機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)課件第三章-機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)

第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)1第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.3機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.2機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)3.1連桿的描述3

運(yùn)動(dòng)學(xué)(Kinematics)處理機(jī)器人位姿與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系。

第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)節(jié)變量包括連桿長度和連桿扭角第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.1連桿的描述53.1連桿的描述

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)可用一個(gè)開環(huán)關(guān)節(jié)鏈來建模，此鏈由數(shù)個(gè)剛體(桿件)以驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)節(jié)串聯(lián)而成。

開環(huán)關(guān)節(jié)鏈的一端固定在基座上，另一端是自由的，安裝著工具，用以操作物體或完成裝配作業(yè)。關(guān)節(jié)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致桿件的運(yùn)動(dòng)，使手定位于所需的方位上。63.1.1連桿坐標(biāo)系桿件的編號(hào)由手臂的固定基座開始，一般稱基座為連桿0，不包含在n個(gè)連桿內(nèi)。關(guān)節(jié)和桿件均由基座向外順序排列，每個(gè)桿件最多與另外兩個(gè)桿件相連，而不構(gòu)成閉環(huán)。關(guān)節(jié)1處于連接桿件1和基座之間。73.1.1連桿坐標(biāo)系8

機(jī)器人實(shí)際上可認(rèn)為是由一系列關(guān)節(jié)連接起來的連桿所組成。我們把坐標(biāo)系固連在機(jī)器人的每一個(gè)連桿關(guān)節(jié)上，可以用齊次變換來描述這些坐標(biāo)系之間的相對(duì)位置和方向。

一個(gè)六連桿機(jī)械手可具有六個(gè)自由度，每個(gè)連桿含有一個(gè)自由度，并能在其運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)任意定位與定向。其中三個(gè)自由度用于規(guī)定位置，而另外三個(gè)自由度用來規(guī)定姿態(tài)。3.1.1連桿坐標(biāo)系9機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)方向

關(guān)節(jié)軸為ZB，ZB軸的單位方向矢量α稱為接近矢量，指向朝外。

二手指的連線為YB軸，YB軸的單位方向矢量0稱為方向矢量，指向可任意選定。

機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)也可以用固連于手部的坐標(biāo)系{B}的位姿來表示

XB軸與YB軸及ZB軸垂直，XB軸的單位方向矢量n稱為法線矢量，且n=o×α。3.1.1連桿坐標(biāo)系剛體Q在固定坐標(biāo)系OXYZ中的位置可用齊次坐標(biāo)形式的一個(gè)(4×1)列陣表示為：

剛體的姿態(tài)可由動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向來表示。令n、o、a分別為X′、y′、z′坐標(biāo)軸的單位方向矢量，每個(gè)單位方向矢量在固定坐標(biāo)系上的分量為動(dòng)坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸的方向余弦，用齊次坐標(biāo)形式的(4×1)列陣分別表示為：3.1.1連桿坐標(biāo)系手部的位置矢量為固定參考系原點(diǎn)指向手部坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)的矢量p，手部的方向矢量為n、o、α。于是手部的位姿可用(4×4)矩陣表示為：

六連桿機(jī)械手的T矩陣（T

）可由指定其16個(gè)元素的數(shù)值來決定。在這16個(gè)元素中，只有12個(gè)元素具有實(shí)際含義。3.1.1連桿坐標(biāo)系12一旦機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)由某個(gè)姿態(tài)變換規(guī)定之后，它在基系中的位置就能夠由左乘一個(gè)對(duì)應(yīng)于矢量p的平移變換來確定：3.1機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程的表示3.1.1連桿坐標(biāo)系機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的重點(diǎn)是研究手部的位姿和運(yùn)動(dòng)，而手部位姿是與機(jī)器人各桿件的尺寸、運(yùn)動(dòng)副類型及桿間的相互關(guān)系直接相關(guān)聯(lián)的。因此在研究手部相對(duì)于機(jī)座的幾何關(guān)系時(shí)，首先必須分析兩相鄰桿件的相互關(guān)系，即建立桿件坐標(biāo)系。3.1.2連桿參數(shù)3.1.2連桿參數(shù)15ai-1:連桿長度-關(guān)節(jié)軸i和關(guān)節(jié)軸i-1之間公垂線的距離：連桿扭角-兩個(gè)關(guān)節(jié)軸線的夾角di:連桿偏距--沿兩個(gè)相鄰連桿公共軸線方向的距離:關(guān)節(jié)角

--兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉(zhuǎn)的夾角3.1.2連桿參數(shù)關(guān)節(jié)i-1關(guān)節(jié)i+1連桿尺寸鄰桿關(guān)系關(guān)節(jié)i連桿i連桿i-116在四個(gè)參數(shù)中，通常只有連桿偏距和關(guān)節(jié)角是關(guān)節(jié)變量3.1.2連桿參數(shù)

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)角為關(guān)節(jié)變量；對(duì)于平動(dòng)關(guān)節(jié)，連桿偏距為關(guān)節(jié)變量。關(guān)節(jié)i關(guān)節(jié)i-1關(guān)節(jié)i+1連桿i連桿i-1AiAi+1Ai-1連桿坐標(biāo)系的建立按下面規(guī)則進(jìn)行：連桿i坐標(biāo)系(簡稱i系)的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在關(guān)節(jié)i的軸線和關(guān)節(jié)i-1的軸線的公垂線與關(guān)節(jié)i-1的軸線相交之處；i-1系的z軸與關(guān)節(jié)i-1的軸線重合；x軸與上述公垂線重合，且方向從關(guān)節(jié)i-1指向關(guān)節(jié)i，y軸則按右手系確定。3.1.3D-H參數(shù)分析18連桿長度（linklength）ai-1：沿Xi-1軸，從Zi-1移動(dòng)到Zi的距離；連桿扭角（linktwist）αi-1：繞Xi-1軸，從Zi-1旋轉(zhuǎn)到Zi的角度；連桿偏距（linkoffset）di：

沿Zi軸，從Xi-1移動(dòng)到Xi的距離；關(guān)節(jié)角（jointangle）θi：繞Zi軸，從Xi-1旋轉(zhuǎn)到Xi的角度。關(guān)節(jié)i關(guān)節(jié)i-1關(guān)節(jié)i+1連桿i連桿i-1AiAi+1Ai-13.1.3D-H參數(shù)分析分別是圍繞軸旋轉(zhuǎn)定義的，它們的正負(fù)就根據(jù)判定旋轉(zhuǎn)矢量方向的右手法則來確定。3.1.3D-H參數(shù)分析已知三自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人如圖所示，關(guān)節(jié)軸線相互平行。設(shè)機(jī)器人桿件1、2、3的長度為l1、l2和l3，根據(jù)D-H法，建立必要坐標(biāo)系及參數(shù)表。3.1.3D-H參數(shù)分析連桿i連桿長度ai-1連桿偏距di連桿扭角αi-1關(guān)節(jié)角θi1000θ12l100θ23l200θ3標(biāo)準(zhǔn)DH（SDH）和改進(jìn)DH（MDH）兩種建系方法的區(qū)別區(qū)別一：連桿坐標(biāo)系建立的位置不同。SDH方法將連桿i的坐標(biāo)系固定在連桿的遠(yuǎn)端，MDH方法把連桿i的坐標(biāo)系固定在連桿的近端。

標(biāo)準(zhǔn)DH（SDH）和改進(jìn)DH（MDH）兩種建系方法的區(qū)別區(qū)別二：執(zhí)行變換的的順序不同。按照SDH方法變換時(shí)四個(gè)參數(shù)相乘的順序依次為d—>θ—>a—>α,而MDH方法則按照α—>a—>θ—>d（正好與SDH相反）。。

對(duì)于樹形結(jié)構(gòu)或者閉鏈機(jī)構(gòu)的機(jī)器人來說，按照SDH方法建立的連桿坐標(biāo)系會(huì)產(chǎn)生歧義，因?yàn)镾DH的建系原則是把連桿i的坐標(biāo)系建立在連桿的遠(yuǎn)端，如圖3(a)所示，這就導(dǎo)致連桿0上同時(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)坐標(biāo)系。而MDH把連桿坐標(biāo)系建立在每個(gè)連桿的近端，則不會(huì)坐標(biāo)系重合的情況，如圖3(b)所示,這就克服了SDH方法建系的缺點(diǎn)。233.1機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方程的表示3.1.4T-MatrixandA-Matrix連桿變換矩陣及其乘積

建立了各連桿坐標(biāo)系后，i-1系與i系間的變換關(guān)系可以用坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)。一、連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣(1)坐標(biāo)系｛i-1｝繞xi-1軸轉(zhuǎn)角αi-1，使Zi－1與Zi平行，算子為Rot(x,αi-1)；(2)沿Xi-1軸平移ai-1，使Zi－1和Zi共線，算子為Trans(ai-1,0,0)；(3)繞Zi軸轉(zhuǎn)角θi;使得使Xi－1與Xi平行,算子為Rot(z,θi)；(4)沿Zi軸平移di。使得i-1系和i系重合,算子為Trans(0,0,di)。用一個(gè)變換矩陣來綜合表示上述四次變換時(shí)應(yīng)注意到坐標(biāo)系在每次旋轉(zhuǎn)或平移后發(fā)生了變動(dòng)，后一次變換都是相對(duì)于動(dòng)系進(jìn)行的，因此在運(yùn)算中變換算子應(yīng)該右乘。I、{i-1}→{i}變換過程a、Trans（li-1，0，0）；b、Rot（x，αi-1）；c、Trans（0，0，di）；d、Rot（z，θi）。ili-1i-1θi關(guān)節(jié)idiXi-1Zi-1Oi-1XiZiOiαi-1cbad3.1.4T-MatrixandA-Matrix連桿變換矩陣及其乘積

這種關(guān)系可由表示連桿相對(duì)位置的四個(gè)齊次變換來描述，此關(guān)系式為：

展開上式可得：

253.1.4連桿變換矩陣及其乘積

26

如果矩陣表示第一連桿坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的齊次變換，則第二連桿坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的位姿T1為26

3.23.2機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)方程同理，若矩陣表示第三連桿坐標(biāo)系相對(duì)于第二連桿坐標(biāo)系的齊次變換，則有：如此類推，對(duì)于六連桿機(jī)器人，有下列矩陣：3.1.4連桿變換矩陣及其乘積

此式右邊表示了從固定參考系到手部坐標(biāo)系的各連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣的連乘，左邊表示這些變換矩陣的乘積，也就是手部坐標(biāo)系相對(duì)于固定參考系的位姿。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程3.1.4連桿變換矩陣及其乘積

第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.2機(jī)械手正運(yùn)動(dòng)學(xué)手指位置與關(guān)節(jié)變量：根據(jù)幾何學(xué)知識(shí)：通常的矢量形式：293.2機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分析303.2.1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)將關(guān)節(jié)變量作為自變量，研究機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿與基座之間的函數(shù)關(guān)系?？傮w思想是：（1）給每個(gè)連桿指定坐標(biāo)系；（2）確定從一個(gè)連桿到下一連桿變換（即相鄰參考系之間的變化）；（3）結(jié)合所有變換，確定末端連桿與基座間的總變換；（4）建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的一般模型為：

T=f(qi)其中，T為機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿，qi為機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量。若給定qi，要求確定相應(yīng)的T，稱為正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。

如圖所示是個(gè)三自由度的機(jī)器人，

三個(gè)關(guān)節(jié)皆為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，第3關(guān)節(jié)軸線垂直于1、2關(guān)節(jié)軸線所在的平面，各個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)方向如圖所示，用D-H方法建立各連桿坐標(biāo)系，求出該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。3.2.1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程連桿i連桿長度ai-1連桿偏距di連桿扭角αi-1關(guān)節(jié)角θi10000θ1(00)2a0000θ2(00)3a1d2-900θ3(00)3.2.1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程該3自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

，

代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求解得：3.2.1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程其中，

、可根據(jù)各關(guān)節(jié)角θi的值，求出。如當(dāng)θi分別為θ1=θ2=θ3=0°時(shí)，則可根據(jù)3自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解出運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，即手部的位姿矩陣表達(dá)式。3.2.1機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程353.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析PUMA560運(yùn)動(dòng)分析（表示）PUMA560是屬于關(guān)節(jié)式機(jī)器人，6個(gè)關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。前3個(gè)關(guān)節(jié)確定手腕參考點(diǎn)的位置，后3個(gè)關(guān)節(jié)確定手腕的方位。363.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析θ1θ2θ3θ4θ5θ638PUMA560每個(gè)關(guān)節(jié)均有角度零位與正負(fù)方向限位開關(guān)，機(jī)器人的回轉(zhuǎn)機(jī)體實(shí)現(xiàn)機(jī)器人機(jī)體繞z0軸的回轉(zhuǎn)（角θ1），它由固定底座和回轉(zhuǎn)工作臺(tái)組成。安裝在軸中心的驅(qū)動(dòng)電機(jī)經(jīng)傳動(dòng)裝置，可以實(shí)現(xiàn)工作臺(tái)的回轉(zhuǎn)。3.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析39大臂、小臂的平衡由機(jī)器人中的平衡裝置控制，在機(jī)器人的回轉(zhuǎn)工作臺(tái)上安裝有大臂臺(tái)座，將大臂下端關(guān)節(jié)支承在臺(tái)座上，大臂的上端關(guān)節(jié)用于支承小臂。大臂臂體的下端安有直流伺服電機(jī)，可控制大臂上下擺動(dòng)（角θ2）。3.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析40小臂支承于大臂臂體的上關(guān)節(jié)處，其驅(qū)動(dòng)電機(jī)可帶動(dòng)小臂做上下俯仰（角θ3），以及小臂的回轉(zhuǎn)（θ4）。3.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析41機(jī)器人的腕部位于小臂臂體前端，通過伺服電動(dòng)機(jī)傳動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)腕部擺動(dòng)（θ5）和轉(zhuǎn)動(dòng)（θ6）。3.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析423.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析433.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析連桿i關(guān)節(jié)角θi連桿偏距di連桿扭角αi-1連桿長度ai-11θ1(900)00002θ2(00)d2-90003θ3(-900)00a24θ4(00)d4-900a45θ5(00)090006θ6(00)0-900044連桿變換通式連桿變換通式為：3.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析45據(jù)連桿變換通式式和表3.1所示連桿參數(shù)，可求得各連桿變換矩陣如下：

3.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析46各連桿變換矩陣相乘，得PUMA

560的機(jī)械手變換的T矩陣：即為關(guān)節(jié)變量的函數(shù)。該矩陣描述了末端連桿坐標(biāo)系{6}相對(duì)基坐標(biāo)系{0}的位姿。3.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析473.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析483.2.2PUMA560運(yùn)動(dòng)分析第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.3機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解具有多解性，是指對(duì)于給定的機(jī)器人工作領(lǐng)域內(nèi)，手部可以多方向達(dá)到目標(biāo)點(diǎn)，因此，對(duì)于給定的在機(jī)器人的工作域內(nèi)的手部位置可以得到多個(gè)解。如圖所示，平面二桿機(jī)器人（兩個(gè)關(guān)節(jié)可以360°旋轉(zhuǎn)）在工作空間內(nèi)存在兩個(gè)解。逆解個(gè)數(shù)不僅與機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)目有關(guān)，還與機(jī)器人的構(gòu)型、關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍等相關(guān)。對(duì)于一個(gè)真實(shí)的機(jī)器人，只有一組解與實(shí)際情況對(duì)應(yīng)，為此必須做出判斷，以選擇合適的解。在避免碰撞的前提下，通常按最短行程的準(zhǔn)則來擇優(yōu)，使每個(gè)關(guān)節(jié)的移動(dòng)量為最小。3.3.1機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式中同樣，如果用向量表示上述關(guān)系式，其一般可表示為51逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的示例3.3.1機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

將運(yùn)動(dòng)學(xué)公式兩邊微分即可得到機(jī)器人手爪的速度和關(guān)節(jié)速度的關(guān)系，再進(jìn)一步進(jìn)行微分將得到加速度之間的關(guān)系，處理這些關(guān)系也是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。

523.3.1機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解，用一系列變換矩陣的逆矩陣左乘，然后找出右端為常數(shù)的元素，并令這些元素與左端元素相等，這樣就可以得出一個(gè)可以求解的三角函數(shù)方程式。便可求出關(guān)節(jié)變量θn或dn。但通常不需要全部遞推過程便可利用等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)求解。3.3.1機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程543.3.2PUMA560運(yùn)動(dòng)綜合（求解）可把PUMA560的運(yùn)動(dòng)方程為：若末端連桿的位姿已經(jīng)給定，即為已知，則求關(guān)節(jié)變量的值稱為運(yùn)動(dòng)反解。用未知的連桿逆變換左乘方程兩邊，把關(guān)節(jié)變量分離出來，從而求得的解。55采用雙變量反正切函數(shù)atan2來確定角度。當(dāng)–π

θ

π，由atan2反求角度時(shí)，同時(shí)檢查y和x的符號(hào)來確定其所在象限。這一函數(shù)也能檢驗(yàn)什么時(shí)候x或y為0，并反求出正確的角度。atan2的精確程度對(duì)其整個(gè)定義域都是一樣的。用雙變量反正切函數(shù)(two-argumentarctangentfunction)確定角度補(bǔ)充知識(shí)56求用逆變換左乘式兩邊：3.3.2PUMA560運(yùn)動(dòng)綜合已知數(shù)據(jù)待求的各變量θ方程右邊方程左邊找常數(shù)項(xiàng)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)兩邊相等，解出θ1，θ3571.求