定義域都是一樣的。用雙變量反正切函數(shù)(two-argumentarctangentfunction)確定角度補充知識56求用逆變換左乘式兩邊：3.3.2PUMA560運動綜合已知數(shù)據(jù)待求的各變量θ方程右邊方程左邊找常數(shù)項，對應(yīng)項兩邊相等，解出θ1，θ3571.求